历届全国初中数学联赛真题和答案

1991年全国初中数学联赛试题

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确

的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.设等式Ja（x--+\a（y--=Jx--Ja-y在实数范围内成立,其中a,x,y是两两不同

的实数，则与士也;4的值是

x~-xy+y

15

(A)3；(B)_；(C)2；(D)

33

答（）

2.如图，ABIIEFHCD,已知AB=20,CD=80,BC=100,那么EF的值是

(A)10；(B)12；

(C)16；(D)18.

答()

3.方程—|尤|_1=0的解是

(A)1士/；(B)

22

(C)।±6或7土巴(D)+一］±G.

222

答（）

i2____

4.已知：x=；（1991"-1991万）（n是自然数）.那么。-石工行，的值是

(A)1991-1；(B)—1991，

(C)(-l)n1991；(D)(一1)"1991T.

答（)

5.若Ix2x3x…x99xl00=12"M,其中M为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则M

（A）能被2整除，但不能被3整除；

（B）能被3整除，但不能被2整除；

（C）能被4整除，但不能被3整除；

（D）不能被3整除，也不能被2整除.

答（)

2

6.若a,c,d是整数，b是正整数，且满足a+O=c,b+c=d,c+d=a,那么

a+b+c+d的最大值是

(A)-1；(B)-5；(C)0；(D)1.

答()

7.如图，正方形OPQR内接于AABC.已知AAOR、△BOP和ACRQ/勺面积分别是加=1,S2=3和

1,那么，正方形OPQR的边长是

(A)V2；(B)V3；(02；(D)3.

答(//Sz=3f|lr3'

sP。C

8.在锐角△ABC中，AC=1,AB=c,乙4=60°,AABC的外接圆半径R<1,则

(A)J<c<2；(B)0<c

22

答()

(C)c>2；(D)c=

答()

2.二、填空题

1.E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G,如果ABEG的面积是1,则平行

四边形ABCD的面积是__________.

2.已知关于x的一元二次方程加+区c=+0没有实数解.甲由于看错了二次项系数，误求得

两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为一1和4,那么，

2b+3c7-----------,cX--------7，

(x+l)m,”Y•恒成立，则

3.设m,n,p,q为非负数，且对一切x>0,广壬

(m2+2n+〃产=卫口.

4.四边形ABCD中，ZABC=135°,NBCD=120°,AB^76,BC=5—V39

CD=6,则AD=________.

另丁^120°\

/135O\

3

弟A/y_—.^\试_IX

x+y,x-y,xy,_

y

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对(X,

y).二、AABC中，ABVACVBC,D点在BC上，E点在BA的延长线上,

且

BD=BE=AC,ABDE的外接圆与AABC的外接圆交于F点(如

图).求证：BF=AF+CF

三、将正方形ABCD分割为r个相等的小方格(n是自然数)，把相对的顶点A,C染成红色，

把B,D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明：恰有三个顶点同色的小方格

的数目必是偶数.

一.选择题

本题共有8个题，每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论，其中只有一个是正确的.请把正确结论

的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足-耳+必=1的非负整数(。力)的个数是

(A)l;(B)2;(C)3;(D)4.

2

2.若x0是一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的根，则判别式△=廿―4ac与平方式

M=(2以才力f的关系是

(A)A>M(B)(C)A>M;(D)不确定.

3.若尤2_i3x+l=O,则f+汇4的个位数字是

(A)l;(B)3;(C)5;(D)7.

答()

4

4.在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于行,则这个多边形的边数必为

(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.

5.如图，正比例函数y=x和y=ax[a>0)的图像与反比例函

相交于A点和C点.若Rt^AOB和'COD的面积分别为Si和S2,则

(A)S,>S2(B)S,=S2

(C)S,<52(D)不确定

6.在一个由8x8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有

q

小方格的圆内部分的面积之和记为S,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S,则士

12c

的整数部分是

(A)0;(B)l；(C)2;(D)3.

答()

7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD,NA=60。,又E是底

边A8上一点，且FE=FB=AC,FA=AB.

则AE:EB等于

(A)l:2(B)l:3

(C)2:5(D)3:10

答()

8.设%1，%2，招,…,两均为正整数，且

x]<x2<--•<x9,xt+々+…+闷=220，则当项+X2+X3+X4+X5的值最大时,x9-x｝的最小值是

(A)8;(B)9;(C)10;(D)ll.

答()

二.填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18c九腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于

2.若**0，则五三五二近二的最大值是.

X

3.在AA3C中,NC=90°,NA和的平分线相交于尸点，又PEJ/B于E点，若3c=2,AC=3,

则卫.

