【高考数学】2020年北京市各区高三数学一模试题分类汇编(-二)

2020年北京市各区一模试题分类汇编(二)函数与导数：海淀区：（7）已知函数与函数的图象关于轴对称.若在区间内单调递减，则的取值范围为（A）（B）（C）（D）（10）形如（是非负整数）的数称为费马数记为.数学家费马根据,,,,都是质数提出了猜想费马数都是质数.多年之后数学家欧拉计算出不是质数那么的位数是（参考数据：）（A）（B）（C）（D）CB（15）如图，在等边三角形中.动点从点出发沿着此三角形三边逆时针运动回到点记运动的路程为点到此三角形中心距离的平方为，给出下列三个结论：CB①函数的最大值为；②函数的图象的对称轴方程为；A③关于的方程最多有个实数根.A其中，所有正确结论的序号是.注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。（19）（本小题共15分）已知函数．（Ⅰ）当时，=1\*GB3①求曲线在点处的切线方程；②求函数的最小值；（Ⅱ）求证：当时曲线与有且只有一个交点．西城区：3.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2 (B)y=sinx (C)y=x-x3 10.设函数f(x)=x2+10x+1,x≤0lgx,x>0若关于x的方程f(x)=a(a∈R)(A)(0,101] (B)(0,99] (C)(0,100] (D)(0,+∞)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4,求a(Ⅱ)已知导函数f'(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,东城区：(2)函数的定义域为(A)(B)(C)(D)(10)假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是：若在时刻满足：，则；如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降；被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值；被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值.(15)设函数给出下列四个结论：对，，使得无解；对，，使得有两解；当时，，使得有解；当时，，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是.注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。(20)（本小题15分）已知函数().（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若有两个极值点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，求在区间上的最小值.丰台区：5．已知，，，则（A）（B）（C）（D）10.已知函数QUOTEfx=-1,x≥0,kx,x<0.若存在非零实数QUOTEx0，使得QUOTEf-x0=fx0成立，则实数QUOTEk的取值范围是（A）（B）（C）（D）19.（本小题共15分）已知函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围朝阳区：（2）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（A）（B）（C）（D）（9）已知函数若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（A） （B）（C）（D）（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：①曲线关于直线对称；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，（第15题图）使得曲线在此正方形区域内（含边界）．（第15题图）其中，正确结论的序号是________．（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）判断函数的零点的个数，并说明理由；（Ⅲ）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．石景山：3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是A.B.C.D.9.设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：①；②；=3\*GB3③；具有性质的函数的个数为B.C.D.20.（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）若恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，过上一点作的切线，判断：可以作出多少条切线，并说明理由．解析几何：海淀区：（3）已知双曲线的离心率为则的值为（A）（B） （C）（D）（11）已知点在抛物线上则抛物线的准线方程为.（20）（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上一点且不与顶点重合若直线与直线交于点直线与直线交于点.求证：为等腰三角形.西城区：5.设A(2,-1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x-3)2+y2(C)(x+3)2+y2=213.设双曲线x24-y2b220.(本小题满分15分)设椭圆E:x22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.东城区：(4)若双曲线的一条渐近线与直线平行，则的值为(A)(B)(C)(D)(9)设为坐标原点，点，动点在抛物线上，且位于第一象限，是线段的中点，则直线的斜率的范围为(A)(B)(C)(D)(13)圆心在轴上，且与直线和都相切的圆的方程为___.(19)（本小题14分）已知椭圆，它的上，下顶点分别为，，左，右焦点分别为，，若四边形为正方形，且面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线，与椭圆分别交于点，且四边形是菱形，求出该菱形周长的最大值.丰台区：4．圆的圆心到直线的距离为（A）（B）（C）（D）8.过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直线与抛物线交于两个不同的点（点在轴上方），则的值为（A）（B）（C）（D）15．已知双曲线的渐近线是边长为1的菱形的边所在直线．若椭圆经过两点，且点是椭圆的一个焦点，则.20.（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线，分别交轴于两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.