大学物理参编教材习题详解-第456章习题解答

习题四参考解答4.1惯性系相对惯性系以速度运动。当它们的坐标原点与重合时，。在惯性系中一质点作匀速率圆周运动，轨道方程为，，试证：在惯性系中的观测者观测到该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度运动。提示：在惯性系中的观测者观测到该质点的轨道方程为。证明：根据洛仑兹坐标变换关系代入原方程中，得到化简得所以，在K系中质点做椭圆运动，椭圆中心以速度运动。一观测者测得运动着的米尺长，问此米尺以多大的速度接近观测者？解：由相对论长度缩短关系得到如题图4.3所示，在系的平面内放置一固有长度为的细杆，该细杆与轴的夹角为。设系相对于系沿轴正向以速率运动，试求在系中测得的细杆的长度和细杆与轴的夹角。，题图4.3解：细杆在系中的两个坐标上的投影分别为细杆在系中的两个坐标上的投影分别为在系中细杆的长度为与X轴正向夹角为一飞船以的速率相对于地面[假设地面惯性系]匀速飞行。若飞船上的钟走了的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？解：根据相对论中时间延长关系代入数据，可得已知介子束的速度为[为真空中的光速]，其固有平均寿命为，在实验室中看来，介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？解：根据相对论中时间延长关系代入数据，可得因此4.6惯性系相对另一惯性系沿轴作匀速直线运动，在惯性系中观测到两个事件同时发生轴上，且其间距是，在系观测到这两个事件的空间间距是，求系中测得的这两个事件的时间间隔。解：由相对论的同时性的两个等价关系(1)(2)联立两式得到代入(2)式中得到4.7论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时发生。证明：令在某个惯性系中两事件满足，则在有相对运动的另一个惯性系中(相对运动速度为),两事件的时间间隔是由于，且所以，即两事件一定不同时发生。试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短。证明(1)设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即，时间间隔为，则在另一个相对运动速度为的惯性系中，两事件的时间间隔为所以，在原惯性系中时间间隔最短。证明(2)设两事件在某惯性系中于同时发生，即，时间间隔为，则在另一个相对运动速度为的惯性系中，两事件的时间间隔为所以，在原惯性系中空间间隔最短。若电子和电子均以[为真空中的光速]的速度相对于实验室向右和向左飞行，问两者的相对速度是多少？[答案：]一光源在系的原点发出一光线。光线在平面内且与轴的夹角为。设系相对于系沿轴正向以速率运动。试求在系中的观测者观测到此光线与轴的夹角。解：光线的速度在系中两个速度坐标上的投影分别为由速度变换关系，则在系中速度的两个投影分别为，所以，在系中的观测者观测到此光线与轴的夹角如果一观测者测出电子的质量为[为电子的静止质量]，问电子的速度是多大？解：由相对论质量关系而且得到如果将电子由静止加速到[为真空中的光速]的速度，需要对它作多少功？速度从加速到，又要作多少功？解(1)由相对论动能定理：因为，代入得到(2)将，代入原式在什么速度下粒子的动量是其非相对论动量的两倍？在什么速度下粒子的动能等于它的静止能量？解(1)由相对论动量公式而且联立两式(2)由相对论动能公式而且联立两式静止质量为的电子具有倍于它的静能的总能量，试求它的动量和速率。[提示：电子的静能为]解：由总能量公式而且(1)其中(2)联立(1)、(2)两式将(1)式代入动量公式一个质量为的静止粒子，衰变为两个静止质量为和的粒子，求这两个粒子的动能。[提示：利用能量守恒和动量守恒关系]解：令两粒子的动能分别为与由相对论能量守恒得到(1)由相对论动量和能量的关系得到由相对论动量守恒得到(2)联立(1)、(2)两式解得，习题五参考解答5.1简答下列问题：什么是简谐振动？分别从运动学和动力学两方面作出解释。一个质点在一个使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐振动？在什么情况下，简谐振动的速度和加速度是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点一定是加快地运动吗？反之，加速度为负值时，肯定是减慢地运动吗？同一弹簧振子，如果它在水平位置是作简谐振动，那么它在竖直悬挂情况下是否仍作简谐振动？