2019版数学（文）教师用书：第五章 第一节 数列的概念与简单表示法 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列｛an}的第n项an通项公式数列｛an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f（n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an｝中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an）画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f（an）或a1，a2和an＋1＝f（an，an－1)等表示数列的方法3.通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值，直接代入求出an都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项递推公式可根据第一项(或前几项)的值，通过一次（或多次)赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的an4。an与Sn的关系若数列｛an}的前n项和为Sn，则an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al（S1)，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.)）5．数列的分类分类的标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3，4,…，100无穷数列项数无限的数列1,4，9，…，n2，…按项的变化趋势递增数列从第二项起,每一项大于它的前一项的数列3，4,5,…,n递减数列从第二项起,每一项小于它的前一项的数列1，eq\f（1，2)，eq\f(1,3)，…,eq\f(1,2015）常数列各项都相等的数列6，6，6,6，…摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列1，－2，3,－4按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正值1，－1，1，－1，1，－1，…无界数列不存在某一正值能使任一项的绝对值小于它1,3,4，4，…1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）（1）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．（）（2）1,1，1,1，…，不能构成一个数列．（)(3）任何一个数列不是递增数列,就是递减数列．（）(4)如果数列｛an｝的前n项和为Sn，则对∀n∈N*,都有an＋1＝Sn＋1－Sn。（）答案：(1)√(2）×（3)×(4）√2．已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，不是{an｝的项的是(）A．21 B．33C．152 D．153解析：选C由9＋12n＝152，得n＝eq\f(143，12)∉N＊。3．在数列｛an｝中，a1＝1,an＝1＋eq\f（1，an－1）(n≥2），则a4＝（）A。eq\f(3,2) B.eq\f（5,3)C。eq\f（7,4) D。eq\f（8,5)解析：选B由题意知，a1＝1，a2＝1＋eq\f（1,a1）＝2,a3＝1＋eq\f（1,a2)＝eq\f(3，2），a4＝1＋eq\f（1，a3)＝eq\f（5,3)。4．已知数列{an｝满足a1＝1，an＝an－1＋2n（n≥2)，则a7＝（)A．53 B．54C．55 D．109解析:选C由题意知,a2＝a1＋2×2，a3＝a2＋2×3，……，a7＝a6＋2×7，各式相加得a7＝a1＋2(2＋3＋4＋…＋7)＝55。5．数列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5），eq\f（4,7）,eq\f(5，9),…的一个通项公式an＝________。解析：由已知得，数列可写成eq\f（1,1），eq\f（2，3)，eq\f(3，5），…，故通项公式可以为an＝eq\f（n，2n－1)。答案:eq\f(n，2n－1）6．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列｛an}的通项公式是________________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－（2n－1－3）＝2n－2n－1＝2n－1.又a1＝－1不适合上式，故an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－1，n＝1，,2n－1，n≥2。))答案:an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－1,n＝1，，2n－1，n≥2））eq\a\vs4\al(考点一由an与Sn的关系求通项an）eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透）［考什么·怎么考］由Sn和an的关系求通项公式是一种常见题型，高考中选择题、填空题、解答题都有呈现，但以解答题的分支命题为重点,近几年来考查难度有所降低。考法(一)已知Sn，求an1．已知Sn＝3n＋2n＋1，则an＝____________。解析：因为当n＝1时,a1＝S1＝6;当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n＋2n＋1)－［3n－1＋2（n－1)＋1]＝2·3n－1＋2,由于a1不适合此式，所以an＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(6，n＝1，，2·3n－1＋2，n≥2。））答案：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（6，n＝1，,2·3n－1＋2，n≥2))2．（2017·全国卷Ⅲ改编)设数列{an｝满足a1＋3a2＋…＋（2n－1)an＝2n,则an＝解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1）an＝2n故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋（2n－3)an－1＝2（n－1)两式相减得(2n－1)an＝2,所以an＝eq\f（2,2n－1)（n≥2)．