2022年高考数学尖子生强基校考讲义专题11：三角函数综合培优【解析版】

2022年高考数学尖子生强基计划专题11三角函数综合真题特点分析：【2021中科大5】求函数的取值范围．答案：2.【2020年武大】设正整数使得关于方程在区间内恰有个实根，则（）A.B.C.D.，，成等差数列解析：根据对称性可选ABC3.【2020年武大15】设函数，则下列错误的是（）A.方程有解B.方程在内解的个数为偶数C.的图像有对称轴D.的图像有对称中心二、知识要点拓展一．两角和、差的三角公式：1.正弦：2.余弦：3.正切：二．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。，三．二倍角公式：1.余弦：2.正弦：、（3）正切：四．辅助角公式：►注意：有实数解五．半角公式（万能公式）：六．正弦定理：（为三角形外接圆的半径）七．余弦定理：八．三角形面积公式：三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下：三倍角公式：，，。►注意：利用三倍角公式可以推导出这一特殊值：令，则，，。显然，（舍去负根）。常见三角不等式：1.若，则；2.若，则.3..三．和差化积与积化和差公式：和差化积积化和差四．三角形中的一些三角恒等式：在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩。以上十个式子中，前六个式子可由降幂公式、和差化积、积化和差得到。⑦式与⑧式是等价的，⑨式与⑩式也是等价的。这里尤其值得一提的是⑦式：。这是一个非常有用的式子，在自主招生考试中经常用到，希望引起足够的重视。►注意：锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。五．三角恒等式：三、典例精讲例1．（清华）函数的值域是。►分析与解答：本题的方法很多，现提供如下几种解法。解法一：。由故，。解法二：令，则，再用判别式法，求得解法三：数形结合法。y，可看成是圆上的点到的斜率，由解析几何有关知识，可得。如图。y-2Ox-2Ox解法四：导数法。。令。从而有。解法五：，令，则，，故。例2．（复旦）在中，，求。►分析与解答：中，。设，则（舍去），或，即。故。例3．（北京）求使得在有唯一解的。►分析与解答：原方程可化为，。令，则，。即关于对称，故在有唯一的解只可能在或取到。时，，但此时时均有，即解不唯一；时，，此时解唯一，符合要求。综上，。例4．（北京）的三边满足，为的内角。求证：。►分析与解答：解法一，由正弦定理，。而，所以。注意到，所以，所以。解法二：由余弦定理，（因为），所以。例5．（清华）、、为的内角，且不为直角三角形。求证：；当，且的倒数成等差数列时，求的值。►分析与解答：（1）证明：，，两边取正切，，。解：。由（1）知，所以。又，所以。即。将代入，，。（此时为等边三角形）或。由于，所以或。例6．的三个内角成等差数列，求证：．►分析与解答：证明：要证原式，只要证即只要证而例7．在中，猜想的最大值，并证明之。►分析与解答：证明：当且仅当时等号成立，即所以当且仅当时，的最大值为所以例8．（清华）求的值。►分析与解答：解法一：遇到高次的，一般采取降次的策略。。（*）。①，而，故。②将①②代入（*）式，。解法二：原式。注：解答本题除了对三角公式必须熟练掌握之外，还需要一定的恒心和代数功夫。有意思的是：本题还可进一步推广：是一个定值。另外，也是一个定值0；也是一个定值。更进一步，是大于1的奇数，则。例9．（上海交大）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：最大角是最小角的两倍；最大角是最小角的三倍；若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由。►分析与解答：此问题可用两种方法去解，一种是三角法，另一种是纯几何法。解法一：（1）如图12-4（a），不妨设。在中，由正弦定理，。又由余弦定理，。于是，，解得，即三边长为4、5、6.（a）（b）图12-4假设这样的存在。如图12-4（b），在中，由正弦定理，。又由余弦定理，。于是，，化简得，整理得。因n为整数，故，则边长为1、2、3，不构成三角形。故这样的三角形不存在。解法二：（1）如图12-5（a），设，延长BC至D，使。易知。令，则，即这样的三角形存在，且三边长即为4、5、6。（a）（b）图12-5若这样的三角形存在，设，，如图12-5（b），在AB上取一点D，使，则，故，而。在中，由知，故。若，三角形三边长1、2、3，舍去；若，三边长为2、3、4.但此时为，进而推出矛盾！故这样的三角形不存在。四、真题训练1.（复旦）已知，则（）。（B）（C）（D）2.（复旦）已知函数，其中x为实数且k为整数，在的最小正周期是（）（B）（C）（D）3.（复旦）当和取遍所有实数时，函数所能达到的最小值为（）（A）1（B）2（C）3（D）44.（复旦）已知是关于x的方程的两个根，这里，则（）（B）（C）（D）5.（武大）如果，那么的取值范围是（）。（B）（C）（D）6.（复旦）设。且满足，则的取值范围是（）（B）（C）（D）7.（上海交大）若，则。8.（南大）。9.（复旦）设，设，若存在，使恒成立，在的范围为。10.（南开）实数A、B、C满足，，求证：。11.（复旦）在中，，AD是A的角平分线，且。求k的取值范围；若，问k为何值时，BC最短？12.（五校联考）中，，求。真题训练答案1.【答案】D【分析与解答】：，。所以。2.【答案】C【分析与解答】：。3.【答案】B【分析与解答】：由柯西不等式，，显然，当时，取到最小值2。4.【答案】C【分析与解答】：由题意，，而，所以，解得。。5.【答案】A【分析与解答】：一方面，；另一方面，。6.【答案】D【分析与解答】：，，故。7.【答案】【分析与解答】：由条件平方得，。8.【答案】【分析与解答】：，同理，，。。。原式。9.【答案】【分析与解答】：当时，；。欲使恒成立，则只有或-1，但，所以。故。或，。前一个式子，对不恒成立；由后一个式子有，又，所以。10.【分析与解答】：因为，，所以。，。所以或或。若，则；若，则；若，则，，，所以。。故。11.【分析与解答】：设，。由，所以DACB。，所以，因为，所以。DACB，，令，，其中。所以，等号成立，此时。，所以，即时，BC最短为。12.【分析与解答】：（注意到）。．1.三个数a,b,c，且满足，，，按从小到大的顺序排列这三个数．解运用单调性结合分类讨论求解．（1）若，则，但由，故有矛盾，即a≠b．（2）若，则由单调性可知，又由及题意可得，而，因此又可得，从而产生矛盾．因此．类似地，若，则由题意可得，从而可得与矛盾；若，则，即，，即矛盾．综上可得：．2.已知：定义在R上的函数为奇函数，且在上是增函数．若不等式对任意恒成立．求实数的取值范围．解先证明函数在上是增函数，运用单调性去掉后转化为不等式恒成立求解．设，且，则，且．∵在上是增函数，∴又为奇函数∴．∴在上也是增函数．即函数在和上是增函数，且在R上是奇函数，所以在上是增函数．∵，∴，，，，。∵当时，的最大值为，∴当时，不等式恒成立．3.在非直角中，边长满足．证明：；是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出一个理由．分析（１）化边为角进行三角式的变形；（２）运用结构特征构造函数．证明（１）由得，和差化积得因为，所以有，展开整理得，故．（２）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求与之间的关系．由及半角公式得，对其展开整理得即，即，即与原三角式作比较可知存在且．4.设非直角的重心为，内心为，垂心为，内角所对的边分别是．求证：（１）；（２）；（３）．分析利用三角形中三角函数关系和平面向量的基本定理求证．证明（１）由定比分点的向量形式得，由共线得，即，又，所以