高一数学下学期期中模拟预测卷（解析版）

高一数学下学期期中模拟预测卷考生注意：1．本试卷含四个大题，共22题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二、三大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共8小题）1．复数z＝（1+i）（2﹣i）的虚部是（）A．1 B．i C．3 D．3i【分析】根据复数的运算化简z，求出z的虚部即可．【解答】解：z＝（1+i）（2﹣i）＝2﹣i+2i+1＝3+i，故z的虚部是1．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，考查与复数有关的定义，是基础题．2．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个（）A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形【分析】根据斜二侧画法还原直线△ABC在直角坐标系的图形，进而分析出△ABC的形状，可得结论．【解答】解：根据“斜二测画法”可得BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝；∴原△ABC是一个等边三角形，如图所示．故选：A．【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图之间的关系应用问题，是基础题．3．已知一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为60°，则圆锥的高为（）A． B． C．20cm D．10cm【分析】通过圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，求出圆锥的高即得．【解答】解：由题设条件可知，在直角三角形中，圆锥的高：h＝20cos60°＝20×＝10cm．故选：D．【点评】本题主要考查了圆锥的几何体的特征，正确利用圆锥的母线，底面半径构成的直角三角形，是解题的关键，考查计算能力，属于基础题．4．如图，在△ABD中，C为BD的中点，，则＝（）A． B． C． D．【分析】根据向量加法和减法、数乘的几何意义以及向量的数乘运算即可表示出．【解答】解：＝．故选：D．【点评】本题考查了向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．5．已知、为单位向量，则的最大值为（）A． B． C．3 D．【分析】根据单位向量的定义与性质，利用模长公式，求出⊥时|+|+|﹣|取得最大值．【解答】解：、为单位向量，则||＝||＝1，不妨设＝（cosθ，sinθ）＝（1，0）；∴|+|＝＝＝2|cos|，|﹣|＝＝＝2|sin|，∴|+|+|﹣|＝2（|cos|+|sin|）；当cos≥0，sin≥0时，|cos|+|sin|＝cos+sin＝sin（+）≤；当cos≤0，sin≥0时，|cos|+|sin|＝﹣cos+sin＝sin（﹣）≤；当cos≥0，sin≤0时，|cos|+|sin|＝cos﹣sin＝coss（+）≤；当cos≤0，sin≤0时，|cos|+|sin|＝﹣cos﹣sin＝﹣sin（+）≤；∴|+|+|﹣|≤2．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．6．把一个铁制的底面半径为4，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（）A． B． C．2 D．【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积关系即可得出半径．【解答】解：因为实心圆柱的底面半径为4，侧面积为，所以圆柱的高为，则圆柱的体积为，设球的半径为R，则，故选：C．【点评】本题考查圆柱和球的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．7．已知△ABC外心是O，且，则在上的投影向量为（）A． B． C． D．【分析】由平面向量的线性运算，结合投影向量的运算求解即可．【解答】解：由，则点O为BC的中点，又O为△ABC的外心，且||＝||，则A＝，B＝，C＝，不妨设||＝t，则||＝2t，则在上的投影向量为＝＝，故选：A．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了投影向量的运算，属基础题．8．已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A． B． C． D．【分析】由（﹣）⊥，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴＝，∴＝＝，∵，∴．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．定义两个非零平面向量的一种新运算*＝||•||•sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（）A．在方向上的投影向量为sin＜，＞• B．（*）2+（）2＝||2||2 C．λ（*）＝（）* D．若*＝0，则与平行【分析】选项A，在方向上的投影向量为||cos＜，＞•；选项B，根据平面向量的新运算与数量积运算，即可得解；选项C，平面向量的新运算满足数乘结合律；选项D，易知＜，＞＝0°或180°，即与平行．【解答】解：选项A，在方向上的投影向量应为||cos＜，＞•，即A错误；选项B，∵*＝||•||•sin＜，＞，•＝||•||•cos＜，＞，∴（*）2+（）2＝（||•||）2•[sin2＜，＞+cos2＜，＞]＝（||•||）2＝||2•||2，即B正确；选项C，左边＝λ（*）＝λ||•||•sin＜，＞，当λ＞0时，右边＝（λ）*＝|λ|•||•sin＜，＞＝λ||•||•sin＜，＞＝左边，当λ＜0时，右边＝（λ）*＝﹣|λ|•||•sin＜，＞＝λ||•||•sin＜，＞＝左边，当λ＝0时，显然左边＝右边＝0，综上所述，λ（*）＝（λ）*，即C正确；选项D，若*＝0，则sin＜，＞＝0，即＜，＞＝0°或180°，所以与平行，即D正确．