又由题设可得a1＝2,满足上式，从而｛an｝的通项公式为an＝eq\f(2，2n－1)(n∈N＊)．答案:eq\f(2,2n－1)(n∈N*）[题型技法]已知Sn求an的3步骤(1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．考法（二)由Sn与an的关系，求an，Sn3．设数列｛an}的前n项和为Sn，且Sn＝2（an－1)（n∈N*），则an＝（）A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1解析：选C当n＝1时,a1＝S1＝2（a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列｛an｝为首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n.4．（2015·全国卷Ⅱ）设Sn是数列{an｝的前n项和，且a1＝－1,an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1,∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴eq\f(1，Sn)－eq\f(1，Sn＋1)＝1，即eq\f(1,Sn＋1)－eq\f（1，Sn)＝－1。又eq\f(1,S1）＝－1，∴eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(\f(1，Sn）））是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴eq\f（1，Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq\f(1,n）。答案：－eq\f(1,n)[题型技法］Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．(1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．（2)利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式,再求解．eq\a\vs4\al（考点二由递推关系式求数列的通项公式）eq\a\vs4\al（基础送分型考点——自主练透)［考什么·怎么考]由数列的递推关系式求通项公式在高考中经常出现，有选择题、填空题,也出现在解答题的第1问中，近几年考查难度有所降低，但也要引起关注.方法(一)叠乘法求通项公式1．在数列{an｝中，a1＝1，an＝eq\f（n－1,n)an－1(n≥2)，则数列{an｝的通项公式为__________．解析:∵an＝eq\f（n－1，n）an－1（n≥2），∴an－1＝eq\f（n－2,n－1)an－2，an－2＝eq\f（n－3,n－2）an－3，…，a2＝eq\f（1,2)a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·eq\f(1，2)·eq\f（2,3）·…·eq\f(n－1，n）＝eq\f（a1,n）＝eq\f(1，n)。当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝eq\f(1,n)（n∈N＊）．答案:an＝eq\f(1,n)(n∈N＊）［方法点拨]叠乘法求通项公式的4步骤方法（二）叠加法求通项公式2．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N＊),则数列｛an｝的通项公式为________________．解析：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝eq\f(n－12＋n，2）＝eq\f(n2＋n－2,2）.又∵a1＝1，∴an＝eq\f（n2＋n,2)（n≥2)．∵当n＝1时也满足上式,∴an＝eq\f（n2＋n,2)(n∈N＊)．答案：an＝eq\f（n2＋n,2）（n∈N＊)［方法点拨]叠加法求通项公式的4步骤方法（三）构造法求通项公式3．已知数列{an｝满足a1＝1,an＋1＝3an＋2，则数列{an｝的通项公式为________________．解析：∵an＋1＝3an＋2,∴an＋1＋1＝3(an＋1）,∴eq\f(an＋1＋1,an＋1）＝3，∴数列{an＋1｝为等比数列,公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1（n∈N*)．答案：an＝2·3n－1－1（n∈N＊）[方法点拨]构造法求通项公式的3步骤［怎样快解·准解]1．正确选用方法求数列的通项公式（1）对于递推关系式可转化为eq\f（an＋1,an）＝f（n)的数列，并且容易求数列｛f（n）}前n项的积时，采用叠乘法求数列｛an}的通项公式．（2）对于递推关系式可转化为an＋1＝an＋f（n)的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式．（3）对于递推关系式形如an＋1＝pan＋q（p≠0，1，q≠0）的数列，采用构造法求数列的通项．2．避免2种失误（1)利用叠乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到eq\f（a2,a1)，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后,不注意检验a1是否成立．（2）利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定叠加、叠乘后最后一个式子的形式．eq\a\vs4\al(考点三数列的性质及应用)eq\a\vs4\al（重点保分型考点——师生共研)从近几年高考可以看出，数列中的最值、周期是高考的热点，一般难度稍大.在复习中，从函数的角度认识数列,注意数列的函数特征，特别是利用函数的方法研究数列的有关性质.[典题领悟]1．已知数列{an｝满足an＋1＝eq\f（1，1－an)，若a1＝eq\f（1，2)，则a2018＝（)A．－1 B.eq\f（1，2）C．1 D．2解析：选D由a1＝eq\f（1,2)，an＋1＝eq\f（1,1－an），得a2＝eq\f（1，1－a1)＝2，a3＝eq\f(1,1－a2）＝－1，a4＝eq\f(1,1－a3）＝eq\f(1，2），a5＝eq\f（1,1－a4）＝2，…，于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2018＝a3×672＋2＝a2＝2。