5

4.若a力都是正实数，且贝口气；

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程f-6x+a=0的两根，当这样的三角形只有一

个时，求a的取值范围.

二、如图，在中，AB=AC,O是底边8C上一点，E是线段AO上一点，且

A

NBED=2NCEANA.A

求证：BD=2CD./\\

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成，现有四

个编码如下：

A：320651B：105263

C：612305D：316250

已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N

相同.试求：M和N.

弟一试

一.选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论，其中只有一个是正确的.请把正确结

论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式P2_f+1除以*2_1的余式是

(C)x-l;(D)x+1;

2.对于命题

I.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

II.内角相等的圆内接四边形是正四边形，以下四个结论中正确的是

(A)I,II都对(B)I对，II错(C)I错，II对.(D)I,II都错.

3.设x是实数，y=|x-l|+|x+l|.下列四个结论：

I.y没有最小值；

II.只有一个x使y取到最小值；

6

III.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值；

W.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)I(B)II(C)III(D)IV

4.实数国,々,%3，%4，*5满足方程组

[用+无2+%3=a\；

卜2+%+%=。2；

-)%3+%4+^5-“3；

4+4+由=a4；

x5++x2=a5.

其中”],。2,43，。4，“5是实常数，且。|>。2>。3>%>。5，贝!J再,看,巧,羽，的大小顺序是

(A)X]>A；2>%3>%4>工5；(B)X4>X2>%1>X3>X5；

(C)x3>x,>x4>x2>x5;(D)x5>x3>%|>x4>x2.

5.不等式X_1<(X_1)2<3X+7的整数解的个解

(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5

6.在MBC中，乙4是钝角，。是垂心,AO^BC,

则cos(NO3C+NOCB)的值是

小行心血

(A)-—

2/

(C)史(D)」.

22

答()

7.锐角三角A3C的三边是a,"c,它的外心到三边的距离分别»为加，〃,p，那么

m:n:p等于

(A)l:1:1;(B)a:b:c

abcCA

(0cosA:cosB:cosC(D)sinA:sin:sinC.

答()

7

8.飘3存点+.T可以化简成

(A)y3(y2+l);(B)再(氏-1)(C)亚-1(D)晚+1

答()

二.填空题

3x2+6x+5

1.当x变化时，分式「----的最小值是____________.

?+X+1

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里

共有30个小球，那么最右面的盒里有个小球.

3.若方程(/_1)(/_4)=%有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则

k=.

4.锐角三角形ABC中,ZA=30。.以BC边为直径作圆，与A3,AC分别交于DE,连接

DE,把三角形ABC分成三角形ADE与四边形8OEC,设它们的面积分另IJ为52,贝I

SiS=_.

第二试

一.设”是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,

这时乘积%QSMBC的值变小，变大，还是不变?证明你的结论.

二.AABC中，BC=5,AC=12,AB=13,在边AB,AC上分别取点D,E,使线段DE

将AABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.

三.已知方程X?+fex+c=0及¥?+cx+Z?=0分别各有两个整数根x,x及且xx>0,x'x'>0.

I212I2I2

⑴求证:M<0,x2<0,%]<0,%2<0;

⑵求证:匕一1WcWO+1;

(3)求b,c所有可能的值.

8

1994年全国初中数学联赛试题

第一，试

（4月3日上午8：30—9：30）

考生注意：本试共两道大题，满分80分.

一、选择题（本题满分48分，每小题6分）

本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认

为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的

代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.

1,若则y+生？+(1+A)X-L

aa1+a

可化简为

A.—B.—C.1-a3D.a2-1小

1+aa+1〔答）（）

2.设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab以ijx,y,z

A.都不小于0B.都不大于0

9

C.至少有一个小0于D.至少有一个大于0（答）（）

3.如图1所示，半圆0的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC,CD,DA相

切，若BC=2,DA=3,则AB的长

A.等于4B,等于5

C.等于6D.不能确定

（答）（）

4当X=.多项式23

的馆为

A.1B.-1C.22（K）ID.-22001

［答）（）

5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD

相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角

A.4对B.8对

C.12对D.16对

（答）（）

6.若方程后6=3有两个不相等的实根，则实

数P的取值范围是

1

<

p-

4

B.1

D.>

P-

4

（答）（）

7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,则

AH-AD+BH-BE+CH-CF的值是

aa3

A..—+be+c软)B.i(：a*b♦c)

2

22f△

C.—+t>c+cW）（次、/

331合J（

8.若a*=3=1994°其中a,b是自然散），旦

W—.贝U2a+b的一切可冒隹的耳5值是

j1yz

A.1001B.1001,3989

C.1001,1996D.1001,1996,3989（答）（）

二、填空题（本题满分32分，每小题8分）

各小题只要求在所给横线上直接填写结果.

