2022年山东省德州市高考数学二模试卷

2022年山东省德州市高考数学二模试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={0，1，2}，B={x|x2+x-2≤0}，则A∩B=（）A.{0，1}B.[0，1]C.[-2，1]D.{0，1，2}2.（单选题，5分）已知m，n是两条不重合的直线，β是一个平面且n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）已知i是虚数单位，a，b均为实数，且，则点（a，b）所在的象限为（）A.一B.二C.三D.四4.（单选题，5分）已知a＞0，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）A.36B.30C.15D.105.（单选题，5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位6.（单选题，5分）设随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＜2-a）=0.3，则P（2-a＜X＜a）=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.67.（单选题，5分）已知函数f（x）是偶函数，其导函数f'（x）的图象见下图，且f（x+2）=f（2-x）对x∈R恒成立，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.8.（单选题，5分）双曲线的一条渐近线方程为，F1、F2分别为该双曲线的左、右焦点，M为双曲线上的一点，则的最小值为（）A.2B.4C.8D.129.（多选题，5分）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）

A.样本的众数为B.样本的80%分位数为72C.样本的平均值为66D.该校男生中低于60公斤的学生大约为300人10.（多选题，5分）已知O为坐标原点，A（，0），B（，），P，则下列结论正确的是（）A.△OAB为等边三角形B.最小值为C.满足的点P有两个D.存在一点P使得11.（多选题，5分）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16π，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（）

A.直线AD与平面DEF所成的角为B.经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为C.异面直线AD与CF所成角的余弦值为D.球上的点到底面DEF的最大距离为12.（多选题，5分）若函数f（x）=lnx+a（x2-2x+1）（a∈R）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（）A.函数f（x）至少有一个零点B.a＜0或a＞2C.D.f（x1）+f（x2）＞1-2ln213.（填空题，5分）设函数，若f（a）=1，则a=___．14.（填空题，5分）已知角θ的终边过点A（3，y），且sin（π+θ）=，则tanθ=___．15.（填空题，5分）已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，A（t，1）是抛物线第一象限上的点，|AF|=5，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则S△AOB=___．16.（填空题，5分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段（，），记为第1次操作；再将剩下的两个区间[0，]，[，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作...；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为___.（lg2=0.30，lg3=0.47）17.（问答题，10分）已知数列{an}的首项，且满足．

（1）证明是等比数列，并求数列an的通项公式；

（2）记，求{bn}的前n项和Sn．18.（问答题，12分）2021年12月17日，工信部发布的“十四五”促进中小企业发展规划》明确提出建立”百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业下表是某地各年新增企业数量的有关数据：年份（年）20172018201920202021年份代码（x）12345新增企业数量：（y）817292442（1）请根据表中所给的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年此地新增企业的数量；

（2）若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”全业个数，求随机变量X的分布列与期望．

参考公式：回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，．19.（问答题，12分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．

问题：已知△ABC中，D为AB边上的一点，且BD=2AD，_______．

（1）若，求∠BCD大小；

（2）若CD=CB，求cos∠ACB．20.（问答题，12分）《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术•商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”P-ABCD，底面为边长为2的正方形，侧棱PA⊥面ABCD，PA=2，E、F为边BC、CD上的点，，，点M为AD的中点．

（1）若，证明：面PBM⊥面PAF；

（2）是否存在实数λ，使二面角P-EF-A的大小为45°？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线BM与面PEF所成角的正弦值．21.（问答题，12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．

（1）求曲线G的方程；

（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=cos2x+a（x2-1），g（x）=1-cosx．

（1）当a=0时，求f（x）图象在（，f（））处的切线方程；

（2）当a＞1时，求f（x）的极值；

（3）若，f'（x）为函数f（x）的导数，恒成立，求a的取值范围．

2022年山东省德州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={0，1，2}，B={x|x2+x-2≤0}，则A∩B=（）A.{0，1}B.[0，1]C.[-2，1]D.{0，1，2}【正确答案】：A【解析】：求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．