2．已知数列{an｝满足an＝eq\f（n＋1,3n－16)（n∈N＊），则数列{an}的最小项是第________项．解析：因为an＝eq\f(n＋1，3n－16），所以数列{an}的最小项必为an〈0,即eq\f（n＋1，3n－16）<0,3n－16〈0，从而n<eq\f（16,3)。又n∈N*,所以当n＝5时，an的值最小．答案：5［解题师说］1．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．2．判断数列单调性的2种方法(1）作差比较法：比较an＋1－an与0的大小．(2)作商比较法：比较eq\f（an＋1,an)与1的大小，注意an的符号．3．求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，，an≥an＋1)）(n≥2)找到数列的最大项；（2）利用不等式组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1)）（n≥2)找到数列的最小项．［冲关演练］1．已知数列｛an}满足a1＝1，an＋1＝aeq\o\al（2,n)－2an＋1（n∈N*），则a2018＝（)A．1 B．0C．2018 D．－2018解析:选B∵a1＝1,an＋1＝aeq\o\al（2，n）－2an＋1＝（an－1）2,∴a2＝(a1－1）2＝0，a3＝(a2－1)2＝1,a4＝（a3－1）2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2018＝a2＝0,选B。2．等差数列｛an｝的公差d〈0，且aeq\o\al（2,1）＝aeq\o\al(2，11），则数列{an｝的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为()A．5 B．6C．5或6 D．6或7解析：选C由aeq\o\al（2,1）＝aeq\o\al(2，11)，可得（a1＋a11）（a1－a11）＝0，因为d<0,所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，又2a6＝a1＋a11,所以a6＝因为d〈0，所以｛an｝是递减数列，所以a1>a2>…〉a5〉a6＝0>a7>a8>…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.（一）普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．已知数列1,2，eq\r(7）,eq\r（10），eq\r(13),…，则2eq\r（19）在这个数列中的项数是（）A．16 B．24C．26 D．28解析：选C因为a1＝1＝eq\r（1)，a2＝2＝eq\r(4）,a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r（13）,…,所以an＝eq\r（3n－2）。令an＝eq\r（3n－2)＝2eq\r(19）＝eq\r（76)，解得n＝26。2．数列{an｝的前n项和Sn＝2n2－3n（n∈N＊)，若p－q＝5,则ap－aq＝（)A．10 B．15C．－5 D．20解析：选D当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－［2（n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时,a1＝S1＝－1,符合上式,所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4（p－q）＝20。3．（2017·河南许昌二模）已知数列｛an｝满足a1＝1，an＋2－an＝6，则a11的值为（）A．31 B．32C．61 D．62解析:选A∵数列{an}满足a1＝1,an＋2－an＝6,∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19，a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.4．(2018·云南检测）设数列｛an｝的通项公式为an＝n2－bn，若数列｛an}是单调递增数列,则实数b的取值范围为（）A．（－∞，－1] B．（－∞，2］C．(－∞，3） D。eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞，\f（9,2)）)解析：选C因为数列｛an}是单调递增数列，所以an＋1－an＝2n＋1－b〉0（n∈N*)，所以b〈2n＋1(n∈N＊），所以b<（2n＋1）min＝3,即b〈3.5．(2018·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考）已知数列｛an}满足：∀m，n∈N＊，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f（1,2），那么a5＝（）A.eq\f(1，32) B。eq\f（1，16)C。eq\f(1，4） D。eq\f（1,2)解析：选A∵数列{an}满足：∀m，n∈N＊，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f（1，2），∴a2＝a1a1＝eq\f(1，4）,a3＝a1·a2＝eq\f(1，8），∴a5＝a3·a2＝eq\f(1，32).6．数列{an}满足an＋an＋1＝eq\f（1,2）(n∈N＊），a2＝2，Sn是数列{an｝的前n项和，则S21为（）A．5 B。eq\f（7，2)C.eq\f(9,2） D。eq\f（13,2）解析：选B∵an＋an＋1＝eq\f(1,2),a2＝2，∴an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－\f(3,2），n为奇数,,2，n为偶数.)）∴S21＝11×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(3，2）））＋10×2＝eq\f（7，2)。7．已知数列｛an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1（n∈N＊)，则an＝________.解析:当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2n＋1,当n＝1时,a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，，2n＋1，n≥2.））