九年级二次函数培优竞赛试题及答案

二次函数1在如图的直坐标系，已知点A(2,0)B(0－将线段绕点按逆时针方旋转90°至AC．(1)点C的标；1(2)抛物线－x＋ax经过点4①求抛线的解析式②在抛线上是否存点点C除)△以AB为角边的等腰角三角形存在，出所有的坐标；不存在请说明理由1

2如图已知直线y=x+3与x交于点A与轴交于点B抛物线

+bx+c经过、B点，与x轴于另一个点C对称轴与线于点抛物线点为（）求抛物线解析式（）在第三象内，抛物线一点，以A、EF为顶点三角形积为3，求点坐标；（）点P点发，沿对轴向下每秒1个单长度的度匀速运动设运动的间为t秒，t为何值时以PBC顶点的三形是直三角形？直接写所有符合条的t值．2

1.解析】试题分1）点C作CD直于轴，由段AB点A按时针方旋转90°至AC，根据旋的旋转到AB=AC且∠BAC为直角可得∠CAD互余，∠AOB为直，可得OAB与∠余，根据同的余相等可一对角相，再加上一直角相，利用ASA证明三角ACD与三角形等，根全等三角形对应边等可得，CD=OA，由A和B的坐及位置特点求及的，可得OD及的长，根C在第四象限出C坐标；（）①由已知抛物线过点C把第一求出C的标代入抛物解析式列出关a的方程，出方程的解到a值，确出抛物线的析式；②假设在点P使△是以AB直角边等腰直角三形分三种况考虑：（）直角顶点过A作直于AB，，过作PM垂于x轴，1111如图所，根据一对顶角相，一对直角等，AB=AP，用AAS证明三1形与三角ACD全等，得AP与P的长，再由为二象限的点得出1111此时坐标，代抛物线析式中检验足（当B为角顶点过B作1BP直于且BP=BA，过PP垂直于y轴，如所示，理证明三角2222BP三角形AOB全等，得P与BN长，由第三象的点，写出2222坐标，入抛物线解式中检满足当B为直角顶点，过作直3于且BP=BA，如图所，过P作P垂直y轴，同理可明三角形PBH3333全等于角形，可得出H与BH的长，由P为第四象限点，写出P坐333标，代抛物线解析检验，满足，综上得到所满足题意的P坐标．试题解1）作x，垂足D，∵AC∴∠∠CAD=90°，又∠AOB=90°∴∠OAB+∠OBA=90°，∴∠∠OBA，∠AOB=∠ADC=90°，∴△△又A（，0，（0﹣2，∴OA=CD=1，OB=AD=2，∴OD=OA+AD=3，C为四象限点，∴的坐标为3，﹣；（）①∵抛物y=x2+ax+2过点且（，﹣∴把坐标代得：﹣﹣+3a+2，得：a=，21则抛物的解析式为x2x+2；2②存在P，△ABP是以直角边等腰直角三形，（）若以直角边点A直角顶，3

112233112233则延长点P得P，得到腰直角角形，过点Mx，11111如图所，∵∠=∠CAD∠MA=∠CDA=90°，111∴△≌△，1∴AM=AD=2，PM=CD=1，11∴（﹣1，检验点P在抛物线x2+x+2；2（若以直角边，直角顶点则过点B作BA且使得BP22得到等直角三角形过点P作PN⊥y，如图222同理可△BPN△2∴，BN=OA=1，21∴（﹣﹣1经检验P（﹣2，﹣）也在抛线x2x+2上；2（若以直角边点B为直角顶则过点作BA且使得33得到等直角三角形过点P作PH⊥y，如图333同理可△BPH△3∴，BH=OA=1，31∴（2，﹣经检（，﹣）不在抛物x2+x+2上；2则符合件的点有P（﹣，1，（﹣，﹣）两点．12考点：二次函数综题的坐标3.等腰直角角形．4

2.答案1）

2

-2x+3（

4，）（3当为秒或秒或或秒时，P、、为顶点的角形直角三形【解析试题分）先由直解析式y=x+3，求它与x的交点A、与轴的交B的坐标，将AB两点的坐代入y=-x可求出物线的解析；

2

+bx+c运用待定数法即（）设第三象内的点F的坐标为（m，

2

-2m+3，用配方求出物线的对称轴顶点D的坐标，再设物线的对称与x交于点G连接，根据S=S+S-S=3列出关的程，解方程出的值，进得出点FAEFAEG△AFG△EFG坐；（）设P点标为（-1n．由BC两点坐标，运用股定理求出

2

=10，再分三情况进行讨：①∠PBC=90°，先由股定理出PB

2

+BC

2

=PC

2

，据此列出关n的方程，求出n值，再算出的度，然后根时间=路程÷速度，可求出此时应的t值；②∠BPC=90°同①可出对应的值；③∠BCP=90°同①可求出应的t值．试题解）∵与x轴交于点A与y交于点B，∴当时，x=-3即A点坐标为-3，当，即B点坐标（0，，将（，0，（0，3）代入

2

+bx+c，得c

，解得

c

，∴抛物的解析式为-2x+3（）如图设第三限内的点F的坐标为（m，2-2m+3则m＜0，2-2m+3＜0．∵

2

-2x+3=-2

+4∴对称为直线x=-1，点D的坐标为（-1，，设抛物的对称轴与轴交于点G，连接FG，则（，，AG=2．∵直线解析式，5

△AEF△AEG△AFG△EFG1△AEF△AEG△AFG△EFG1∴当时y=-1+3=2，∴点坐标为-1，．∵=S+S-S=×2×2+×2×m2+2m-3）-×2×-1-m）+3m，∴以E、为顶点的角形面积为3时m2+3m=3，解得：

21，（舍去2当

时，-m

2

-2m+3=-m

2

-3m+m+3=-3+m+3=m=

，∴点坐标为（

，；（）设坐标为（-1，∵（0，3，10∴22+32=10．分三种况：①如图，如∠PBC=90°那么

2

+BC

2

=PC

2

，即（

+（2

+10=（1+12

+n-02

，化简整得6n=16，解得，∴点坐标为-1，∵顶点D坐标为-14∴=，3∵点速度为秒1个单长度，∴=；②如图3，如果BPC=90°，么

2

+PC

2

=BC

2

，6

44即（

+（2

+（2

+（n-0）2

=10，化简整得n

2

-3n+2=0解得n=21∴点坐标为-1，）或（-1，∵顶点D坐标为-1∴PD=4-2=2PD=4-1=3∵点速度为秒1个单长度，∴=2=323③如图4，如果