把它装在光滑斜面上，它是否仍将作简谐振动？如果某简谐振动振动的运动学方程是，那么这一振动的周期是多少？在地球上，我们认为单摆(在小角幅下)的运动是简谐振动，如果把它拿到月球上，那么，振动周期将怎样改变？什么是位相？一个单摆由最左位置开始摆向右方，在最左端位相是多少？经过中点、到达右端、再回中点、返回左端等各处的相应各是位相多少？初位相是个什么物理量？初位相由什么确定？如何求初周相？试分别举例说明：(a)已知初始状态，如何确定初位相；(b)已知初位相，如何确定初始状态。5.2一质点作简谐振动cm。某时刻它在cm处，且向X轴负向运动，它要重新回到该位置至少需要经历的时间为(A);(B);(C);(D)。答案：(B)5.3以频率作简谐振动的系统，其动能和势能随时间变化的频率为(A)；(B)；(C)；(D)。答案：(C)5.4劲度系数为的轻弹簧和质量为10g的小球组成的弹簧振子，第一次将小球拉离平衡位置4cm，由静止释放任其运动；第二次将小球拉离平衡位置2cm并给以2cm/s的初速度任其振动。这两次振动能量之比为(A)1:1;(B)4:1;(C)2:1;(D)。答案：(C)5.5一谐振系统周期为0.6s，振子质量为200g，振子经平衡位置时速度为12cm/s,则再经0.2s后振子动能为(A)；(B)0;(C);(D)。答案：(D)5.6一弹簧振子系统竖直挂在电梯内，当电梯静止时，振子谐振频率为。现使电梯以加速度向上作匀加速运动，则其谐振频率将(A)不变；(B)变大；(C)变小；(D)变大变小都有可能答案：(A)5.7将一物体放在一个沿水平方向作周期为1s的简谐振动的平板上，物体与平板间的最大静摩擦系数为0.4。要使物体在平板上不致滑动，平板振动的振幅最大只能为(A)要由物体质量决定；(B);(C);(D)0.4cm答案：(C)5.8两分振动方程分别为和，则它们合振动的表达式为(A);(B);(C);(D)。答案：(C)5.9质量为的小球与轻弹簧组成的系统，按的规律作简谐振动，式中

以秒为单位，以米为单位。试求：(1)振动的圆频率、周期、振幅、初位相以及速度和加速度的最大值；(2)求时刻的位相。(3)利用Mathematica绘出位移、速度、加速度与时间的关系曲线。解(1)：,,,(2)5.10劲度系数为和的两根弹簧，与质量为的物体按题图5.10所示的两种方式连接试证明它们的振动均为谐振动。题图5.10证明：(1)当物体向右移动时，左端弹簧伸长，而右端弹簧缩短，它们对物体作用力方向相同，均与物体位移方向相反，所以因此物体将作简谐振动。(2)设两弹簧分别伸长与，则弹簧对物体的作用力对两弹簧的连接点有:且解此两式：代入中：因此物体将作简谐振动。如题图5.11所示，质量为的物体放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角，弹簧的劲度系数为，滑轮的转动惯量为，半径为。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动。题图5.11证明：取未用手托系统静止时的位置为平衡位置，令此点位坐标原点，弹簧伸长，则有：(1)当物体沿斜面向下位移为时，则有：(2)(3)(4)(5)将(2)与(4)代入(3),并利用(5),可得利用(1)式，得到所以，物体作的是简谐振动。5.12一个沿轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为，周期为，其振动方程用余弦函数表出。如果时质点的状态分别是：(1)；(1)过平衡位置向轴正向运动；(3)过处向轴负向运动；(4)过处向轴正向运动。试用旋转矢量图方法确定相应的初位相，并写出振动方程。解：令振动方程为：(1)(2)(3)(4)5.13一质量为的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当时，位移为24cm。求：(1)时，物体所在的位置；(2)时，物体所受力的大小和方向；(3)由起始位置运动到处所需的最短时间；(4)在处物体的速度、动能、系统的势能和总能量。解：设物体的振动方程为由于，由于因此将代入，得到(2)将代入，得到负号表示方向与轴方向相反。(3)将代入中，得到(4)，将代入:由因此有一轻弹簧，下端悬挂一质量为的砝码，砝码静止时，弹簧伸长。如果我们再把砝码竖直拉下，求放手后砝码的振动频率和振幅。解：取砝码静止时的位置为平衡位置，并令为坐标原点，向下为正方向，则有当下拉位置时，砝码所受回复力为因此砝码作简谐振动将初始条件代入振幅公式：一轻弹簧的劲度系数为，其下端悬有一质量为的盘子。