故选：BCD．【点评】本题考查平面向量的新定义运算，平面向量的数量积运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．（多选）10．给出下列命题，其中错误的选项有（）A．非零向量，，满足||＞||且与同向，则＞ B．已知＝（1，2），＝（1，1）且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（﹣，+∞） C．若单位向量，的夹角为60°，则当|2+t|（t∈R）取最小值时，t＝1 D．在△ABC中，若（）＝0，则△ABC为等腰三角形【分析】对A选项，根据向量的概念，即可判断；对B选项，取λ＝0，即可判断；对C选项，由|2+t|＝，即可判断；对D选项，根据+表示与∠A的角平分线平行的向量，即可判断．【解答】解：对选项A，∵向量不能比较大小，∴A选项错误；对选项B，∵当λ＝0时，与的夹角为0，∴B选项错误；对选项C，∵|2+t|＝＝＝，∴当t＝﹣1时，取最小值，∴C选项错误；对选项D，∵+表示与∠A的角平分线平行的向量，又，∴∠A的角平分线与边BC所在直线垂直，∴△ABC为等腰三角形，∴D选项正确．故选：ABC．【点评】本题考查平面向量的基本概念，平面向量的数量积的运算，考查化归转化思想，属中档题．（多选）11．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为真命题的有（）A．m⊥α，m⊥β⇒α∥β B．m∥n，n⊂α⇒m∥α C．m⊥α，m⊂β⇒α⊥β D．m⊥α，n⊥α⇒m∥n【分析】由立体几何中线线，线面，面面的位置关系，逐个判断，即可得出答案．【解答】解：对于A：垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；对于B：m∥n，n⊂α⇒m∥α或m⊂α，故B错误；对于C：由面面垂直的判断定理，故C正确；对于D：垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查立体几何中，线线，线面的位置关系，属于中档题．（多选）12．已知圆锥SO的母线长为2，底面半径为，平面SAB为轴截面，点M为底面圆周上一动点（可与点A，B重合），则（）A．三棱锥S﹣ABM体积的最大值为1 B．直线OM与SA所成角的范围为 C．三角形SAM面积的最大值为 D．三角形SAM为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为【分析】当△ABM为等腰直角三角形时，△ABM的面积最大，三棱锥体积最大，即可判断选项A，分别计算点M位于点A和弧AB的中点时的线面角，即可判断选项B，由三角形的面积公式结合∠ASM的范围即可求出△SAM面积的最大值，从而判断选项C，根据二面角的定义作出其平面角，求出平面角的正弦值即可判断选项D，从而得到正确选项．【解答】解：对于A，当OM⊥AB，即△ABM为等腰直角三角形时，△ABM的面积最大，所以△ABM面积的最大值为，又三棱锥S﹣ABM的高为SO＝1，所以三棱锥S﹣ABM的体积的最大值为，故选项A正确；对于B，当点M位于点A或点B时，∠SAO为直线OM与SA所成的角，因为SO⊥底面ABM，且SO＝，SA＝2，此时∠SAO＝，则直线OM与SA所成的角为，当点M位于弧AB的中点时，此时OM⊥AB，SO⊥底面ABM，所以SO⊥OM，因为SO∩AB＝O，则OM⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，所以OM⊥SA，此时直线OM与SA所成的角为，由圆锥的对称性可知，直线OM与SA所成角的取值范围为，故选项B正确；对于C，SA＝SB＝2，AO＝OB＝，PO＝1，此时∠ASO＝，所以∠ASB＝，当点M从点A运动到点B时，∠ASM从0逐渐增加为，所以当∠ASM＝时，△SAM的面积最大，所以△SAM面积的最大值为＝，故选项C错误；对于D，△SAM为直角三角形时，SA＝SM＝2，所以AM＝，取AM的中点E，连接OE，SE，则OE⊥AM，因为SO⊥底面ABM，AM⊂底面ABM，则SO⊥AM，又OE，SO⊂平面SOE，OE∩SO＝O，所以AM⊥平面SOE，又SE⊂平面SOE，故AM⊥SE，则∠SEO即为平面SAM与底面ABM所成的角，因为AE＝，所以，SO＝1，故，所以＝，即△SAM为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为，故选项D正确．故选：ABD．【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角以及空间几何体的体积的计算等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a＝﹣3．【分析】利用复数的运算性质以及纯虚数的定义建立方程即可求解．【解答】解：因为z＝＝＝为纯虚数，则，解得a＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查了复数的运算性质以及纯虚数的定义，属于基础题．14．已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若A，B，C三点共线，则实数m＝1．【分析】根据向量的共线性质即可求出．【解答】解：∵，，，∴＝﹣＝+2，＝﹣＝﹣2+（m﹣5），∵A，B，C三点共线，不妨设＝λ，∴+2＝λ[﹣2+（m﹣5）]＝﹣2λ+λ（m﹣5），∴，解得λ＝﹣，m＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题．15．如图，在棱长为1的正方体AC1中，点E、F是棱BC、CC1的中点，P是底面ABCD上（含边界）一动点，满足A1P⊥EF，则线段A1P长度的取值范围是【分析】先证垂直，找出点P所在的直线，再判断最值．