根轨迹的基本规律及绘制演示文稿

根轨迹的基本规律及绘制演示文稿当前1页，总共79页。根轨迹的基本规律及绘制ppt课件当前2页，总共79页。项目内容教学目的掌握根轨迹的八个规律，并在此基础上绘制根轨迹（手工和MATLAB）教学重点根轨迹八个规律的内容。教学难点八个规律的证明，根轨迹的手工绘制。讲授技巧及注意事项运用数学公式推导、图形的辅助说明进行分析。4-2根轨迹的基本规律及绘制当前3页，总共79页。一、根轨迹的基本规律根轨迹的基本规律从以下8个方面进行讨论：1、根轨迹的起始点与终止点；4、根轨迹的渐近线；2、根轨迹的连续性、对称性和分支数；3、实轴上的根轨迹；5、根轨迹在实轴上的分离点和分离角；6、根轨迹的起始角和终止角(复数零极点)；7、根轨迹与虚轴的交点；8、根之和。当前4页，总共79页。特征方程可写为：规律一

根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点。根轨迹终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。当前5页，总共79页。1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均为有限的值。讨论：2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点)。3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。参数根轨迹当前6页，总共79页。根轨迹起始于开环极点(K*→0)，终止于开环零点(K*→∞)；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处。结论：当前7页，总共79页。规律二

根轨迹的连续性、对称性和分支数

根轨迹的分支数(条数)等于系统特征方程的次数n。(根轨迹描述特征根的变化规律)

根轨迹是连续的曲线。(K*是连续变化的)根轨迹总是对称于实轴。(实际的物理系统的参数都是实数→数学模型的系数是实数→特征根不是实数就是共轭复数)

结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分支数等于系统特征方程的次数。当前8页，总共79页。规律三

实轴上的根轨迹设系统的开环传递函数其中p1、p2、p3、z1、z2为实极点和实零点，p3、p4、z3、z4为共轭复数零、极点。若实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该点在实轴的根轨迹上。当前9页，总共79页。只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之和为奇数时，才满足相角条件。

p1p2p3p5p4z1z2s0z4z3j0θ1φ5φ1φ4φ2θ4θ3θ2φ3σS0点符合相角条件：每一对共轭复数形式的零极点对应的向量的相角之和为2π；实轴上的零极点对应的向量的相角只有0和π两种情况。当前10页，总共79页。规律四

渐近线

当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，反应n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点(对称性)。渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角：

当前11页，总共79页。证明：思路：研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通过列写直线的方程）。当前12页，总共79页。多项式除法当前13页，总共79页。证明：研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通过列写直线的方程）。当前14页，总共79页。当s值非常大时，开环传递函数可以近似为：由特征方程G(s)H(s)=-1得渐进线方程为：当前15页，总共79页。由二项式定理当s值非常大时，近似有当前16页，总共79页。当前17页，总共79页。令实部和虚部分别相等②÷①得：点斜式方程当前18页，总共79页。渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴正方向的夹角：

当前19页，总共79页。

例已知系统的开环传递函数如下，试画出该系统根轨迹的渐近线。解该系统n=4，m=1，n-m=3；三条渐近线与实轴交点为它们与实轴正方向的夹角分别是当前20页，总共79页。

根轨迹的渐近线swj-4-3-2-10BCAas°60°-60°300as°180当前21页，总共79页。四种情况下的渐近线当前22页，总共79页。规律五

根轨迹的分离点和分离角

两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。常见的根轨迹分离点位于实轴上。实轴上两个相邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点之间，至少有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上。当前23页，总共79页。实轴上的分离点

复平面上的分离点

swj-4-3-2-10分离点swj4p3p1p2pAB0[s]d1d2C[s]分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。当前24页，总共79页。分离点的坐标d是下列方程的解：证明：闭环特征方程有重根的条件为：变换形式②÷①当前25页，总共79页。当前26页，总共79页。1、当开环系统无有限零点时，应取分离点方程为。2、只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。分离点的确定需代入特征方程中验算。3、只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分离点。说明当前27页，总共79页。例已知系统的开环传函如下，试求出系统根轨迹的分离点。

