集合易错题剖析

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集合是学习数学的根基和工具，是高考的必考内容之一.由于它涉及到中学数学的各个环节,稍不留神,就会出错.为了跳出命题者所设计的陷阱,就务必留神集合中的一些细节.一、忽略空集致误

若A=xx�2－2x－3=0,B=xax－2=0,且A∩B=B,求由实数a组成的集合C.

错解由A=xx�2－2x－3=0,解得�A=�－1,3.∵A∩B=B，∴B�A，

从而B=－1或B=3.当B=－1时,由a×(－1)－2=0,解得a=－2；

当B=3时,由a×3－2=0,解得a=23.

故由实数a组成的集合C=－2,23.

剖析B�A是指B是A的子集,而�是任何集合的子集,所以就要分B=�和B≠�（分为B=－1和B=3）三种处境举行议论,在解题中假设思维不够缜密就可能忽略了B=�的处境,导致解题结果错误.

�正解�由A=xx�2－2x－3=0，解得�A=�－1,3

∵A∩B=B，∴B�A，且B中至多只有一个元素，从而B=�或B=－1或B=3.

当B=�时，由ax－2=0无实数根，解得�a=�0;当B=－1时，由a×(－1)－2=0，解得a=－2;当B=3时，由a×3－2=0，解得a=23.

综上所述，实数a组成的集合C=－2,0,23.

二、忽略集合元素的三性致误

设A=1,1+a,1+2a,B=1,b,b�2,若A=B,求b的值.

错解由于A=B，所以1+a=b,1+2a=b�2.或1+a=b�2,1+2a=b.解得a=0,b=1或a=－34,b=－12，

综上所述:b=1或b=－12.

剖析上述错题的过程中，没有留神到当�b=�1时,B中元素都是1,这与集合的特征――元素的互异性相冲突.所以在求解集合的有关题目时,我们要牢记集合中元素的三天性质：确定性、互异性、无序性.

正解由于A=B，所以1+a=b,1+2a=b�2.或1+a=b�2,1+2a=b.��

解得a=0,b=1或a=－34,b=－12综上所述:b=1或b=－12.

当b=1时，B中元素都是1，集合元素的互异性相冲突，舍去;

当b=－12时，得志题意.

综上所述，b=－12.

三、忽略元素与集合的概念致误

设P=y|y=x�2,x∈R,Q=�{y|y=2－�|x|,x∈R}，那么P∩Q=.

�错解�由y=x�2，y=2－|x|.�解得�x=1,y=1.或x=－1,y=1.��

∴P∩Q=(1,1),(－1,1).

剖析此题错解是由于没有切实理解集合元素的概念而产生的.要留神分清{x|y=f(x)},{y|y=f(x)},{(x,y)|y=f(x)}元素的识别,集合x|y=f(x)的元素是指函数y=f(x)的定义域中x的取值,集合{y|y=f(x)}的元素是函数y=f(x)的值域中y的取值,而集合(x,y)|y=f(x)的元素是函数y=f(x)的图象上的点的坐标.鲜明,三者有本质的识别.

正解由于P=y|y≥0,Q={y|0≤y≤2},所以P∩Q=y|0≤y≤2.

四、忽略隐含条件致误

设全集U=2，3，a�2+2a－3,A=2a－1，2,

���UA=5,求实数a的值．

错解∵

���UA=5,∴5∈U，且5�A，�∴a�2+�2a－3=5，

解得a=2或a=－4．

剖析错解在于忽略了题目里的隐含条件�A��U．

正解∵

���UA=5,∴5∈U，且5�A，�∴a�2+�2a－3=5,

解得a=2或a=－4.

应持续对a的值是否适合A�U举行验证，

当a=2时，2a－1=4－1=3≠5，此时A=2，3�U;

当a=－4时，2a－1=－8－1=9≠5，此时A=9，2不是U的子集,

综上所述，a的值只能为2.

五、忽略特例致误

已知A=(x,y)y－3x－2=a+1,�B=�(x,y)|(a�2－1)x+(a－1)y=15，问a为何实数时，A∩B=�.

错解A表示斜率为a+1的直线上的点集.当a=1时,B表示�，此时A∩B=�;

当a≠1时,B表示斜率为－(a+1)的直线:�y=�－(a+1)x+15上的点集,要使A∩B=�,

�那么两�直线平行,即a+1=－(a+1),所以a=－1,

所以a=±1时,A∩B=�.

剖析A表示的直线不经过点(2,3),当B表示的直线过点(2,3)时,A∩B=�.鲜明,上述解答忽略了这种特殊处境,造成解答不完全.由(a�2－1)2+(a－1)3=15得a=－4或52.

正解A表示斜率为a+1的直线上的点集,当a=1时,B表示�，此时A∩B=�;

当a≠1时,B表示斜率为－(a+1)的直线:�y=�－(a+1)x+15上的点集,要使A∩B=�,

�那么两�直线平行,即a+1=－(a+1),所以a=－1;

当A表示的直线不经过点(2,3),当B表示的直线过点(2,3)时,A∩B=�，

(a�2－1)2+(�a－�1)3=15得a=－4或52,

综上所述，当a=±1,a=－4,a=52时，A∩B=�.

六、忽略端点值致误

已知集合A={x|x≥4或x4时，解得a3;

当a+3=－5时，a=－8，而B={x|－7≤�x≤�5}，此时B不是A的子集，所以舍去;

当a+1=4时，a=3，而B={x|4≤x≤6}成立，符合条件,

综上所述：a0,若A∩B=�，求a的取值范围．

2.设集合A=－3,a�2,1+a,B={a－3,a�2+1,2a－1},若A∩B=－3，求实数a的值.

3.设A，B，M，N为非空集合，A∩B=�，M=A的真子集，N=B的真子集，那么M∩N=．

4.已知函数y=f(x)，x∈a,b，那么集合(x,y)y=f(x),x∈a,b∩{(x,y)|x=2}中元素的个数为．

5.设集合Ｍ＝(x,y)y+1x－1=1,Ｎ＝{(x,y)|(a－1)x+y=1},且M∩N=�，那么实数�a=���．

6.若A=xx10，B={x|x1+m}且B�A，求m的取值范围.

1.由A∩B=�知，

①当A=�时，Δ=a+2�2－4－4.

2.由A∩B=－3，根据集合元素的互异性知：a�2≠－3,1+a≠－3.

因而a－3,a�2+1,2a－1中恰有一个的值为�－3�，解之得a=0或a=－1.

当a=0时，A=－3,0,1,B={－3,1,－1}，这时A∩B={－3,1}，与A∩B=－3冲突，

故a≠0