朝阳区：（5）已知抛物线：的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，，则抛物线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）在中，，．若以，为焦点的双曲线经过点，则该双曲线的离心率为（A） （B）（C）（D）（19）（本小题14分）已知椭圆，圆（为坐标原点）.过点且斜率为的直线与圆交于点，与椭圆的另一个交点的横坐标为.（Ⅰ）求椭圆的方程和圆的方程；（Ⅱ）过圆上的动点作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆相切，试判断直线与椭圆的位置关系，并说明理由.石景山：4.圆的圆心到直线的距离为1，则A.B.C.D.14.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则__________．19.（本小题15分）已知椭圆的右焦点为，离心率为.直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅲ）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．立体几何：海淀区：（8）某四棱锥的三视图如图所示该四棱锥中最长棱的棱长为（A）（B）（C）（D）（16）（本小题共14分）如图，在三棱柱点为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小.西城区：7.某四棱锥的三视图如图所示,记S为此棱锥所有棱的长度的集合,则(A)2(B)2(C)2(D)216.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1(Ⅰ)求证:AB⊥平面AD(Ⅱ)求直线AB与平面B1东城区：(5)如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为(A)(B) (C)(D) (16)（本小题14分）如图，在四棱锥中，面，底面为平行四边形，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小.丰台区：7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，面积等于的有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个13.已知平面和三条不同的直线.给出下列六个论断：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥.以其中两个论断作为条件，使得成立.这两个论断可以是．（填上你认为正确的一组序号）17.（本小题共14分）如图，在四棱锥，，，平面平面.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．朝阳区：（10）如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点的位置是（A）线段的三等分点，且靠近点（B）线段的中点（C）线段的三等分点，且靠近点（第10题图）（D）线段的四等分点，且靠近点（第10题图）（12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积为．（第12题图）（第12题图）（17）（本小题14分）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是正方形，点，分别是棱，的中点，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若点在棱上，且，判断平面与平面是否平行，并说明理由．石景山：10.点分别是棱长为的正方体中棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动.若面，则的长度范围是A.B.C.D.16.（本小题14分）如图，在正四棱锥中，，．（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．不等式和向量：海淀区：（4）已知实数在数轴上对应的点如图所示则下列式子中正确的是（A）（B）（C）（D）（13）已知非零向量满足则.西城区：6.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c (B)ab>c2 (C)a+b2>c8.设a,b为非零向量,则“|a+b|=|a|+|b|”是“a与b共线”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件12.若向量a=(x2,2),b=(1,x)满足a·b<3,则实数x的取值范围是 东城区：(6)已知，那么在下列不等式中，不成立的是(A)(B)(C)(D)(8)已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C)充分必要条(D)既不充分也不必要条件 (11)已知向量，若与共线，则实数.丰台区：2．已知向量，满足，则（A）（B）（C）（D）6．“”是“”成立的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件12.若，则函数的最小值为，此时．朝阳区：（4）如图，在中，点，满足，．若，则（A）（B）（C）（第4题图）（D）（第4题图）石景山：11.已知向量，，则__________．13.能够说明“设是任意非零实数，若“，则”是假命题的一组整数的值依次为______________．参考答案函数与导数D（10）B（15）①②（19）解：（Ⅰ）①当时，，则．所以又，所以曲线在点处的切线方程为②令，得.0↘极小值↗此时，随的变化如下：可知，函数的最小值为1.（Ⅱ）由题意可知，.令，则．由（Ⅰ）中可知，故．因为，则．所以函数在区间上单调递增．因为,又因为，所以有唯一的一个零点.即函数与有且只有一个交点.C10.B19．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）由题意，得，………………2分则，………………4分即，解得.………………6分（Ⅱ），其中.………………7分令，得，或.………………8分由导函数在区间上存在零点，得，即.……9分随着变化，与的变化情况如下表所示： 0↘极小值↗所以在上单调递减，在上单调递增.所以在上存在最小值.………………11分设，.则，.……12分所以.由，得，，则.所以在区间上单调递减.所以，即故当时，.………………14分（2）B（10）C（15）=3\*GB3③④(20)（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，，所以.又因为，所以切线方程为，即.…………4分（Ⅱ），设，当时,易证在单调递增，不合题意.当时，令，得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以在处取得极大值.依题意，函数有两个零点，则即，解得.又由于，，，由得实数的取值范围为时，有两个极值点.…………13分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，，所以在上单调递减，在区间上的最小值为.