10

2

】.若在关于W的恒等式牝:民x+ax

中,■言;失为最询分式.且有，＞J+b=c.如JZ

2.当|x+】K6时.函数y=x|x|-2x+1的最大值

口

7E：-

3.在^ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6,CA=7,AB=8,则DE=.

4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一

个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.

第二试

（4月3日上午10：00—11：30）

考生注意：本试共三道大题，满分60分.

-（本题满分20分）

如图所示，在aABC中，AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,使AP=BQ.求证:

△ABC的外心O与A,P,Q四点共圆。

二（本题满分20分）

周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明

共有几个?

=（本题满分20分）

某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n（n=0,1,2,……,15）个题的人数的一个统计.

n0123...12131415

做对n个题的人数781021...15631

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学

生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了

1994年全国初中数学联赛试题

第一试

11

（4月3日上午8：30—9：30）

考生注意：本试共两道大题，满分80分。

一、选择题（本题满分48分，每小题6分）

本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认

为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的

代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得。分。

,、1C（1>1

1.若0<。<1,则严可化简为（）

i-aa-1,,

A.------B.------C.1-fl-D.-1

1+aa+1

2.设a,/?,c是不全相等的任意实数，x=a2-be,y=b1-ca,z=c2-ab,则x,y,z

()

A.都不小于0B.都不大于0

C.至少有一个小于0D.至少有一个大于0

3.如图1所示，半圆O的直径在梯形A8CO的底边0一cAB

上，且与其余三边BC,CD,D4相切，若

BC=2,DA=3,则AB的长（）/f

A.等于4B.等于5图1

C.等于6D.不能确定

।----------32001

4当*时'多项式（4XT997XT994）的值为（）

4.1B.-1C.22001D.-22001

5.若平行直线EF,与相交直线AB,CO相交

成如图2所示的图形，则共得同旁内角

A.4对B.8对

C.12对D.16对

6.若方程J7二万=》有两个不相等的实根，则实数

p的取值范围是（）

6.1n6.2pC.0<p<_LD.p>—

<0<4*4

4

7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,相交于"。若BC=a,AC=b,AB=c,则

4”4。+引小5七+。"。/的值是（)

A.1("+be+co)|3.犯+/+'2)

2

12

轲+

C.“ab+bc+ca)D.2）

3

8.若"="=19942(其中。b)是自然数，且有1』1二=L则2a+b的一切可能的取值是

Xyz

()

A.1001B.1001,3989

C.1001,1996D.1001,1996,3989

二、填空题（本题满分32分，每小题8分）

各小题只要求在所给横线上直接填写结果。

1.若在关于x的恒等式?x+N2_j中，Mx+N为最简分式,且有。〉。，

x2+x-2x+ax+bx2+x-2

a+b=c,贝

2.当|x+l]«6时，函数y=x|X—2x+l的最大值是.

3.在11ABC中，设AO是高，BE是角平分线，若BC=6,CA=7,AB=8,则。E=口.

4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要有用一个大圆形

纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.

第二试

（4月3日上午10：00—11：30）

考生注意：本试共三道大题，满分60分。

-（本题满分20分）

如图所示，在I中，AB=AC。任意延长C4到P,再延长

厦门数学教师交流群：259652195,厦门培训机构教师群：702457289

物理竞赛群：271751860,化学竞赛群：271751511,生：281798334,

英语口语群：3

0C

AB到Q,使AP=8。。

求证：IABC的外心。与A,P,Q四点共圆。

二（本题满分20分）

周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个?

=（本题满分20分）

某次数学竞赛共有15个题。F表是对于做对n（n=0,1,2,……，15）个题的人数的一个统计。

做对n个题的人数

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每

人平均做对4个题。问这个表至少统计了多少人？

1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案

一、选择题;

小题号12345678

答案ADBBDCBC

二、填空题：

142,6考4吗

第二试提示及答案。

一、连结OA,OC,OP,OQo证明△OCPgAOAQ,于是

ZCPO=ZAQO,所以O,A,P,Q四点共圆。

这样的三直角三角形存在，恰有一个，

两条直角边为了与土?，斜边为*

三、这个表至少统计了200人。

1995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1.已知a=355,b=444,c=533,则有[]

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.方程组|63,的正整数解的组数是

[xz-yz=23

[]

