专题一阿基米德三角形的性质

阿基米德三角形的性质阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想证明了抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的 。阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。性质1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴 。性质2 阿基米德三角形的底边即弦B过抛物线内定点则另一顶点Q的轨迹为 性质3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹 。性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 。性质5 底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为 。性质 6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q的轨迹为抛物线的 ，且阿基米德三角形的面积的最小值为 。性质7 在阿基米德三角形中，∠=∠。性质8 在抛物线上任取一点（不与、B重合，过I作抛物线切线交、B于、，则△QST的垂心在 上。性质9 |A|·||.性质10 的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB 。性质1 在性质8中，连接A、，则△I的面积是△T面积的 倍。高考题中的阿基米德三角形高考题中的阿基米德三角形例 1（ 2005江西卷，理 22题）如图，设抛物线

:y x2的焦点为 F，动点 P在直线 l:x y两点.

2 0上运动，过 P作抛物线 C的两条切线 、P，且与抛物线 C分别相切于 、B（）求△B的重心 G的轨迹方程.（）证明∠=∠.解：（1）设切点 、B坐标分别为 x,x2

lx)，0yFBx)，0yFBAxOPy x20∴切线 AP的方程为： y x200 0yx210切线 BP的方程为yx2101

0 1 1 1xx021,yPxx01解得 P点的xx021,yPxx01P所以△APB的重心 G的坐标为 ，yyyyyPx20x13xx01(x4xy0130x13xx012P3p,G所以 y

，由点 P在直线 l上运动，从而得到重心 G的轨迹方程为： p G Gx x ( 2) 2y123x（2）方法 ：因为 (x,x20 01),4x(02x,xx1011),4,x2 1).114由于 P点在抛物线外，则 |FP|xxAFPxxAFPFP |FP021 x(xx014)(x2101)4xx0114|FP| x2 20 004,|FP|x x1 x同理有 FP |FP02(xx1 0114)(x21)41xx0114,|FP| x2 21 11)24|FP|∴∠=∠.方法 2：①当 xx

,x

,不妨设x

则y

所以 P点坐标为

(x ，则 P点到 |x|1 BF|x|1 BF:214x2114xx,1,直线 AF的距离为： d11xxy4 1140.11211)x211)xx4 2141|211)x|1211)42(x)21x214 14|x|12214x20x01400),14x20x01400),2014x014x0②当xx10

0AFy14x2114x21x114(x00),2114xy114x1PAF的距离为：

1 x x)(0 )(

1)x2x )

| |x x

1) x|d 0 4 2

0 1 4 0

2 0 4

0 1 ，0 0 (x20

1)2 x24 0

x2 1 20 4PBF的距离

x

=dd 1 02 2 1 2例2 (2006理21题)已知抛物线为B是抛物线上的两动点，→ λ→ λ A B Ｍ且A＝（ ＞0．过 、 分别作切设其交为 ．→ →（Ⅰ）证明·A定值；（）设△M面积为写出＝表达式并求S最小值．解：Ⅰ条件01＞0．(1，1)，设Ax y(1，1)，

Bx y

→ λ→(2，2得 －1－＝2－(2，2－x1＝λx2 ①1－λ－)②1 1将①式边平并把412代入得 12 ③1解③式得1＝λ有12－λ－42－4，1 1抛物线方程为y＝4x2，求导得y′＝2x．、B两点的切线方程分别是1 1y＝2x1(x－x1)＋y1，y＝2x2(x－x2)＋y2，1 1 1 1即y＝2x1x－4x12，y＝2x2x－4x22．x1＋x2 x1x2 x1＋x2解出两条切线的交点M的坐标为( 2 ， 4 )＝(

2 ，－1)． ……4→ →

1 1 1x x y y x x·A＝(

2

2－1，

1(

12)－2(4x22－4x12)＝0→ →所以为定值，其值为0． 分1(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABMx1＋x2

1 1 1|＝ ( 2 ＋－22＝

4x12＋4x22＋2x1x2＋41 1 1＝ 1＋22×－4＋4＝ λ＋λ＋＝ ＋ ．因为、分别等于、B到抛物线准线的距离，所以1|A||A||122＋λ2＝(

