问渠那得清如许,为有源头活水来

本文格式为Word版，下载可任意编辑——问渠那得清如许,为有源头活水来平面几何教学在初中数学教学中占有重要地位.面对纷繁繁杂的题型，教师该如何把握，才能提高教学效率，减轻学生的负担，真正表达素质教导呢？笔者认为充分挖掘课本中定理教学价值，不失为一个可行的手段.下面我结合浙教版八（下）6.1矩形中的三个定理的教学证明做探讨，以期抛砖引玉.

定理1：矩形对角线相等.

方法1：已知四边形ABCD是矩形，求证：AC=BD.

（引导学生分析：证两条不在同一个三角形中的两条线段相等，最为常用的方法是证两个三角形全等.这里只要证△ABC≌△BAD.）

证明：∵四边形ABCD是矩形

∴∠ABC=∠BAD=90°，DA=CB

∵AB=BA

∴△ABC≌△BAD（SAS）

∴BD=AC

方法2：已知四边形ABCD是矩形，求证：AC=BD.

（引导学生分析:由于矩形中有直角，因而可考虑用勾股定理证明.）

证明：∵四边形ABCD是矩形

∴∠ABC=∠BAD=90°，DA=CB

在Rt△ABC和Rt△BAD中

∵BD=■，AC=■，

∴BD=AC

方法3：已知四边形ABCD是矩形，求证：AC=BD.

（引导学生分析:由于AO=■AC，BO=■BD，所以只要证AO=BO.）

证明：∵四边形ABCD是矩形

∴∠ABC=90°，AO=■AC，BO=■BD

∴O为AC中点，又△ABC为直角三角形

∴BO=■AC

∴AC=BD

方法4：已知四边形ABCD是矩形，求证：AC=BD.

（引导学生分析:由于OA=■AC，OB=■BD，所以只要证AO=BO，即证三角形为等腰三角形.）

证明：取AB中点E，连接OE

∵四边形ABCD为矩形

∴∠ABC=90°，OA=■AC，OB=■BD

∴O为AC的中点，又E为AB的中点

∴OE∥BC

∴∠OEA=∠ABC=90°

∴OA=OB（中垂线的性质）

∴AC=BD

方法5：已知四边形ABCD是矩形，求证：AC=BD.

（引导学生分析:考虑到AC和BD不在同一个三角形中，是否考虑通过平移将它们放到同一个三角形中证明.）

证明：过C作CO∥BD交BD延长线于点O.

∵四边形ABCD是矩形

∴∠ABC=90°，CD=AB，CD∥AB

∵CO∥BD

∴四边形BOCD为平行四边形.

∴BO=CD，CO=BD

∴AB=BO

∵CB⊥AB

∴CA=CO（中垂线的性质）

∴CA=BD

方法6：已知四边形ABCD是矩形，求证：AC=BD.

（引导学生分析:考虑到AC和BD不在同一个三角形中，是否考虑通过先作一个以AC为腰的等腰三角形ACO，再证CO等于BD.）

证明：延长AB到O使AB=BO.

∵四边形ABCD是矩形

∴∠ABC=90°

∵AB=BO

∴AC=CO

∵CD=AB，CD∥AB又BO=AB

∴CD=BO，CD∥BO

∴四边形BOCD为平行四边形

∴CO=BD

∴AC=BD

综上，对于定理1的证明共用了6种方法，引导学生归纳证明两条线段相等的一般方法.第一，三角形全等；其次，在同一个三角形中等角对等边；第三，可以引进中间量；第四，如在直角三角形中还可考虑用勾股定理；第五，在平面直角坐标系中，还可用两点之间的距离公式.接下来持续探讨本节其次课时的另一个定理的证明.

定理2：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.

方法1：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的中线，求证：CD＝■AB.

（引导学生分析:要证CD＝■AB，那么CD延长使DE=CD，只要证CE=AB.引导学生总结中点倍延为处理该类问题的根本方法.也可以将△ADC绕点D旋转180°.）

证明：延长CD使CD＝DE，连接BE，AE

∵DE=CE，AD=BD

∴四边形ABCD为平行四边形

∵∠ACB=90°

∴平行四边形ABCD为矩形.

∴AB=CE

∴CD＝■AB

方法2：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的中线，求证：CD＝■AB.

（引导学生分析:要证CD＝■AB，而BD＝■AB，那么只要证BD=CD，D为AB中点，故取BC中点E构造中位线.）

证明：取BC中点E，连接DE.

∵D为AB的中点，E为BC中点

∴DE∥AC

∵∠ACB=90°

∴∠DEB=∠ACB=90°

∴DE⊥BC

∴BD=CD

∴CD=■AB

方法3：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的中线，求证：CD＝■AB.

（引导学生分析:要证CD＝■AB，考虑到AB边的中位线为AB的一半，那只要证CD等于其中位线即可.）

证明：取BC，AC中点E，F，连接DE，DF，EF.

∵D，E为AB，BC的中点

∴DE∥AC，DE=■AC

∵FC=■AC

∴DE∥FC，DE=FC

∴四边形DECF为平行四边形

∵∠ACB=900

∴平行四边形DEFC为矩形

∴CD＝EF

∴CD=■AB

方法4：已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的中线，求证：CD＝■AB.

（引导学生分析:要证CD＝■AB，那么构造CD为三角形的中位线，也可将△ABC沿AC作轴对称图形.）

证明：延长BC到E使CE＝BE，连接AE.

∵D为AB中点，CE=BC

∴CD=■AE

∵∠ACB=90°，CE=BC

∴AB=AE（中垂线的性质）

∴CD=■AB

综上，对于定理3的证明共用了4种方法，引导学生总结证一条线段为另一条线段的一半常用的方法.第一，倍延较短的线