A.1B.2C.3D.4

3.如果方程(x—1)(x2—2x—m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m

的取值范围是1】

3

_A..OMm<1B.m>—

-4

33

C.—vmM1.—MmV1

AA

4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为[]

A.62nB.63nC.64nD.65n

5.设AB是。0的一条弦，CD是。0的直径，且与弦AB相交，记乂=ISACAB-SADABI,

N=2SAOAB»则[]

A.M>NB.M=NC.M<ND.M、N的大小关系不确定

6.设实数a、b满足不等式Ilai—(a+b)I<Ia—|a+bII,则[]

A.a>0且b>OB.aVO且b>0

C.a>0且b<OD.a<0且bVO

二、填空题

1.在口，22,32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有个。

2.己•笑口a:是:94-x——^艮，贝U

4

j父一：——的值等于____.

3.设x为正实数，贝U函数y=x?-x+」的最小值

x

是___.

4.以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O,C是半圆周上的点，且0C2=AC・BC,则/

CAB=.

第二试

一、已知NACE=NCDE=90°,点B在CE上，CA=CB=CD,经A、C、D三点的圆交

AB于F(如图)求证F为4CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

的点称为整点，试在二次函数y=—-A+!

10105

的图象上找出满足y<IxI的所有整点(x,y),并明理由

三、试证：每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

199萍全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1.已知a=355力=4用工=533贝J有[]

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.方程组中+"=6'的正整数解的组数是

xz-yz=23

[]

A.1B.2C.3D.4

3.如果方程体一1)慎2—2*—0!)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那

么实数m的取值范围是11

A.OMmM1B.mN—

C■彳vmM1D.—MtnM1

4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为

[]

A.62xB.63兀C.64无D.65兀

5.设AB是00的一条弦，CD是。O的直径，且与弦AB相交，记乂=IS△CAB

—SADAB।,N==2SAOAB,则[]

A.M>NB.M=NC.M<ND.M、N的大小关系不确定

6.设实数a、闲足不等式IIaI—(a+b)I<Ia—a+bII,贝班]

A.a>0且b>0B.a<0且b>0

C.2>0且1)<0D.2<0且1)<0

二、填空题

1.在口，22,32…，952这弊个数中，十位数字为奇数的数共有个.

2.己知a是方程x*+x--=0的根，则

一广1~r的值等于__一

3.设x为正实数，则函勒=x/x+」的最小值

X

是一

4.以线段AB为直径作一个半层],扇心为O,C是半扇周上的点,且OC2=AC-BC,

则NCAB=.

第二试

一、已知NACE=NCDE=90°,点睹CE上，CA=CB=CD,经A、C、D

三点的扇交AB于F(如图)求证F为的内心.

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

的点称为整点.试在二次函数y=磊一衣+|

的图象上找出满足y<IxI的所有整点(x,y),并明理由.

三、试证：每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的自然数之

和.

199•全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.讲解：这类指数幕的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化

为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有

C=(53)11=12511

<243n=(35)11=a

<25611=(44)11=b.选C.

利用】g2=0.3010,lg3=0.4771计算Iga、Igb、1g也可以，但没有优越性.

2.讲解：这类方程是熟知的.先由第二个方程确定z=L进而可求出两个解：

(2.21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组

产+y=63,①

x+y=23,

直接判断：因为xWy(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解，对照

诜择支，诜B.

3.讲解：显然，方程的一个根为1,另两根之和为XI+X2=2>1。三根能作为

一个三角形的三边，须且只须IX1—X2I<1又

IXj-x2I==也一4m<1,

IaI

有0W4—4mVL

解得

但作为选择题，只须取m=之代入.得方程的根

为I,2,2.不能组成三角形.故包括2的A.B.

224

泌可否定.选C.

4.讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一.又

AB2+AD2

=25?+6()2

=52X(52+122)

图1

=52X132

=(32+42)X132

=392,(_522

=BC2+CD2

故可取BD=65为直径，得周长为6s兀，选D.

5.讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由

是错误的.比如有的考生取AB为直径，则M=N=O,于是就选B.其实，这只能排

除A、C,不能排除D.

不失一般性，设CENED,在CE上取CF=ED,则有OF=OE,且S/^ACE-S

AADE=SAAEF=2SAAOE-同理，SABCE-SABDE=2SABOE-相加，得$也

ABC-SADAB=2SAOAB,即M=N"选B.

若过C、D、8别作AB的垂线(图3),CE_LAB、DFJ_AB、OL±AB,垂足分

别为E、F、L.连CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂径分弦定理，知L是EF的中点.根

据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一

牛，有

ICE-DFI=20L.

