空间向量的概念及运算演示文稿

空间向量的概念及运算演示文稿1当前1页，总共41页。2优选空间向量的概念及运算当前2页，总共41页。1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为AC1的共有

个()①(+)+②(+)+③(+)+④(+)+DA.1B.2C.3D.4当前3页，总共41页。2.已知O、A、B、C为空间四点，又、、为空间的一个基底，则()DA.O、A、B、C四点共线B.O、A、B、C四点共面但不共线C.O、A、B、C四点中有三点共线D.O、A、B、C四点不共面当前4页，总共41页。3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,则()CA.x=1,y=1B.x=，y=-C.x=,y=-D.x=-，y=因为a∥b，所以==，所以x=，y=-.当前5页，总共41页。4.已知正四面体ABCD的棱长为1，点F、G分别是AD、DC的中点,则·=

.因为==(-),所以·=(-)·=(·-)=×(-1)=-.当前6页，总共41页。5.已知a、b是空间两向量:若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos〈a,b〉=

.由|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=22-2a·b+22=7.所以a·b=，所以cos〈a，b〉=a·b|a||b|==.当前7页，总共41页。一、空间向量及其加减与数乘运算1.空间向量:在空间,我们把具有①

和②

的量叫做向量,空间向量也用③

表示,并且④

的有向线段表示同一向量或相等的向量.

2.空间向量的加法，减法与数乘向量：如下图，我们定义空间向量的加法，减法与数乘向量为：=⑤

,=⑥

，=⑦

(λ∈R).大小方向有向线段方向相同且长度相等a+bλa当前8页，总共41页。空间向量的加法与数乘向量运算满足如下运算律：(1)加法交换律:⑧

；(2)加法结合律:⑨

；(3)数乘分配律:⑩

.二、共线向量与共面向量1.如果表示空间向量的有向线段所在的直线

，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b,记作a∥b.a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)λ(a+b)=λa+λb11互相平行或重合当前9页，总共41页。

2.共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ使

.3.共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对x,y,使p=

.12a=λb14xa+yb当前10页，总共41页。推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y,使

=.

.三、空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任意向量p,存在一个惟一的有序实数组x,y,z,使p=

.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组x,y,z,使=

.15x+y16xa+yb+zcx+y+z17当前11页，总共41页。四、两个向量的数量积

1.已知空间两个向量a,b,则a,b的数量积为:a·b=

,其中〈a,b〉表示向量a，b的

,其范围为

.

2.空间向量的数量积有如下性质：(e为单位向量)

(1)a·e=

;(2)a⊥b

;(3)|a|2=

;18|a|·|b|cos〈a,b〉19夹角20［0，π］21|a|cos〈a,e〉22a·b=023a·a当前12页，总共41页。3.空间向量满足如下运算律：(1)(λa)·b=

；(2)a·b=

;(3)a·(b+c)=

.24λ(a·b)25b·a26a·b+a·c当前13页，总共41页。题型一空间向量线性运算及应用例1三棱锥O-ABC中，M、N分别是OA、BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量,,表示和.当前14页，总共41页。要想用已知向量表示未知向量，只需结合图形，力扣基底，充分运用空间向量加法和数乘向量的运算律即可.=+=+=+(-)=+[(+)-]=-++.=+=-++=++.当前15页，总共41页。用已知向量表示未知向量，一是要选好基底，二是要以图形为指导，利用平面图形的性质，比如重心与中点的特殊量的关系等等.当前16页，总共41页。题型二空间向量数量积及应用例2已知正方体ABCD-A1B1C1D1，CD1和DC1相交于点O,连接AO,求证:AO⊥CD1.当前17页，总共41页。因为=+=++=++(+)=+++=++.

=+=-+，所以·=(++)·(-+)=-·-·-·+·

+·+·=0.所以⊥，即AO⊥CD1.当前18页，总共41页。（1）利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化成向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明，但要注意“和向量”的方向.