答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，n＝1，，2n＋1,n≥2）)8．已知数列｛an｝为eq\f（1，2），eq\f(1,4），－eq\f(5，8），eq\f(13,16),－eq\f（29，32），eq\f(61,64），…，则数列{an｝的一个通项公式是________．解析:各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3,且第1项可变为－eq\f（2－3，2），故原数列可变为－eq\f（21－3，21），eq\f(22－3，22)，－eq\f（23－3，23），eq\f（24－3,24），…故其通项公式为an＝（－1)n·eq\f(2n－3，2n)，n∈N*.答案：an＝（－1）n·eq\f(2n－3，2n）,n∈N＊9．数列｛an｝的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1（n≥2，n∈N＊），且S2＝3，则a1＋a3的值为________．解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1（n≥2)，令n＝2,得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3,得S3＋S2＝5，所以S3＝2，则a3＝S3－S2＝－1,所以a1＋a3＝0＋（－1）＝－1.答案：－110．在一个数列中，如果∀n∈N＊，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数），那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1,a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2,a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×（1＋2＋4）＝28.答案:28B级——中档题目练通抓牢1．若a1＝eq\f（1,2)，an＝4an－1＋1(n≥2)，则an>100时,n的最小值为（）A．3 B．4C．5 D．6解析：选C由a1＝eq\f(1，2)，an＝4an－1＋1(n≥2)得,a2＝4a1＋1＝4×eq\f（1，2)＋1＝3,a3＝4a2＋1＝4×3＋1＝13，a4＝4a3＋1＝4×13＋1＝53，a5＝4a4＋1＝4×53＋1＝2．（2018·咸阳模拟)已知正项数列｛an｝中，eq\r（a1）＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an）＝eq\f（nn＋1,2)（n∈N＊），则数列{an}的通项公式为()A．an＝n B．an＝n2C．an＝eq\f(n，2) D．an＝eq\f(n2,2）解析:选B∵eq\r（a1）＋eq\r(a2）＋…＋eq\r（an)＝eq\f(nn＋1，2），∴eq\r(a1）＋eq\r(a2）＋…＋eq\r（an－1）＝eq\f（nn－1，2)(n≥2)，两式相减得eq\r(an）＝eq\f（nn＋1,2）－eq\f(nn－1，2)＝n（n≥2）,∴an＝n2（n≥2)．又当n＝1时,eq\r(a1）＝eq\f（1×2,2)＝1，a1＝1,适合上式，∴an＝n2，n∈N＊。故选B。3．若数列{an｝满足:a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an｝的前n项和数值最大时，n的值为（)A．6 B．7C．8 D．9解析：选B∵a1＝19,an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项,－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3）＝22－3n。设｛an｝的前k项和数值最大，则有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(ak≥0，,ak＋1≤0))k∈N＊，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（22－3k≥0，，22－3k＋1≤0，）)∴eq\f（19，3)≤k≤eq\f（22，3）,∵k∈N*，∴k＝7。∴满足条件的n的值为7。4．在数列{an}中，an〉0，且前n项和Sn满足4Sn＝(an＋1）2(n∈N＊）,则数列｛an}的通项公式为________．解析：当n＝1时,4S1＝(a1＋1）2,解得a1＝1；当n≥2时，由4Sn＝（an＋1）2＝aeq\o\al（2，n)＋2an＋1,得4Sn－1＝aeq\o\al（2，n－1)＋2an－1＋1，两式相减得4Sn－4Sn－1＝aeq\o\al(2,n）－aeq\o\al（2,n－1)＋2an－2an－1＝4an,整理得（an＋an－1)(an－an－1－2）＝0，因为an〉0，所以an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2,又a1＝1，故数列｛an｝是首项为1,公差为2的等差数列，所以an＝1＋2(n－1）＝2n－1。答案:an＝2n－15.已知数列｛an}的通项公式为an＝（－1）n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵（如图),则该数阵中的第10行第3个数为________．a1a2aa4a5……解析：由题意可得该数阵中的第10行第3个数为数列｛an｝的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝eq\f（9×10,2）＋3＝48项,而a48＝（－1)48×96＋1＝97，故该数阵中的第10行第3个数为97.答案:976．已知数列｛an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4。（1）若k＝－5，则数列中有多少项是负数?n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于n∈N＊，都有an＋1〉an，求实数k的取值范围．解:（1)由n2－5n＋4〈0，解得1〈n〈4。因为n∈N＊，所以n＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a2,a3。