【解答】：解：∵集合A={0，1，2}，B={x|x2+x-2≤0}={x|-2≤x≤1}，

∴A∩B={0，1}．

故选：A．

【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，5分）已知m，n是两条不重合的直线，β是一个平面且n⊂β，则“m⊥n”是“m⊥β”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：根据线面垂直的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

【解答】：解：①根据线面垂直的定义，m必须垂直平面β内的两条相交直线，才有m⊥β，即充分性不成立，

②若m⊥β，∵n⊂β，则m⊥n成立，即必要性成立，

故m⊥n是m⊥β的必要不充分条件，

故选：B．

【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面垂直的性质和判定定理是解决本题的关键．3.（单选题，5分）已知i是虚数单位，a，b均为实数，且，则点（a，b）所在的象限为（）A.一B.二C.三D.四【正确答案】：B【解析】：根据已知条件，结合复数相等，以及复数的几何意义，即可求解．

【解答】：解：∵，

∴b+ai=（3+i）（1-i）=3-3i+i+1=4-2i，即b=4，a=-2，

∴点（-2，4）所在的象限为二．

故选：B．

【点评】：本题主要考查复数相等，以及复数的几何意义，属于基础题．4.（单选题，5分）已知a＞0，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（）A.36B.30C.15D.10【正确答案】：C【解析】：令x=1，可得所有项的系数和为（1+a）6=64，求出a的值，再利用二项展开式的通项公式求解．

【解答】：解：令x=1，可得所有项的系数和为（1+a）6=64，且a＞0，

∴1+a=2，∴a=1，

∴二项式为（x+）6，展开式的通项为Tr+1=x6-r=x6-3r，

令6-3r=0得r=2，即展开式中的常数项为=15，

故选：C．

【点评】：本题主要考查了二项式系数的性质，考查了二项展开式的通项，属于基础题．5.（单选题，5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【正确答案】：B【解析】：利用诱导公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【解答】：解：因为=cos（2x+-）=cos2（x-），

所以将函数y=cos2x图象向右平移个单位即可得到函数的图象．

故选：B．

【点评】：本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6.（单选题，5分）设随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＜2-a）=0.3，则P（2-a＜X＜a）=（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6【正确答案】：C【解析】：根据正态分布的对称性求解即可．

【解答】：解：∵（2-a）+a=2，∴x=2-a，x=a关于x=1对称，

∴P（2-a＜X＜a）=2P（2-a＜X＜1）=2×[0.5-P（X＜2-a）]=0.4，

故选：C．

【点评】：本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．7.（单选题，5分）已知函数f（x）是偶函数，其导函数f'（x）的图象见下图，且f（x+2）=f（2-x）对x∈R恒成立，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：由导函数f'（x）的图象判断函数的单调性，结合已知判断函数的对称性，于是可得答案．

【解答】：解：由导函数f'（x）的图象可知，

f（x）在（0，2）上单调递增；①

又f（x+2）=f（2-x）对x∈R恒成立，

所以f（）=f（），②

所以f（x）的图象关于直线x=2对称，

又函数f（x）是偶函数，所以f（-1）=f（1），③

因为＜1＜，

所以由①②③得：f（）＜f（1）=f（-1）＜f（）=f（），

故选：D．

【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．8.（单选题，5分）双曲线的一条渐近线方程为，F1、F2分别为该双曲线的左、右焦点，M为双曲线上的一点，则的最小值为（）A.2B.4C.8D.12【正确答案】：B【解析】：分析可知a=3，且||MF1|-|MF2||=6，要使的值最小，则|MF1|应尽可能大，|MF2|应尽可能小，则点M在双曲线右支上，由此|MF2|=|MF1|-6，再利用基本不等式判断不能取到等号，最后结合|MF2|≥2，得到答案．