现有一质量为的物体从离盘底为高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动。若以物体落到盘底时为计时零点、以物体落到盘子后的平衡位置为坐标原点、以向下为轴正向，求盘子的振动方程。解：令与系统处于平衡位置处为坐标原点，向下为正方向未下落时，满足:与平衡位置处:联立解得由动量守恒：且得到而且它们共同振动的周期将初始条件，，代入振幅及位相公式：由于，因此将已求出的、和代入中，即可得振动方程为5.16一个水平面上的弹簧振子(劲度系数为，所系物体质量为)，当它作振幅为、周期为、能量为的无阻尼振动时，有一质量为的粘土从高度处自由下落。当达到最大位移处时粘土正好落在上，并粘在一起，这时系统的振动周期、振幅和振动能量有何变化？如果粘土是在通过平衡位置时落在上，这些量又如何变化？解:原周期为，两种情况下周期都变为当达到最大位移处时粘土正好落在上时，此时物体水平速度为零动量守恒得到：且将初始条件，代入振幅公式(2)当粘土在通过平衡位置时落在上时，由水平方向动量守恒得到且将初始条件，，代入振幅公式：由5.17一单摆的摆长，摆球质量，当摆球处在平衡位置时，若给小球一个水平向右的冲量，取打击时刻为计时起点，求振动的初位相和角振幅[设摆角向右为正]。解：由单摆的动力学方程，将初始条件，代入得到由于其中，初始时刻5.18一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为，[式中以米计，以秒计]试分别用旋转矢量法和代数法求合振动的振幅和初位相，并写出合振动的方程。解：由题意，，，由于因此，合振动方程为有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动的位相差为，已知第一振动的振幅为，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差。解：由分振动与合振动的三角形关系：代入数据由于得到5.20试借助旋转矢量图求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：解(1)：由题意：，，，由于(2)由题意：，，，由于5.21质量为的质点同时参与两个互相垂直的简谐振动：，，式中以米计，以秒计。求质点的运动轨道方程；(2)求质点在任一位置所受的作用力；(3)利用Mathematica，绘出合成振动的轨迹。解：(1)由于结合的表示式，得到轨道方程为：(2)5.22一质点同时参与两个互相垂直的简谐振动：，，求质点的运动轨道方程。解：由于由于所以代入得到：所求轨道方程为：某质点的位移可用两个简谐振动的迭加来表示：写出这质点的速度和加速度表示式；(2)这运动是否简谐振动？(3)画出其图线。解：(1)(2)由于与不成正比，所以不是简谐振动。习题六参考解答6.1简要回答下列问题：(1)振动和波动有什么区别和联系？(2)平面简谐波的波动方程和简谐振动的振动方程有什么不同？又有什么联系？(3)振动曲线和波形曲线有什么不同？(4)平面简谐波波动方程中的表示什么？如果将波动方程改写为，又是什么意思？(5)波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处？时刻是否一定是波源开始振动的时刻？波动方程写成时，波源一定在坐标原点处吗？在什么前提下波动方程才能写成这种形式？如果波源在处或在处，则对此波动方程的适用范围要作怎样的限制？(6)波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别？6.2下述说法中哪些是正确的？(A)波只能分为横波和纵波；(B)波动质点按波速向前运动；(C)波动中传播的只是运动状态和能量；(D)波经过不同媒质传播过程中波长不变。答案：(C)6.3对于机械横波，(A)波峰处质元的动能、势能均为零；(B)处于平衡位置的质元势能为零、动能为最大；(C)处于平衡位置的质元动能为零、势能为最大；(D)波谷处质元的动能为零、势能为最大。答案：(A)6.4对于驻波，下列说法中哪些是错误的?(A)相向传播的相干波一定能形成驻波；(B)两列振幅相同的相干波一定能形成驻波；(C)驻波不存在能量的传播；(D)驻波是一种稳定的振动分布。答案：(A)、(B)6.5人耳能辨别同时传来的不同声音，这是由于(A)波的反射和折射；(B)波的干涉；(C)波的独立传播特性；(D)波的强度不同。答案：(C)6.6波源在坐标系中（3，0）位置处，其振动方程是m，其中t以s计，波速为50m/s。设波源发生的波沿x轴负向传播，介质无吸收，则此波方程为(A)m;(B)m;(C)m;(D)m。