解本系统无有限开环零点，所以d2=-2.58不在根轨迹上上，舍去。d1=-1.42是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点。对比较复杂的方程(次数大于2)，也可用试探法求解。当前28页，总共79页。分离角：根轨迹进入分离点的切线方向和离开分离点的切线方向之间的夹角。设l为进入分离点的根轨迹的条数，则分离角当l=2时，分离角为当前29页，总共79页。⑴起始角θpi根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角。规律六

起始角与终止角

wjs3P2P1P0[s]1pq2pq⑵终止角θzi根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。1z2z当前30页，总共79页。所以证明：设A为根轨迹上离极点pi很近的一点。A离pi很近A点满足相角条件同理得：②代入①：当前31页，总共79页。进一步具体分析起始角与终止角的表示。例已知系统的开环传递函数为

其中p1和p2为一对共轭复数极点，各零级点在s平面上的分布如图所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p1的起始角θp1。[s]swj1z1p2p0当前32页，总共79页。解对于根轨迹上无限靠近p1的点A，由相角条件可得

由于A点无限靠近p1点

[s]swj1z1p2p3p)(31pp-Ð)(21pp-Ð)(11zp-Ð01pqA角度替换后得：当前33页，总共79页。规律七

根轨迹与虚轴的交点由此可得虚部方程和实部方程为根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。用s=jω代入特征方程可得当前34页，总共79页。解虚部方程可得角频率ωc，即根轨迹与虚轴的交点的坐标值；用ωc代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值。对如何选择合适的系统参数、使系统处于稳定的工作状态有重要意义。当前35页，总共79页。例已知系统开环传函如下，试求出根轨迹与虚轴的交点及相应的开环根轨迹增益的临界值。令s=jω并代入特征方程得其虚部和实部方程分别为解系统特征方程是解方程组得：当前36页，总共79页。当系统的阶次较高时，解特征方程将会遇到困难，此时可用劳斯判据求出系统开环根轨迹增益的临界值和根轨迹与虚轴的交点。当前37页，总共79页。规律八

根之和

当n-m≥2时，闭环传函特征根之和等于开环传函所有极点之和(常数)。证明：n-m≥2时，将开环传函表示的特征式展开后得：将闭环极点表示的特征式展开后得：两式相等当前38页，总共79页。当一些根随K*的增加而增加时，必有另一些根随K*的增加而减小。当K*变化时，随K*变化的n个闭环特征根的和具有常数性。在根轨迹图上表现为一些根轨迹分支向左延伸，另外一些分支必向右延伸。(根轨迹的自平衡性)结论当前39页，总共79页。二、手工绘制根轨迹图示例根轨迹的七条规律：1起点与终点：起始于开环极点，终止于开环零点；2连续性、对称性和分支数：根轨迹连续且对称于实轴，分支数等于系统特征方程的阶数。3实轴上的根轨迹：实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该点在实轴的根轨迹上；当前40页，总共79页。4渐近线5分离点当前41页，总共79页。6起始角和终止角7与虚轴的交点将代入闭环特征方程，令方程两边实部和虚部分别相等，求出。当前42页，总共79页。⑵根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值K*的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。⑶要标出一些特殊点的K*值，如起点(K*→0)，终点(K*→∞)；根轨迹在实轴上的分离点d(K*=Kd*)；与虚轴的交点(K*=Kr*)。还有一些要求标出的闭环极点s及其对应的开环根轨迹增益K*，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。⑴根轨迹的起点（开环极点pi)用符号“×”标示；根轨迹的终点(开环零点zj)用符号“o”标示。手工绘图时还需注意：当前43页，总共79页。解:(1)根轨迹起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三个极点,终止于无穷远处。例已知系统的开环传递函数如下，试绘制该系统完整的根轨迹图。