【解答】：解：∵双曲线的一条渐近线方程为，

∴a=3，

由双曲线的定义可知，||MF1|-|MF2||=6，

要使的值最小，则|MF1|应尽可能大，|MF2|应尽可能小，

故点M应为双曲线右支上一点，|MF1|-|MF2|=6，则|MF2|=|MF1|-6，

∴，当且仅当|MF1|=4时等号成立，此时|MF2|=-2＜0，故此时取不到等号，

而|MF2|≥2，故当|MF2|=2，|MF1|=8时，取得最小值4，

故选：B．

【点评】：本题考查双曲线性质的运用，同时也考查了基本不等式的运用，考查分析问题解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．9.（多选题，5分）教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管频率理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康0.06重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生007科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（）

A.样本的众数为B.样本的80%分位数为72C.样本的平均值为66D.该校男生中低于60公斤的学生大约为300人【正确答案】：ABD【解析】：频率分布直方图中最高矩形的中点值为众数，从而判断选项A；

利用频率分布直方图求80%分位数判断选项B，

利用频率分布直方图求平均数判断选项C，

利用频率分布直方图求低于60公斤的学生的频率，再求频数即可判断选项D．

【解答】：解：对于选项A，样本的众数为=67，故正确；

对于选项B，

∵0.03×5+0.05×5+0.06×5=0.7＜0.8，

0.03×5+0.05×5+0.06×5+0.04×5=0.9＞0.8，

∴样本的80%分位数在（70，75]之间，

70+×5=72，故正确；

对于选项C，

样本的平均值为57.5×0.03×5+62.5×0.05×5+67.5×0.06×5+72.5×0.04×5+77.5×0.02×5=66.75，

故错误；

对于选项D，

该校男生中低于60公斤的学生大约为2000×0.03×5=300人，故正确；

故选：ABD．

【点评】：本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．10.（多选题，5分）已知O为坐标原点，A（，0），B（，），P，则下列结论正确的是（）A.△OAB为等边三角形B.最小值为C.满足的点P有两个D.存在一点P使得【正确答案】：AD【解析】：根据数量积的定义和三角函数的性质，数量积的运算性质以及向量垂直的充要条件、向量的模长公式和夹角公式等逐项判断即可．

【解答】：解：对于A，，，||=，

故△OAB为等边三角形，A正确；

对于B，=，

当α=0时，该式取得最小值，该式取最大值，故B错误；

对于C，由，得===0，

结合，可知符合，故符合题意的P点只有一个，故C错误；

对于D，由题知==（cosα，sinα），

所以，即，结合，解得，故D正确．

故选：AD．

【点评】：本题考查平面向量数量积的概念、运算和性质，以及三角函数的性质，属于中档题．11.（多选题，5分）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为16π，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠面成，如图②，则下列结论正确的是（）

A.直线AD与平面DEF所成的角为B.经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为C.异面直线AD与CF所成角的余弦值为D.球上的点到底面DEF的最大距离为【正确答案】：AC【解析】：根据线面角的定义，正弦定理，异面直线所成角的概念，点面距的转化分别对四个选项的问题求解．