答案：(D)6.7两波同时在一弦线上传播，其波动方程分别是，，其中、以m计，t以s计。弦线上波节位置为(A)m,(B)m,(C);(D)参考答案：(A)6.8一弦线上的振动以厘米•克•秒制表示为，组成此振动的两波波速是(A);(B);(C);(D)∝答案：(D)6.9一点波源发出的波在无吸收媒质中传播，波前为半球面。该波强度I与离波源距离r间的关系是(A)∝;(B)∝;(C)∝;(D)∝。答案：(D)6.10当波源以速度向静止的观察者运动时，测得频率为，当观察者以速度向静止的波源运动时，测得频率为，以下哪个结论是正确的？(A);(B);(C);(D)要视波速大小决定上述关系。答案：(A)6.11声音1的声强比声音2的声强大1分贝，则声音1的强度是声音2的强度的(A)1倍；(B)倍；(C)倍；(D)倍参考答案：(D)一平面简谐波沿轴正向传播，波速为，频率为，已知在处的质点在时刻的振动状态是：位移为；速度为，求此平面波的波动方程。解：令波动方程为其中，得到将初始条件：，，，代入或或由于所以一平面简谐波沿轴正向传播，振幅为，频率为，已知在处的质点在时刻的振动状态是：位移为，速度为，而处的质点在时刻的振动状态是：位移为；速度为，求此平面波的波动方程。解：令波动方程为由题意：,,代入得到：将初始条件：，，，代入且且(1)将初始条件：，，，代入且且(2)联立方程(1)、(2),解得，因此6.14已知波源在原点的一列平面简谐波的波动方程为，其中、、为正值恒量。试求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为的两点的位相差。解(1)：由得到：振幅为,，，，(2)将代入(3)6.15沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为，式中，以米计，以秒计。求：(1)波的振幅、波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求处质点在时的位相，它是原点处质点在哪一时刻的位相？解(1)：由得到：，，，，，(2)(3),将，代入，在原点处6.16一平面波在介质中以速度沿轴负方向传播，如题图6.16所示。已知点的振动表达式是，式中以米计，以秒计。(1)以点为坐标原点写出波动方程；(2)以距点处的点为坐标原点写出波动方程。X题图6.16解(1)：(2)点振动方程为：波动方程为6.17一列平面余弦波沿轴正向传播，波速为，波长为，时的波形图形曲线如题图6.17所示。(1)写出波动方程；(2)绘出时的波形图。0.04题图6.17解：由题意：，，，，令波动方程为将时，，代入：由于因此6.18如题图6.18所示，已知时和时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b)，设波沿轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：(1)波动方程；(2)P点的振动方程。(a)(b)P123456题图6.18解(1)由图可知：,,令波动方程是其中将时，，代入：由于因此(2)当时，6.19一平面余弦波，沿直径为的圆柱形管传播，波的强度为，频率为，波速为，求：(1)波的平均能量密度和最大能量密度；(2)两个相邻的同相面之间的波段中波的能量。解(1)：由(2)6.20如题图6.20，和是两个同位相的波源，相距，同时以的频率发出波动，波速为。点位于与成角、与相距处，求两波通过点的位相差。题图6.20解：由三角形关系知:而且由，其中得到6.21如题图6.21所示，与为两相干波源，相距，且较位相超前，如果两波在连线方向上的强度相同[均为]且不随距离变化，求：(1)连线上外侧各点处合成波的强度；(2)连线上外侧各点处合成波的强度。题图6.21解：由题意，(1)在外侧时：即在外侧两振动反相合成波强度(2)在外侧时：即在外侧两振动同相所以，外侧各点波的强度是单一波源波的强度的4倍。6.22如题图6.22所示，设点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为；点发出的平面横波沿方向传播，它在点的振动方程为，本题中以米计，以秒计。设、，波速，(1)求两波传到点时的位相差；（2）若在点处相遇的两波的振动方向相同，求处合振动的振幅；（3）若在点处相遇的两波的振动方向相互垂直，再求处合振动的振幅。题图6.22解(1)：由得到即在处两波同相位。由于两波同相位，且振动方向相同当，且两振动方向垂直时6.23如题图6.23所示，三个同频率、振动方向相同[垂直纸面]的平面简谐波，在传播过程中于点相遇。若三个简谐波各自单独在、和的振动方程分别是