因为an＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f（5,2）））2－eq\f（9,4)，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值,其最小值为a2＝a3＝－2。（2）由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4,可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－eq\f(k，2)〈eq\f(3，2）,解得k>－3。所以实数k的取值范围为（－3，＋∞）．7．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a（a〉0，x∈R)，有且只有一个零点,数列{an}的前n项和Sn＝f(n)（n∈N＊)．（1)求数列｛an}的通项公式；（2)设cn＝1－eq\f(4，an）（n∈N＊），定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列｛cn｝的变号数．解：（1）依题意,Δ＝a2－4a＝0所以a＝0或a＝4.又由a>0得a＝4，所以f(x）＝x2－4x＋4。所以Sn＝n2－4n＋4。当n＝1时,a1＝S1＝1－4＋4＝1；当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝2n－5。所以an＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1，n＝1，，2n－5,n≥2。))(2)由题意得cn＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－3，n＝1，,1－\f（4,2n－5),n≥2。))由cn＝1－eq\f(4,2n－5)可知，当n≥5时,恒有cn〉0。又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－eq\f（1，3）,c5＝eq\f（1，5)，c6＝eq\f（3，7），即c1·c2〈0，c2·c3〈0，c4·c5〈0,所以数列{cn}的变号数为3。C级——重难题目自主选做1．已知数列{an｝的通项公式为an＝(n＋2)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(9，10))）n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是（）A．a6或a7 B．a7或a8C．a8或a9 D．a7解析：选B因为an＋1－an＝（n＋3)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10）)）n＋1－（n＋2）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(9，10）))n＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（9,10)))n·eq\f（7－n，10)，当n<7时，an＋1－an〉0，即an＋1〉an；当n＝7时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an;当n〉7时，an＋1－an〈0，即an＋1〈an，则a1<a2〈…〈a7＝a8〉a9>a10〉…，所以此数列的最大项是第7项或第8项,即a7或a8。故选B。2．（2018·成都诊断)在数列｛an｝中，a1＝1，an＝eq\f（n2，n2－1）an－1(n≥2，n∈N＊），则an＝________.解析:由题意知eq\f(an，an－1）＝eq\f（n2,n2－1)＝eq\f(n2,n－1n＋1）,所以an＝a1×eq\f（a2，a1）×eq\f(a3,a2）×…×eq\f(an,an－1）＝1×eq\f（22,22－1）×eq\f(32,32－1）×…×eq\f(n2,n2－1）＝eq\f（22×32×42×…×n2，2－1×2＋1×3－1×3＋1×4－1×4＋1×…×n－1×n＋1）＝eq\f(22×32×42×…×n2,1×3×2×4×3×5×…×n－1×n＋1）＝eq\f（2n，n＋1)。答案:eq\f（2n，n＋1）(二）重点高中适用作业A级-—保分题目巧做快做1．已知数列1,2，eq\r(7），eq\r（10），eq\r(13)，…,则2eq\r(19）在这个数列中的项数是(）A．16 B．24C．26 D．28解析：选C因为a1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r（4）,a3＝eq\r（7）,a4＝eq\r（10），a5＝eq\r(13），…,所以an＝eq\r（3n－2）。令an＝eq\r（3n－2）＝2eq\r(19）＝eq\r（76)，解得n＝26。2。（2018·郑州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋2－an＝6,则a11的值为（）A．31 B．32C．61 D．62解析：选A∵数列{an｝满足a1＝1,an＋2－an＝6，∴a3＝6＋1＝7，a5＝6＋7＝13，a7＝6＋13＝19,a9＝6＋19＝25，a11＝6＋25＝31.3．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*），若p－q＝5，则ap－aq＝（）A．10 B．15C．－5 D．20解析：选D当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－［2（n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4（p－q)＝20.4．(2018·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知数列{an｝满足：∀m，n∈N＊，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f(1，2)，那么a5＝（)A.eq\f(1,32) B.eq\f(1，16)C.eq\f（1，4) D。eq\f（1，2）解析:选A∵数列{an}满足:∀m,n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝eq\f（1,2)，∴a2＝a1a1＝eq\f(1，4），a3＝a1·a2＝eq\f（1,8），∴a5＝a3·a2＝eq\f（1，32）。5．若数列{an｝满足：a1＝19,an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an｝的前n项和最大时,n的值为()A．