【解答】：解：对选项A，∵平面ADE⊥平面DEF，∴AD在平面DEF内的射影为DE，

∴∠ADE=，即为AD与平面DEF所成的角，∴A选项正确；

对选项B，如右图，分别取DE，EF，DF中点为M、N、P，连AM，BN，CP，

则由题意得AM，BN，CP都和平面DEF垂直，

且AM，BN，CP三线段都为边长为4的等边三角形的高，

∴AM，BN，CP三条线段相互平行且相等，

∴CA平行且等于PM，PM平行且等于=2，同理AB=BC=2，

∴△ABC是边长为2的等边三角形，

∴由正弦定理，得△ABC的外接圆半径r=，

∴经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为，∴选项B错误；

对选项C，由B选项的解答知CA||FN，且CA=FN，∴CF||AN且CF=AN，

∴异面直线AD与CF所成角即为∠DAN或其补角，

在△DAN中，易知AD=4，AN=CF=4，DN=，

设∠DAN=2θ，则sinθ=，

∴，∴选项C正确；

对选项D，∵球的表面积为16π，∴球的半径R=2，

∴球心O到△ABC截面小圆圆心O1的距离，

∴球上的点到底面DEF的最大距离为，∴选项D错误．

故选：AC．

【点评】：本题考查线面角的定义，正弦定理，异面直线所成角的概念，空间想象力，化归与转化思想，属中档题．12.（多选题，5分）若函数f（x）=lnx+a（x2-2x+1）（a∈R）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则（）A.函数f（x）至少有一个零点B.a＜0或a＞2C.D.f（x1）+f（x2）＞1-2ln2【正确答案】：ACD【解析】：对于A：当x=1时，f（1）=0，即可判断A是否正确；

对于B：求导得f′（x）=，若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则2ax2-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，f′（x）有两个变号零点，进而可得Δ＞0且，即可解出a的取值范围，进而判断B是否正确；

对于C：由选项B分析可得x1+x2=1，x1＞0，x2＞0，x1＜x2，x2=1-x1，则1-x1＞x1，即可解出答案，进而可判断C是否正确．

对于D：根据题意可得f（x1）+f（x2）=lnx1x2+a[（x1+x2）2-2x1x2-2（x1+x2）+2]，将x1+x2=1，x1x2=代入上式，进而可得f（x1）+f（x2）=a-lna-ln2-1，令h（a）=a-lna-ln2-1，a＞2，求导分析单调性，推出h（a）＞h（2）=1-2ln2，即可判断D是否正确．

【解答】：解：对于A：f（x）=lnx+a（x2-2x+1）=lnx+a（x-1）2，

当x=1时，f（1）=ln1+a（1-1）2=0，

所以f（x）至少有一个零点，故A正确；

对于B：f（x）=lnx+a（x2-2x+1），

f′（x）=+a（2x-2）=+2ax-2a=，

因为f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），

所以2ax2-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，

所以f′（x）有两个变号零点，

所以Δ=（-2a）2-4×2a×1=4a2-8a=4a（a-2）＞0，

所以a＞2或a＜0，

因为x1＞0，x2＞0，

所以，

所以a＞2，故B错误；

对于C：由选项B分析可得x1+x2=1，x1＞0，x2＞0，x1＜x2，

所以x2=1-x1，

所以1-x1＞x1，

所以2x1＜1，解得0＜x1＜，故C正确；

对于D：f（x1）+f（x2）=lnx1+a（x12-2x1+1）+lnx2+a（x22-2x2+1）

=lnx1x2+a[x12+x22-2（x1+x2）+2]=lnx1x2+a[（x1+x2）2-2x1x2-2（x1+x2）+2]，

将x1+x2=1，x1x2=代入上式，

f（x1）+f（x2）=ln+a（1-2•-2×1+2）=-ln2a+a（1-）

=-ln2-lna+a-1=a-lna-ln2-1，

令h（a）=a-lna-ln2-1，a＞2

h′（a）=1-=＞0，

所以h（a）在（2，+∞）上单调递增，

所以h（a）＞h（2）=2-ln2-ln2-1=1-2ln2，故D正确，

故选：ACD．

【点评】：本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．13.（填空题，5分）设函数，若f（a）=1，则a=___．【正确答案】：[1]0或e【解析】：由题意，利用分段函数，分类讨论求得函数的值．

【解答】：解：∵函数，若f（a）=1，

则当a≤0时，a2+1=1，∴a=0．

则当a＞0时，lna=1，∴a=e，

故答案为：0或e．

【点评】：本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，属于基础题．14.（填空题，5分）已知角θ的终边过点A（3，y），且sin（π+θ）=，则tanθ=___．【正确答案】：[1]-【解析】：由题意利用诱导公式，任意角的三角函数的定义即可求解．