(2)由本例可以看出利用空间向量证明垂直问题要用到空间向量的加法法则，向量的运算以及数量积和垂直条件，是通过向量的计算来完成位置关系的判定.当前19页，总共41页。如图所示，已知ABCD，从平面AC外一点O引向量=k,=k,=k,=k,求证：

(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EFGH∥平面ABCD.欲证四点共面,只需证明,,共面,利用A、B、C、D四点共面可证,利用向量的平行可以来证明线线平行,从而证得面面平行.当前20页，总共41页。

(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以=+,则EG=OG-OE

=k-k=k=k(+)=k(-+-)=-+-=+,所以E、F、G、H共面.当前21页，总共41页。(2)因为=-

=k(-)=k,又由(1)的证明知=k,于是EF∥AB,EG∥AC,所以EF∥平面ABCD,EG∥平面ABCD.又EF∩EG=E,所以平面ABCD∥平面EFGH.用向量共面来证明四点共线和用向量共线证明线线平行,从而证明面面平行，是立体几何中常用的向量方法.当前22页，总共41页。题型三空间向量基本定理及应用例3如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AA1=3,AB=AD=2.(1)求证：AA1⊥BD；(2)求||；(3)求cos〈，〉.当前23页，总共41页。条件较集中于点A处，故可取,,为解决问题的基向量,题中各问题中的有关向量,都用基向量来表示,再进行相应运算.

(1)证明：因为·=·(-)=·-·=3×2×cos60°-3×2×cos60°=0,所以⊥，即AA1⊥BD.当前24页，总共41页。(2)||2==(++)2=+++2·+2·+2·=4+4+9+2×2×2cos60°+2×2×3×cos60°+2×2×3×cos60°=33，所以||=.当前25页，总共41页。(3)在△A1AB中，由余弦定理，得A1B2=9+4-2×2×3×cos60°=7，即A1B=7.又=-，所以·=·(-)=·-·=2×2×cos60°-2×3×cos60°=-1.所以cos〈,〉===.本题提供的是利用空间向量的基本运算来处理立体几何中的证明的一般方法，在复习中，应加强这方面的思考.当前26页，总共41页。如图，直三棱柱ABC—A′B′C′中,BC′⊥AB′,BC′⊥A′C,求证：AB′=A′C.当前27页，总共41页。（证法一）向量基底法.

=+,=+，=+.因为BC′⊥AB′，所以·=0，即(+)·(+)=0,所以·+·=0.①同理，由BC′⊥A′C可得·+·=0.当前28页，总共41页。因为直三棱柱ABC—A′B′C′,所以=,故·+·=0.②①+②得(+)·=0.又=-，所以||2=||2.将=+两边平方得=+，将=+两边平方得=+,即=+,所以=,即AB′=A′C.当前29页，总共41页。(证法二)向量坐标法.以AB所在直线为x轴，在平面ABC上以过A且垂直于AB的直线为y轴，AA′所在直线为z轴，建立直角坐标系.设有关点的坐标为A(0,0,0),B(b,0,0),A′(0,0,a),C(x,y,0),则B′(b,0,a),C′(x,y,a).从而=(b,0,a),=(x,y,-a),=(x-b,y,a).当前30页，总共41页。因为⊥,所以(x-b,y,a)·(b,0,a)=0,所以a2=b2-bx.①同理,由⊥可得a2=x2-bx+y2，②=a2+b2=2b2-bx,=x2+y2+a2，代入①②得=2b2-bx,所以=，故||=||，即AB′=A′C.当前31页，总共41页。

1.适当选取三个不共面的向量作为基底，把已知条件转化为各个向量间的关系，通过运算得到结果，这就是向量法解立体几何题的重要策略之一：基底法.

2.建立适当的坐标系，设出相关点的坐标，表示出相关向量，把已知条件转化为各向量间的关系，通过运算得到结论，这也是向量法求解立体几何题的重要策略：坐标法.当前32页，总共41页。1.利用向量解几何问题的基本方法是：把向量或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明.关键是基底或坐标系的选取和运算变形能力.2.注意一些常用结论(1)基本定理：给定空间向量的一个基底{a,b,c}，对于空间任一向量p存在惟一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.当前33页，总共41页。(2)共线、垂直的充要条件:a∥ba=λb(b≠0),a⊥ba·b=0.(3)共面的充要条件:p,a,b共面p=xa+yb(a∥/b).(4)长度、夹角公式:|a|=

,cos〈a,b〉=.当前34页，总共41页。

a+b+c学例1(2007·安徽卷)在四面体O-ABC中，=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=

(用a,b,c表示).=(+)=［(+)+］=++=a+b+c.当前35页，总共41页。学例2(2009·海南/宁夏卷)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.

(1)求证：AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小;

(3)在(2)的条件下，侧棱SC

上是否存在一点E，使得

BE∥平面PAC?若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由.当前36页，总共41页。

（方法一）(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平