………15分C(10)A19.（本小题共15分）解：（Ⅰ）因为，所以.由题知，解得.…………4分（Ⅱ）当时，，所以.当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增；所以是在区间上的最小值.所以.…………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，.若，则当时，，在区间上单调递增，此时无极值.若，令，则.因为当时，，所以在上单调递增.因为，而，所以存在，使得.和的情况如下：因此，当时，有极小值.综上，的取值范围是.…………15分（2）D（9）C（15）①②（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）因为，所以，，．所以曲线在点处的切线的方程为．（Ⅱ）函数有且仅有两个零点．理由如下：的定义域为．因为，所以在和上均单调递增．因为，，所以在上有唯一零点．因为，，所以在上有唯一零点．综上，有且仅有两个零点．（Ⅲ）曲线在点处的切线方程为，即．设曲线在点处的切线斜率为，则，，，即切点为．所以曲线在点处的切线方程为，即．因为是的一个零点，所以．所以．所以这两条切线重合．所以结论成立．…………15分(3)D(9)C20.（本小题14分）.解：（Ⅰ）令…………1分所以令，解得.…………3分当变化时，的变化情况如下表：–0+减极小值增…………5分所以在的最小值为……6分令解得.所以当时，恒成立，即恒成立.………7分（Ⅱ）可作出2条切线.…………8分理由如下：当时，.设过点的直线与相切于点，…………9分则即整理得…………10分令，则在上的零点个数与切点的个数一一对应.，令解得.…………11分当变化时，的变化情况如下表：–0+减极小值增所以在上单调递减，在上单调递增.且…………13分所以在和上各有一个零点，即有两个不同的解.所以过点可作出的2条切线.…………14分解析几何(3)(11)（20）解：（Ⅰ）由题解得所以椭圆方程为.（=2\*ROMANII）解法1证明：设直线方程为，直线方程为由解得点.由得，则.所以，.即..于是直线的方程为，直线的方程为.由解得点.于是，所以轴.设中点为，则点的纵坐标为.故中点在定直线上.从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，所以△为等腰三角形.解法2证明：设则.直线方程为，直线方程为.由解得点.直线方程为，直线方程为.由解得点..于是，所以轴..故中点在定直线上.从上边可以看出点在的垂直平分线上，所以，所以△为等腰三角形.A13．20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意，得，，则.………………2分根据椭圆的对称性，知四边形是矩形.设，，，，将代入椭圆方程得.………………3分所以四边形的面积.………………5分（Ⅱ）设，，直线，………………6分联立消去，得，……7分则，，.………………8分所以………………9分.同理，得.由四边形为平行四边形，得，即得.由题意知，所以，即.………………11分（Ⅲ）结论：四边形不可能为矩形.………………12分由（Ⅱ）知两点关于原点对称.根据椭圆的对称性，可得两点关于原点对称，故的坐标为.由题意，得，.………………13分于是，.所以不可能垂直于.所以四边形不能为矩形.………………15分D（9）C（13）(19)（本小题14分）解：（Ⅰ）因为，所以.因为四边形为正方形，且面积为,所以，.所以，.所以椭圆.…………4分（Ⅱ）设平行直线，，不妨设直线与交于，由，得，化简得：，其中，即.所以，，由椭圆的对称性和菱形的中心对称性，可知，所以，，，，所以.所以当且仅当时，的最大值为.此时四边形周长最大值为.…………14分(4)B(8)D(15)20．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意解得.所以椭圆的方程为.…………5分（Ⅱ)假设存在点使得.设，因为,所以.则.即，所以.因为直线交椭圆于两点，则两点关于轴对称.设，因为，则直线的方程为：.令，得.直线的方程为：.令，得.因为，所以.又因为点在椭圆上，所以.所以.即.所以存在点使得成立.…………14分B（7）C（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为圆过点，所以圆的方程为：.因为过点且斜率为的直线方程为，又因为过点，所以.因为直线与椭圆相交的另一个交点坐标为，所以，解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）直线与椭圆相切.理由如下：设圆上动点，所以.依题意，设直线：.由得.因为直线与椭圆相切，所以.所以.所以.因为，所以.所以.设直线：，由得.则.所以直线与椭圆相切.………14分(4)A(14)319.（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知，，…………2分又，解得…………4分所以椭圆方程为.…………5分（Ⅱ）设直线的方程为联立消去得，不妨设……7分则，因为为线段的中点所以，………8分所以…………9分所以为定值.…………10分（Ⅲ）若四边形为平行四边形,则…………12分所以…………13分因为点在椭圆上，所以……14分解得即所以当四边形为平行四边形时，直线的斜率为.………15分立体几何：(8)C（16）解：（Ⅰ）因为平面，平面所以.在△中，,,,所以.所以.因为,平面，所以平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,,如图,以为原点建立空间直角坐标系.则，，.，.设平面的法向量为，则即令则，,所以.又因为平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以其大小为.D16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在底面中，，所以，即.………………2因为平面，平面， 所以，………………4又因为，平面，所以平面.………………6（Ⅱ）由（Ⅰ），得两两垂直，故分别以，，为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，………………7在底面中，由题意，得.则，，，，，所以，，，………………8设平面的法向量，由，，得令，得.………………11分设直线与平面所成的角为，则，直线与平面所成角的正弦值为.………………14(5)A(16)（本小题14分）解：（Ⅰ）如图，因为四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面．…………6分（Ⅱ）取为坐标原点，过点的平行线为轴，依题意建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则即令，则，．所以．因为为平行四边形，且，所以．因为面，所以．又因为，所以面．所以平面的法向量为，所以，由题意可知二面角的平面角为钝角，所以二面角余弦值的大小为.(7)C13．=1\*GB3①=4\*GB3④（或=3\*GB3③=6\*GB3⑥）17.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为，平面，平面，所以平面.…………3分