【解答】：解：因为角θ的终边过点A（3，y），且sin（π+θ）=-sinθ=，

所以sinθ==-，可得y=-4，

则tanθ==-．

故答案为：-．

【点评】：本题主要考查了诱导公式，任意角的三角函数的定义在三角函数求值中的应用，属于基础题．15.（填空题，5分）已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，A（t，1）是抛物线第一象限上的点，|AF|=5，直线AF与抛物线的另一个交点为B，则S△AOB=___．【正确答案】：[1]40【解析】：根据已知求得p，以及A，进而求出直线AF的方程，得到点B的坐标，进而求解结论．

【解答】：解：∵抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，A（t，1）是抛物线第一象限上的点，|AF|=5，

∴1+=5，可得p=8，

∴抛物线x2=16y的焦点为F（0，4），

y=1代入可得x=4（-4舍去），

∴A（4，1），

∴lAF的方程为：=，即3x+4y-16=0，

联立，解得或，

即B（-16，16），

故|AB|==25，

点O到直线AB的距离为：，

∴S△AOB=×25×=40，

故答案为：40．

【点评】：本题主要考查抛物线的性质应用，属于基础题．16.（填空题，5分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段（，），记为第1次操作；再将剩下的两个区间[0，]，[，1]分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作...；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次从左到右第三个区间为___，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为___.（lg2=0.30，lg3=0.47）【正确答案】：[1][，];[2]9【解析】：先根据题意把第n次操作所去掉的长度和求出来，然后再求和即可得到前n次操作所去掉的长度，再建立不等式即可求出n的最小值．

【解答】：解：第一次操作去掉了区间长度的，剩下的区间：，，

第二次去掉2个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，，

第三次去掉4个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，，⋯．

以此类推，

第n次将去掉2n-1个长度为的区间，即长度和为，

则{an}的前n项和可表示为：

，

由题意知，，，

两边同时取对数，即n（lg2-lg3）≤-3lg3，

解得：n≥8.13，∴n=9，

故答案为：；9．

【点评】：本题主要考查函数模型及其应用，数学史中的数学文化试题等知识，属于中等题．17.（问答题，10分）已知数列{an}的首项，且满足．

（1）证明是等比数列，并求数列an的通项公式；

（2）记，求{bn}的前n项和Sn．【正确答案】：

【解析】：（1）对于两边取倒数，可推得，结合等比数列的通项公式，求得答案；

（2）由（1）求得的表达式，利用错位相减法，即可求得答案．

【解答】：证明：（1），

所以，

即是等比数列，

则的首项为，公比为3，

所以，

所以；

解：（2），

所以①，

②，

①-②得，

所以．

【点评】：本题考查了等比数列的证明和错位相减求和，属于中档题．18.（问答题，12分）2021年12月17日，工信部发布的“十四五”促进中小企业发展规划》明确提出建立”百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”、“小巨人”、“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化、精细化、特色化，新颖化优势的中小企业下表是某地各年新增企业数量的有关数据：年份（年）20172018201920202021年份代码（x）12345新增企业数量：（y）817292442（1）请根据表中所给的数据，求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年此地新增企业的数量；

（2）若在此地进行考察，考察企业中有4个为“专精特新”企业，3个为普通企业，现从这7个企业中随机抽取3个，用X表示抽取的3个为“专精特新”全业个数，求随机变量X的分布列与期望．

参考公式：回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，．【正确答案】：

【解析】：（1）求得x，y的平均值，根据最小二乘法估计公式求得回归方程的系数，即可求得答案，将x=7代入回归直线方程，即可预测2023年此地新增企业的数量；

（2）由题意可得X可能取值为0，1，2，3，根据超几何分布的概率计算求得X的分布列，进而求得期望．

【解答】：解：（1），，

=75，

，

所以，，

所以，

2023年，即当x=7时，由线性回归方程可得，

所以估计2023年此地新增企业的数量的为54家；

（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，

因为，，，，

所以X的分布列为：X123P所以．

【点评】：本题考查了线性回归方程和离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．19.（问答题，12分）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．