1λ)2．1于是 |A|(

1λ)3，由

1λ≥2知≥且当＝1时S取最小值．例（7江苏卷理9题）如图平面直角系yy轴正向一点C0,c)任作一直线，与抛物线y x2相交于两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段和直线lc交于P,Q，（1）若2，求c的值5分）（2）P为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）解1）设过 C点的直线为y c，所以x2

cc

0 x2

c

0，设Ax,y1

,Bx,y2 2

，

x,y1 1

，x,y2 2

，因为OAOB

2，所以xx yy12 12

2，即xx c c12 1 2

2，xx k2xx x x c2 212 12 1 2所以 c kk c2 2，即c2

c 2

c

2去c 1（ 2） 设 过 Q 的切线为 y y1

k x x1 1

， y/ ， 所 以 k1

， 即1y x 2 y x x2

， 它 与 y c 的 交 点 为 M x c, c ， 又11 1 1 1 11

2 1x x y yP 1 2,1 2

k,k2

c ，所以 Qk

c

xx c

c x 2 2 2 2Mx x k

2 12 x 211 2, c

, c,所以点M和点Q重合，也就是为此2 2 2抛物线的切线。（2）的逆命题是成立，由（2）可知Qk,2

c，因为PQ x轴，所以P

k,y2 P1 因为x x k，所以P为AB的中点。1 2 2例2008山东卷，理22题）如图，设抛物线方程为x2 2py(p任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为．（Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列；

M为直线y

2p上（Ⅱ）已知当M点的坐标为

2p)时，AB

4．求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线的对称点D在抛物线x2 2py(p

上，其中，x，1x2，Bx，2 ，xx212p22p1xMx，2p)．20点 C满足OC OA OB（O为坐标原点）．若存在，求出所有x，1x2，Bx，2 ，xx212p22p1xMx，2p)．20解：（Ⅰ）证明：由题意设 A2py得yx22py得yx22p，得 x，px2p．，1所以 k x2p．，1MA p MB因此直线 的方程为 y 2p

x1

)，直线 B的方程为 y2p2pxp2x)．0x212x2122px1x)，① p 1 0x222p2pxp2x)．② 2 0xx122xx122xxx，1 2 0xx122xx122，即 0

2xxxxx．所以 三点的横坐标成等差数列． 2时， （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2时， 0将其代入①、②并整理得： 4x24p2 0，x2 4x 44x24p2 0，1 1所以 x，x是方程 x21 2

24x 4p2

0的两根， 因此 x1

x 4， xx4p2，p2．4p2，p2．21x2 x221又 2 2

x x x ，所以 kk p pAB x x2 1

1 2 0 AB2p p1 k2 1x241 k2 1x24xx1214p216 16p2．1或 p2，又 4 10，所1或 p2，因此所求抛物线方程为x2 2y

x2 4y．（Ⅲ）解：设，y，由题意得C3 3 1

x，y2 1

y)，2的中点坐标为

x x x y y y1 2 1 2 1 2 2 2设直线的方程为y y

0x)，x1 p 1x由点Q在直线上，并注意到点

x x y y1 1

也在直线上，代入得y

x x．1 02 2 1 0若，y)在抛物线上，则x2 2py 2xx，3 3 3 3 0 3因此x

0或x

2x．即D00)或D2x

2x2．，03 3 0 0 （1）当x 0

时，则x x 2x1 2 0

0，此时，点M0

2p适合题意．x2 x2x2 x2 1 2 x2 x2（2）x

0，对于D00)，此时

2x，1 2 ，k

2p 1 2，0 0 2

CD 2x0

4px0x x x2 x

x2 x2又k

，，所以k k

0 1 2 1 2 1，AB p即x2 x2

4p

，矛盾．

AB CD

p 4px0

4p21 2对于D2x

2x2

x2，因为C2x

x2，此时直线平行于y轴，，00 p

，1 22p0又k x0

0，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，AB所以x 0

p时，不存在符合题意的M点．综上所述，仅存在一点M0，2p)适合题意．例 5（2008 江西卷，理 21 题）设点

Px,y0 0

在直线x my m,0

m 1 P作双曲线x2

y2 1

的两条切线

，切点为B，定点M(1m

，0)．（1）过点A作直线x y重心G所在的曲线方程；

0的垂线，垂足为N，试求△的（2）求证：MB三点共线．证明：1）

A(x,y),B(x,y

)，由已知得到yy 0，且x2 y2 1，x2 y2 1，2 2

1 1 2 2

12 1 1设切线的方程为：y y k(x

y y k(x x))由 1 1 得1 1 x2 y2 11 k2x2

2k(y kx

y x2 1 01 1 1 1从而 4k21

x21

41

k2)(y1

x21

41

k2) 0,1解得k xy11因此的方程为：yy xx 11 1

同理的方程为：yy xx 12 2又P(m,y在0

上，所以yy10

mx 1，yy1 2 0

mx 12即点,y),,y)都在直线yy mx 1上1 1