华东师大数学分析

华东师范大学数分析一分）计算题。、求

lim(cos

22

)

解：

x2sin

2

x~

(2lim(cos)2

lim(12)2)00

(

、若

2x

求

'

解：

y

'

lnxesin(arctanx)x)x

、求

)

dx

解：

(1x)

dx

xed

1(xe'=-11x)

dx

-=1

、求幂级数

nx

n

的和函数

f(x

n解

|

时(

nx

n

)

nn+

x

nn

nn

n

nx

n

=

(n

n)'

-

n

x

n

=

(

x11x)11(1)2(1)

2、

L

为过

O(0,0)

和

(

2

,0)

的曲线

ysin(a

求

L

(xy3)dx)dy.yx,dasinx

(xy

)y)

=

xdx

sin

+2

cos+

sinxL

=

2aa223/

11、求曲面积分

(2)zdxdy

其中

zy2,

取侧解：应用Gauss式，并应用极坐标变换得：

(2)dydz

=

V

(

)dxdydz=

30V

3rd2

二分判断题（正确的证明，错误的举出反例）、若

{n1,2,,}n

是互不相等的非无穷大数列，{}n

至少存在一个聚点

x0正确。

{}n

在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集

{}n

至少存在一个聚点x0、若

f(x在(a,b)

上连续有界，则

f(x)在(a)

上一致连续.正确。证：

f(x

在

(b

上连续有界，故

limf(

与

limf(

都有存在，不妨设为

A,

x

设

F(x)

xf)x(,b)x则

F()

在

[b]

上连续，从而

F()

一致连续，故

f(x

在

(b

上一致连续。、若

f(x,g(x在[

上可积，则

1iilimf()()nni

0

f(xg(x)

正确。证：

f(x)

()

在

[0,1]

上可积，故对

f()M,

且

f(x)()

在上也可积，对

0

1niiii1niiif()()f()g)|f()[g()g)]nnniiiMiiM[()()]||g(1)gni/

1ii11ii1r故两边对

1niinii1iif()()f()g()f()()nniii分别取极限

f(xg()dx

1iif()g(ni

)

f(xg()dx由夹逼性知

limf()g()f()g(x)nnn0i

、若

a

n

收敛，则

a

2n

收敛n

n错误。反例

(nn

收敛,

1nn

发散在上义的函数f(xy)则在(0,0)上可微

f,y

存在偏导数

f(y),x)且(x,)f(x)xyx

在(0,0)上连续，正确证：

f==

((0f(fff12有

f(,yf()xy

在(0,0)上连续，ff(0,0)f(0,0)1y当

()

时，

0

，

f(0,0)f(0,0)y根据定义，可知

f(xy)

在0,0)可.、

f(xy)

在R上连续

D(x,)x)|()r00

2

y)0

2

2

}

若xy0,00

D

f(y)0,则(y)xy)

2

./

rr解：错误将

(,)r

划分为两部分，其中D(x,y),)()2r,x,x]}r000D(x,y){(,)(x)2r00

2

)0

2

r,[x,]}0取

(x)f()(y)r

由分区间加性知

f(,y)

1dxdy

(Dr

Dr

Dr三分函数

f(x在(

上连续，且

limf)A,

求证：

f(x在(

上有最大值x或最小值。证：1)若

f)A，显然fx)在(

同时有最大、最小值否则

,当xx或x时f(x)22定义

limf()Ax

limf()A

，存在

xU1

0

()1

xU2

0

(x)2使得

fx)

或

f()

f(x)

或

f(x)不妨设fx)f(x)A2

由

f(x

在

(

上连续所

f(x)

在

[x]2

上连续，由最值定理知存在

xx]2

使得f

)

最大（或最小）.（1知

x

因此当

xx时,f(x)在

上有最大值或最小值。四分求证不等式:

x

,x[0,1].证：令

f()

则

ff

对

有f'(x2

f''(xln2因此

f

()在[

上单调递减且连,又f

lnf

(1)20

/

故由介值定理知存在

使得f

)那么在

[

]上f)

单调递增,在

[

,1]上()

单调递减因此

f(x

可在端点处取得最小又

f(0)f(1)0

所以在

[

上f()

即

x,[0,1].五、设

f()n

在

[b]

上连续,且

f()n

在

[b]

上一致收敛于

f(x

若a,b]

f()

求证:

,0,

使

a,b]

f(x)n

.证:由函数

{(x)}n

的每一项在

[b]

连续且一致收敛于

f(x,可()在[a,]

上也连续,因有界.不妨设

mmin{()|x[ab]}

因为对任意

x[a]

有

f()0

所以

f()在[]n

上一致收敛于

f(x),即

0,,对N[a,b]

有f)f(x)n当取

m2

时,有f(x)f()

mm2

(1)对上述

,

则(式成立且fx)

m2

.六分设

{}n

满足（1）

ak;k

（2级数

a

n

收敛n求证

limna0nn

证：级数

a

n

收敛，由级数收敛的柯西准则：

0,

对任何

Z

有n/

''''|

N

N

N

由于那么

a100,k1,2,;nkkn

N

N

N

p

N

100

p

N

N

p

N

而当充分大,

p

p

成立，故p)a

N

ppa

N

因此有

limna0nn

七分若函数

f(x

在

1,

上一致连续，求证：

f(xx

在

1,

上有界证1)

0,X0

当

充分大时对

,''X

且满足

|x

时有|'f()

由极限存在的柯西准则知对(1)式中x取极有

limf(x)x

存在不妨设为|f()则

|f

)存在

M

当

x

时|

f(x|A|xx

(2)因为

f(x)在[

上一致连续则

f(x)在[1,]

上连续所以

f(x在[1,]

上有界即存在

M,X]

有|fxM

那么对存在

]有Mmax{,M},2

f(x)|x(2),(3)同成

/

rr即对

]

有|

fx)x

八分设

(xy(xy