6 B．7C．8 D．9解析:选B∵a1＝19,an＋1－an＝－3，∴数列｛an｝是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n。设{an｝的前k项和最大,则有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ak≥0，,ak＋1≤0)）k∈N＊，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（22－3k≥0，，22－3k＋1≤0，)）∴eq\f(19，3）≤k≤eq\f（22，3），∵k∈N＊，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7.6.（2018·河北唐山一模）设数列{an｝的前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(a14n－1,3)，若a4＝32，则a1＝________。解析：∵Sn＝eq\f(a14n－1，3），a4＝32,∴S4－S3＝eq\f（255a1,3)－eq\f（63a1,3)＝32，∴a1＝eq\f（1,2）。答案：eq\f(1,2)7．已知数列｛an｝为eq\f（1，2），eq\f（1，4），－eq\f(5，8)，eq\f(13，16)，－eq\f（29，32），eq\f（61,64)，…，则数列{an｝的一个通项公式是________．解析：各项的分母分别为21,22,23，24，…，易看出从第2项起,每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－eq\f(2－3,2)，故原数列可变为－eq\f（21－3,21)，eq\f（22－3，22),－eq\f(23－3，23）,eq\f(24－3,24），…故其通项公式为an＝（－1)n·eq\f(2n－3,2n)，n∈N＊.答案：an＝（－1)n·eq\f(2n－3,2n)，n∈N＊8．在一个数列中,如果∀n∈N＊，都有anan＋1an＋2＝k（k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列｛an}是等积数列,且a1＝1,a2＝2,公积为8,则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.解析：依题意得数列｛an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4（a1＋a2＋a3）＝4×(1＋2＋4)＝28。答案：289.已知数列｛an}的前n项和Sn＝－eq\f（1,2)n2＋kn，k∈N*,且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列{an｝的通项公式．解：因为Sn＝－eq\f（1，2）n2＋kn＝－eq\f(1，2）(n－k）2＋eq\f(1，2)k2，其中k是常数，且k∈N*，所以当n＝k时，Sn取最大值eq\f(1,2)k2，故eq\f（1，2）k2＝8，k2＝16,因此k＝4，从而Sn＝－eq\f（1,2）n2＋4n。当n＝1时，a1＝S1＝－eq\f（1，2)＋4＝eq\f(7,2);当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2）n2＋4n）)－－eq\f（1，2）(n－1)2＋4（n－1）＝eq\f（9,2）－n.当n＝1时，eq\f(9,2）－1＝eq\f（7,2)＝a1，所以an＝eq\f(9,2）－n.10．已知数列｛an｝的通项公式是an＝n2＋kn＋4.(1）若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时,an有最小值?并求出最小值；（2)对于n∈N*，都有an＋1〉an，求实数k的取值范围．解：(1）由n2－5n＋4〈0，解得1<n<4。因为n∈N*，所以n＝2，3,所以数列中有两项是负数，即为a2，a3。因为an＝n2－5n＋4＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(n－\f(5，2）)）2－eq\f(9，4），由二次函数性质,得当n＝2或n＝3时，an有最小值,其最小值为a2＝a3＝－2.(2）由an＋1>an,知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N＊，所以－eq\f(k，2)<eq\f（3，2），解得k〉－3.所以实数k的取值范围为（－3,＋∞）．B级—-拔高题目稳做准做1。（2018·云南检测)设数列{an｝的通项公式为an＝n2－bn，若数列｛an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(）A．（－∞,－1］ B．(－∞，2］C．(－∞，3） D。eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))解析：选C因为数列{an｝是单调递增数列，所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N＊)，所以b〈2n＋1（n∈N*)，所以b〈(2n＋1)min＝3，即b<3。2.已知数列{an}满足an＋1＝an＋2n，且a1＝33，则eq\f(an,n)的最小值为()A．21 B．10C。eq\f(21，2） D。eq\f（17,2)解析:选C由已知条件可知,当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2）＋…＋（an－an－1)＝33＋2＋4＋…＋2（n－1)＝n2－n＋33,又n＝1时，a1＝33满足此式．所以eq\f(an,n)＝n＋eq\f(33，n)－1。令f(n)＝eq\f(an，n)＝n＋eq\f(33，n)－1，则f（n)在［1，5]上为减函数，在［6，＋∞）上为增函数．又f（5）＝eq\f（53,5)，f（6)＝eq\f（21，2），则f(5)>f（6），故f(n）＝eq\f(an，n)的最小值为eq\f(21,2).3.（2018·成都质检)在数列｛an}中，a1＝1，an＝eq\f（n2，n2－1)an－1（n≥2，n∈N*），则an＝________.解析：由题意知eq\f（an，an－1)＝eq\f(n2,n2－1）＝eq\f（n2，n－1n＋1），所以an＝a1×eq\f(a2,a1）×eq\f(a3,a2)×…×eq\f(an,an－1）＝1×eq\f(22，22－1）×eq\f（32，32－1)×…×eq\f