问题：已知△ABC中，D为AB边上的一点，且BD=2AD，_______．

（1）若，求∠BCD大小；

（2）若CD=CB，求cos∠ACB．【正确答案】：

【解析】：选条件①②③均可得，（1）设腰长AC=BC=x，则，可得CD的长，可得CD2+BC2=BD2，可得结论；（2）取BD的中点E，连接CE，设AC=2t，由余弦定理cos∠ACB=可求值．

【解答】：解：若选①：

因为asinC=csinA，所以2c=asinC+ccosA=csinA+csinA，

所以，所以，

所以，因为0＜A＜π，所以，

所以，

若选②：

因为，

所以，所以，

因为0＜A＜π，所以，

若选③：

因为ccosB+bcosC=a，

所以，

所以，因为0＜A＜π，

所以，

（1）若，△ABC为等腰三角形，且，

设腰长AC=BC=x，则，

所以，

由余弦定理CD2=BC2+BD2-2BC⋅BDcosB=x2+x2-2x2=x2，

所以CD2+BC2=BD2，

所以CD⊥BC

所以∠BCD=90°，

（2）取BD的中点E，连接CE，由CB=CD得CE⊥AB，

设AC=2t，在Rt△ACE中，，

，，

AE==t，AB=AE+BE=t，

由余弦定理得．

【点评】：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.（问答题，12分）《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．在《九章算术•商功》篇中提到“阳马”这一几何体，是指底面为矩形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，现有“阳马”P-ABCD，底面为边长为2的正方形，侧棱PA⊥面ABCD，PA=2，E、F为边BC、CD上的点，，，点M为AD的中点．

（1）若，证明：面PBM⊥面PAF；

（2）是否存在实数λ，使二面角P-EF-A的大小为45°？如果不存在，请说明理由；如果存在，求此时直线BM与面PEF所成角的正弦值．【正确答案】：

【解析】：（1）证明面面垂直即证BM⊥面PAF线面垂直，证明线面垂直即证BM⊥AF、PA⊥BM线线垂直；

（2）首先利用二面角PEFA的大小为45°，求出CF、CE的长，然后建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后再求其线面角．

【解答】：（1）证明：时，点E、F为BC及CD的中点．

连接AF与BM交于点G，

在△ABM和△DAF中，AB=ADAM=DF∠BAM=∠ADF=90°，

所以△ABM≅△DAF，于是∠ABM=∠FAD．

而∠FAD+∠BAF=90°，

所以∠ABM+∠BAF=90°，

故∠AGB=90°，即BM⊥AF．

又PA⊥面ABCD，BM⊂面ABCD，

所以PA⊥BM．

因为BM⊥PA，BM⊥AF，PA⊂面PAF，AF⊂面PAF，PA∩AF=A，

所以BM⊥面PAF．

又因为BM⊂面PBM，所以面PBM⊥面PAF．

（2）解：连接AC，交EF于点Q，连接PQ，记BD与AC交于点O，如图：

因为，，

所以EF||BD，

因为AC⊥BD，

所以AC⊥EF，从而PQ⊥EF，

所以∠AQP为二面角PEFA的一个平面角．

由题意，∠AQP=45°，从而AQ=PA=2，

所以，

于是，

所以，．

如图，以AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴建立空间直角坐标系，

于是P（0，0，2），，，B（2，0，0），M（0，1，0），

，，，

设面PEF的一个法向量是，

由，

取x=1，则y=1，，则．

所以直线BM与面PEF所成角为θ，

则=．

【点评】：本题主要考查线面垂直的证明，空间想象能力的培养，二面角的相关计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．21.（问答题，12分）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（-，0），（，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，，动点C的轨迹为曲线G．

（1）求曲线G的方程；

（2）设直线l与曲线G交于M、N两点，点D在曲线G上，O是坐标原点，判断四边形OMDN的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【正确答案】：

【解析】：（1）由题意得|CA|+|CB|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，根据椭圆的定义，即可得a，c的值，根据a，b，c的关系，可得b值，即可得答案．

（2）由题意得直线l的斜率存在，设直线l方程是y=kx+m，与椭圆联立，根据韦达定理，可得x1