【解答】解：因为CD⊥平面B1C1CB，EF⊆平面B1C1CB，所以CD⊥EF，又EF∥BC1，BC1⊥B1C，所以EF⊥B1C，所以EF⊥平面A1B1CD，当点P在线段CD上时，总有A1P⊥EF，所以A1P的最大值为A1C＝，A1P的最小值为A1D＝，可知线段A1P长度的取值范围是[]．故答案为[]．【点评】本题考查平面的基本性质，属于中等题．16．在三棱锥D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，∠BCA＝45°，，BD＝2，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为20π．【分析】根据题意首先求出△ABC的外接圆的半径，进一步求出三棱锥体的外接球的半径，最后求出球的表面积．【解答】解：如图所示：三棱锥D﹣ABC中，已知平面BCD⊥平面ABC，∠CBD＝90°，所以：BD⊥BC，故BD⊥平面ABC，故AB⊥BD，∠BCA＝45°，，BD＝2，在△ABC中，有2R＝，所以外接圆的半径为2，由于平面BCD⊥平面ABC，且其交线为BC，所以：BD⊥BC，故BD⊥平面ABC，所以三棱锥体D﹣ABC的外接球的半径为r＝，故外接球的表面积．故答案为：20π．【点评】本题考查的知识要点：线面垂直和面面垂直之间的转换，几何体的外接球的半径的求法，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．四．解答题（共6小题）17．已知向量，满足，，．（1）求向量与向量的夹角；（2）求向量在向量方向上的投影的数量．【分析】（1）根据向量数量积的定义与性质即可求解；（2）根据向量数量积，向量投影的定义即可求解．【解答】解：（1）∵，∴，∴，又，，∴，∴，又，∴向量与向量的夹角为；（2）向量在向量方向上的投影的数量为：．【点评】本题考查向量数量积的定义与性质，向量投影的定义，属基础题．18．如图，已知点A，B，M，N在同一平面内，且AM＝2，AB＝2，BN＝4，∠BAM＝30°，∠ABN＝120°．（1）求MN的长；（2）求△AMN的面积．【分析】（1）由题意首先求得BM的长度，然后结合三角形的特征利用勾股定理即可求得MN的长度；（2）利用（1）中的结论结合三角形的特征由大三角形的面积减去小三角形的面积即可求得△AMN的面积．【解答】解：（1）连结BM，在△ABM中，，从而：BM＝2＝AM，∠ABM＝∠BAM＝30°，∠MBN＝120°﹣30°＝90°，由勾股定理可得：．（2）由题意可知：，．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用等知识，属于基础题．19．在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为（1，﹣2），（a，1），a∈R，且为纯虚数．（1）求a的值；（2）若z1的共轭复数是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值．【分析】（1）根据已知条件，将＝＝，结合为纯虚数，即可求解．（2）由于z1的共轭复数是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，结合韦达定理即可求解．【解答】解：（1）＝＝，∵为纯虚数，∴a﹣2＝0，∴a＝2．（2）∵z1的共轭复数是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，又∵复数z1对应的点为（1，﹣2），∴复数对应的点为（1，2），∴，∴p＝﹣2，q＝5．【点评】本题考查了复数的运算，以及掌握实系数的一元二次方程的两虚根为共轭复数是解题的关键，属于基础题．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．（1）证明：BC1∥平面A1CD；（2）若AA1＝AC＝CB＝2，，证明：平面CDE⊥平面A1CD．【分析】（1）连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，连接DF，又D是AB中点，证明BC1∥DF，然后证明BC1∥平面A1CD（2）证明AA1⊥CD，CD⊥AB．推出CD⊥平面ABB1A1，得到DE⊥CD，证明DE⊥A1D，然后证明DE⊥平面A1CD，推出平面CDE⊥平面A1CD【解答】证明：（1）连接AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，连接DF，又D是AB中点，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，由已知AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB＝A，所以CD⊥平面ABB1A1又DE⊂平面ABB1A1，所以DE⊥CD由AA1＝AC＝CB＝2，，得，，A1E＝3，故，即DE⊥A1D，因为A1D∩CD＝D，所以DE⊥平面A1CD，因为DE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面A1CD．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，是中档题．21．已知＝（1，0），＝（2，1）．（1）当k为何值时，k﹣与+2共线；（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三点共线，求m的值．【分析】（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．【解答】解：（1）k﹣＝k（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．+2＝（1，0）+2（2，1）＝（5，2）．∵k﹣与+2共线∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，即2k﹣4+5＝0，得k＝﹣．（2）∵A、B、C三点共线，∴．∴存在实数λ，使得＝，又与不共线，∴，解得．【点评】本题考查了向量的运算法则、共线定理、平面向量基本