当前44页，总共79页。系统根轨迹图swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]*K*K当前45页，总共79页。解:(1)根轨迹起始于P1=0,P2=-1,P3=-2三个极点,终止于无穷远处。例已知系统的开环传递函数如下，试绘制该系统完整的根轨迹图。

(2)该系统有三条根轨迹在s平面上。三条根轨迹连续且对称于实轴。(3)实轴上的根轨迹为实轴上0到-1的线段和由-2至实轴上负无穷远线段。当前46页，总共79页。系统根轨迹图swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]*K*K当前47页，总共79页。当k=0时⑷渐近线：求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。当k=1时当k=2时当前48页，总共79页。系统根轨迹图swj()01=*KP()03=P()02=P-1-20[s]°+60°-60*K*K当前49页，总共79页。d2=-1.58不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为d1=-0.42。(5)分离点：解方程：(6)无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。当前50页，总共79页。系统根轨迹图swj()01=*KP()03=P()02=P-1-201d[s]°+60°-60*K*K当前51页，总共79页。其中是开环极点对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为。解虚部方程得

(7)根轨迹与虚轴的交点：用s=jω代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：当前52页，总共79页。系统根轨迹图swj()01=*KP()03=P()02=P¬¥-1-201d¥®¥®[s]°+60°-60)6(2=cKj)6(2=-cKj*K**K*K*K*K*当前53页，总共79页。系统根轨迹图swj()01=*KP()03=P()02=P¬¥-1-201d¥®¥®[s]°+60°-60)6(2=cKj)6(2=-cKj*K**K*K*K*K*当前54页，总共79页。例已知系统的开环传递函数如下试绘制该系统的根轨迹图。

解

⑴根轨迹起始于开环极点p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、p4=-2-4j；终止于4个无限零点（没有有限零点)。

当前55页，总共79页。0-4当前56页，总共79页。例已知系统的开环传递函数如下试绘制该系统的根轨迹图。

⑵共有4个根轨迹分支，连续且对称于实轴。

⑶实轴上的根轨迹是实轴上由0到-4的线段。解

⑴根轨迹起始于开环极点p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、p4=-2-4j；终止于4个无限零点（没有有限零点)。

当前57页，总共79页。0-4当前58页，总共79页。渐近线在横轴上的公共交点为渐近线与横轴的夹角为k取0、l、2、3时，分别为450、1350、2250、3150。(4)渐近线:当前59页，总共79页。0-2-4当前60页，总共79页。(5)分离点和分离角经整理可得求解上式可得三个分离点为

分离角l=2时，当前61页，总共79页。0-2-4当前62页，总共79页。(6)起始角复数极点p3和p4的起始角0-4当前63页，总共79页。0-2-4当前64页，总共79页。(7)与虚轴的交点用s=jω代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：当前65页，总共79页。0-2-4当前66页，总共79页。0-2-4当前67页，总共79页。1、函数命令调用格式：>>rlocus(num,den)三、MATLAB绘制根轨迹例绘制如下开环传函的闭环系统的根轨迹当前68页，总共79页。解：MATLAB命令如下：>>num=conv([11.5],conv([1,2+j],[12-j]))>>den=conv([10],conv([12.5],conv([10.5+1.5*j],[10.5-1.5*j])))>>rlocus(num,den)当前69页，总共79页。ωn是闭环极点到坐标原点之间的距离；ωn与负实轴夹角的余弦等于阻尼比ζ。等ωn线是以原点为圆心的一系列圆；等ζ线是从原点出发的一系列射线。当前70页，总共79页。使用grid命令后的效果当前71页，总共79页。作业：4-34-10当前72页，总共79页。传函的MATLAB定义传递函数以多项式和的形式给出>>num=[b0,b1,b2,…bm]>>den=[a0,a1,a2,…an]>>g=tf(num,den)或>>g=tf([b0,b1,b2,…bm],[a0,a1,a2,…an])当前73页