指数函数与对数函数的关系

关于指数函数与对数函数的关系第一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一三维目标：1、知识目标：使学生能正确比较指数函数和对数函数性质关系，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解。2、能力目标：从观察图像到引出概念，培养学生观察、分析、探究问题的能力，数形结合思想的运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。3、德育目标：引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系，并欣赏数形和谐的对称美。重点与难点：学习重点：对指数函数和对数函数性质关系的比较，及对反函数概念的理解。学习难点：反函数的概念。第二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第四页，共二十五页，编辑于2023年，星期一第五页，共二十五页，编辑于2023年，星期一问题1：以上图片有一个共同特点，是什么？一、新课引入（发现对称）：第六页，共二十五页，编辑于2023年，星期一011第七页，共二十五页，编辑于2023年，星期一xyo12345678-1-2-3321结论？第八页，共二十五页，编辑于2023年，星期一问题2：观察两个对应值表、两组点的坐标、两组点的位置、两个函数图像之间的关系？通过对比你得到什么结论？x…-3-2-10123…y…1/81/41/21248…x…1/81/41/21248…y…-3-2-10123…表1y=2x表2y=log2x第九页，共二十五页，编辑于2023年，星期一011y=x问题3：关于y=x对称的两个点的坐标有什么关系？问题4：同底的指数函数与对数函数图像有什么关系？第十页，共二十五页，编辑于2023年，星期一二、新课讲授（解释对称）：问题５：指数函数与对数函数有何内在联系？互化x、y互换探究：这种关系是否具有一般性？第十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一强调：指数式与对数式互化图像不变，ｘ，ｙ互换引起图像关于直线ｙ＝ｘ对称问题6：第一步变换有没有引起图像变化？为什么？问题7：第二步变换有没有引起图像变化？为什么？结论？互化x、y互换指数函数与对数函数之间的这种关系并不是它们所特有的，有大量的函数之间具有这种关系。我们称它们互为反函数。第十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一反函数的定义：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。函数y=f(x)(x∈A)的反函数.三、明确定义：记：y=f

－1(x)第十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一（1）反函数的定义域与值域正好是原来函数的值域与定义域。如：不是函数的反函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域。（3）反函数也是函数，因为他们符合函数的定义。（2）对任意一个函数y=f(x),不一定总有反函数；只有当确定一个函数的映射是一一映射时，这个函数才存在反函数。如果有反函数，那么原来函数也是反函数的反函数，即他们互为反函数概念深化：第十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期一问题8：如何求函数的反函数？求反函数的方法步骤：1）求出原函数的值域；即求出反函数的定义域；2）由y=f(x)反解出x=f－1(y)；即把x用y表示出来；3）将x=f－1(y)改写成y=f－1(x)，并写出反函数的定义域；即对调

x=f－1(y)中的x、y.第十五页，共二十五页，编辑于2023年，星期一[例1]求下列函数的反函数：首先,将y=ƒ(x)看作方程,解出x=ƒ-1(y)(y∈C);其次，将x,y互换,得到y=ƒ-1(x)(x∈C).最后,指出反函数的定义域结论?四、巩固训练，加深概念：同底的指数函数与对数函数互为反函数第十六页，共二十五页，编辑于2023年，星期一()A.y轴对称B.x轴对称C.原点对称D.直线y＝x对称[例2]函数y＝3x的图象与函数y＝log3x的图象关于D结论?函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f

－1(x)的图象关于直线y=x

对称。第十七页，共二十五页，编辑于2023年，星期一

[例3]

已知函数.（求证函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.因f(x)的反函数与原函数相同,故结论成立.证明：探究：如何证明一个函数的图象本身关于直线y=x对称？结论?证明一个函数的图象关于直线y=x对称，只需说明它的反函数与原函数相同第十八页，共二十五页，编辑于2023年，星期一[例4]函数f(x)＝loga(x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4)，求a的值.若函数y＝f(x)的图象经过点(a,b)，则其反函数的图象经过点(b,a).结论？解:依题意,得第十九页，共二十五页，编辑于2023年，星期一若函数y=f（x）存在反函数，且f-1（a）=b，则f（b）=a结论？互为反函数的两个函数定义域、值域互换。第二十页，共二十五页，编辑于2023年，星期一练习：求下列函数的反函数：x0123y0149问题9：练习中函数与函数x-3-2-10123y9410149比较，有何异同？结论？只有一一映射的函数才有反函数第二十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期一例5：不查表，不使用计算器求值，比较log23与21.5的大小。图象法第二十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期一五、互为反函数的函数图象增减速度比较：问题10：两个函数图象在第一象限增长速度有何关系？第二十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期一归纳小结：同底的指数函数和对数函数性质关系对照表：性质性质关系图像1.关于y=x对称定义域值域特殊点单调性增减速度指数指数指数指数对数对数对数