两边乘以gAB,可得

।S&他「SADMI=

即\1=\选B.

6.讲解：取a=-l、b=2可否定A、C、D,选B.一殷地，对已知不等式平方,

有

IaI(a+b)>aIa+bI.

显然IaII(a+b)I>0(若等于0,则与上式矛盾)，有

a+b〉a

Ia+bIlai,

两边都只能取1或-1，故只有1>-1,即

a+b=1,_A_=_1,

Ia+bIlai

有aVO且a+b>0,从而b>-a>0.选B.

二、填空题

1.讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力.经计算12,

22,102,知十位数字为奇数的只有42=16,62=36.然后，对两位数10a+b,

有

(10a+b)2=20a(Sa+bj+b2.

其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b=4或

6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1,2,95中个位数出现了几次4

或6,有2X9+1=19.

2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a

=挈代入将导致复杂的计算.

由已知，有a?+a=①

4

原式=4宗二】)(/?苧

a3(a-l)(a+l)3

J+1

,(a+a)+l_4,?0

(a+a)(1)J

学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2+a作为整体

代入.这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活.比如，由①有

aJ+a2=-1a,②

4

a5+a4=~a3③

4

由②一①，得

a3-a=-(a-1).④

4

由③一②并将④代入，得

416

⑤

于是，原武=：T=16(a'+a+】)

A-。

=16(1+1)=20.

还可由①得

a2+a+1=?,

4

⑥・⑤即得所求.

3.讲解：这个题目是将二次函数y=x2-x与反比例函数

y=工作叠加.要求学生在掌握二次函数求最值

X

(配方法)的基础上，做综合性与灵活性的运用.

进行两次配方：

y=(x-l)2+(^c-+

或y=(x2-l)(x-[)+]>[.

因而X=1时，、有最小值1.

4.讲解：此题由邕者提供，原题是求sin

NCAB,让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sm75°

sinl5°.解法如下：

图5

首先NACB=9(T.进而OC=gAB,代入己

知条件,有

(1AB)J=AC.BC.①

与AB2=AB2+AC2②

联立，可推出

AC+BC=JjAB.

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

x2-J|ABX+与=0的两个根.解得

_娓士也

AB.

4

当BC='二AB时,

4

anZCAB=^=AtJl(ZCAB=75*)i

当BC=而三一也AB时,

sinZCAB=H(ZCAB=15*).

改为求NCAB之后，思路更宽一些.如，由

SAA»C=1AC-30=10^,

S"产2sx=2'10CJsnZAOC,

得sinNAOC=g.

当NA8=30'时.ZCAB=^(180,-30,)

-75,।

SZAOC=150,时,NCAB=gl8(T-150,)

-15,

第二试

一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角△

ABC中，斜边BC上的高，过aABD的内心与△ACD的内心的直线分别交边AB和AC

于坤］L,^AB函aAKL的面积分别记为S和T.求证以2T.

在这个题目的证明中，要用到AK=AL=AD.

今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK=AL=AD（斜边上的高），再求证

KI通过aABD、AADC的内心（图7）.

其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE,然

后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线

段相等.下面是几个有代表性的证法.

图6

证法1：如图6,连DF,则由已知，有

ZCDF=ZCAB=45*=」NCDE,ttDF为

2

NCDE的平分线.

连BD、CF,由CD=CB,知

NFBD=NCBD—45°

=NCDB-45°=NFDB,

得FB=FD,即F至帕、D和距啻相等，F在线段BD的垂直平分线卜，从而也，在等

腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是NECD的平分线.

由于F是上两条角平分线的交点，因而就是△CDE的内心.

证法2：同证法1,得出NCDF=45°=90°—45°=NFDE之后，由于NABC=

NFDE,故有B、E、D、F四点共圆.连EF,在证得

NFBD=NFDB之后，立即有NFED=NFBD=NFDB=NFEB,即EF是NCED

的平分线.

本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把讦多

已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂.

由这个证明可知，F是△DCB的外心.

图8

ZCDF=ZCAB=45*=工/CDE.知DF是

2

NCDE的平分线.故F为CDE的内心.

证法也如图8,只证CF为NDCE的平分线.由NAGC=NGBA+NGAB=45

°+N2,

NAGC=NADC=ZCAD=NCAB-Z1

=45°+N1

得N1=N2.

从而NDCT=NGCF,

得CF为NDCE的平分线.

证法S：首先DF是NCDE的平分线，故

△CDE的外心I在直线DF上.

现以CA为、轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA=CB=CD=&则直线AB是一次

函数

¥=-x+d①

的图冢(