2019版数学（文）教师用书：第四章 第一节 平面向量的概念及其线性运算 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称eq\a\vs4\al(模））平面向量是自由向量零向量长度为eq\a\vs4\al(0)的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a，｜a|)平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02。向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1）交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：（a＋b)＋c＝a＋（b＋c）减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b）数乘求实数λ与向量a的积的运算（1）|λa|＝|λ｜|a｜;（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时,λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa）＝（λμ)a；（λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b）＝λa＋λb3。共线向量定理向量a（a≠0）与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa。1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×"）（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(）（2)|a|与｜b｜是否相等与a，b的方向无关．()（3）若向量eq\o(AB，\s\up7（→))与向量eq\o（CD，\s\up7(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()（4）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案:(1）×(2）√（3）×（4）√2。如图,设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是()A．eq\o(AP,\s\up7(→））＝eq\f（1，3)eq\o(AB，\s\up7（→)) B．eq\o（AQ,\s\up7（→))＝eq\f(2,3)eq\o（AB，\s\up7(→))C．eq\o（BP,\s\up7（→）)＝－eq\f（2,3）eq\o（AB,\s\up7(→)) D．eq\o(AQ，\s\up7（→）)＝eq\o(BP,\s\up7(→）)解析：选D由数乘向量的定义可以得到A、B、C都是正确的，只有D错误．3．设a，b都是非零向量,下列四个选项中，一定能使eq\f(a，|a｜)＋eq\f（b,｜b|）＝0成立的是(）A．a＝2b B．a∥bC．a＝－eq\f（1，3）b D．a⊥b解析：选C“eq\f（a,|a|）＋eq\f(b,｜b|)＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，故答案为C.4．设D为△ABC所在平面内一点,eq\o(BC，\s\up7（→）)＝3eq\o(CD，\s\up7(→）），则(）A．eq\o（AD,\s\up7（→）)＝－eq\f(1,3）eq\o（AB，\s\up7(→）)＋eq\f（4，3)eq\o（AC,\s\up7(→)) B．eq\o(AD，\s\up7（→))＝eq\f(1,3)eq\o（AB,\s\up7(→))－eq\f（4,3)eq\o(AC,\s\up7（→)）C．eq\o（AD,\s\up7(→)）＝eq\f（4，3)eq\o(AB，\s\up7(→)）＋eq\f（1,3）eq\o(AC，\s\up7(→）) D．eq\o（AD,\s\up7(→))＝eq\f(4，3)eq\o（AB，\s\up7(→））－eq\f(1,3)eq\o（AC,\s\up7（→））解析：选A由题意得eq\o(AD,\s\up7(→）)＝eq\o(AC,\s\up7（→)）＋eq\o（CD,\s\up7（→))＝eq\o（AC,\s\up7(→））＋eq\f（1,3)eq\o(BC,\s\up7（→）)＝eq\o（AC，\s\up7（→）)＋eq\f(1,3）eq\o(AC,\s\up7（→)）－eq\f(1，3）eq\o(AB，\s\up7（→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→）)＋eq\f(4，3)eq\o（AC，\s\up7（→）)。5．若菱形ABCD的边长为2，则｜eq\o(AB，\s\up7(→）)－eq\o(CB，\s\up7（→))＋eq\o（CD,\s\up7(→)）｜＝________.解析：｜eq\o（AB,\s\up7(→））－eq\o（CB，\s\up7（→))＋c｜＝|eq\o(AB，\s\up7（→)）＋eq\o(BC，\s\up7(→)）＋eq\o（CD，\s\up7(→））|＝|eq\o(AD，\s\up7(→))|＝2.答案:26．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－3a)共线，则λ＝解析:由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－（b－3a）］,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，，1＝3k，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，，λ＝－\f（1，3）.）)答案：－eq\f(1,3）eq\a\vs4\al(考点一平面向量的有关概念)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透）[考什么·怎么考]高考对本部分内容不会单独考查，多渗透到平面向量的线性运算中,难度较小。1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a｜·a0；②若a与a0平行，则a＝｜a｜a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3解析:选D向量是既有大小又有方向的量，a与｜a｜a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向,二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述,假命题的个数是3。2．给出下列命题:①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o（AB,\s\up7(→)）＝eq\o（DC,\s\up7（→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是｜a|＝｜b｜且a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c。其中正确命题的序号是________．解析：①正确．∵a＝b，∴a,b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.②正确．∵eq\o（AB，\s\up7（→）)＝eq\o(DC，\s\up7(→）），∴｜eq\o(AB,\s\up7（→）)｜＝｜eq\o（DC，\s\up7(→））｜且eq\o(AB，\s\up7(→））∥eq\o（DC，\s\up7（→))，又A，B，C，D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形；反之,若四边形ABCD为平行四边形，则eq\o（AB，\s\up7(→）)∥eq\o（DC,\s\up7（→））且｜eq\o(AB，\s\up7（→)）|＝|eq\o（DC，\s\up7（→)）｜，因此,eq\o(AB,\s\up7（→))＝eq\o（DC,\s\up7（→)).③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a｜＝|b|,也不能得到a＝b，故｜a｜＝｜b｜且a∥b不是a＝b的充要条件,而是必要不充分条件．④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②.答案：①②[怎样快解·准解］有关平面向量概念的6个注意点(1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2）共线向量即为平行向量,它们均与起点无关．（3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与eq\f(a,|a｜）的关系：eq\f（a,｜a｜）是与a同方向的单位向量,－eq\f(a，｜a｜)是与a反方向的单位向量．(5）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小．(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．eq\a\vs4\al（考点二向量的线性运算)eq\a\vs4\al（基础送分型考点—-自主练透）［考什么·怎么考］平面向量的线性运算是高考对平面向量考查的一个重点内容，主要考查三角形法则及平行四边形法则的应用，通常有两个考查角度：(1)向量的线性表示;(2)加(减）法运算几何意义的应用．考题多以选择题或填空题的形式出现，属于低档题目．1．(2018·武汉调研)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则eq\o（OA，\s\up7（→））＋eq\o（OB，\s\up7(→)）＋eq\o(OC，\s\up7（→))＋eq\o（OD,\s\up7(→）)等于()A．eq\o(OM,\s\up7（→)) B．2eq\o(OM，\s\up7(→))C．3eq\o(OM,\s\up7（→）） D．4eq\o（OM，\s\up7(→）)解析：选D因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，所以eq\o（OA，\s\up7（→）)＋eq\o(OC,\s\up7（→）)＝2eq\o(OM，\s\up7（→))，eq\o(OB，\s\up7（→）)＋eq\o（OD,\s\up7(→）)＝2eq\o（OM,\s\up7（→)),所以eq\o(OA,\s\up7（→))＋eq\o（OB,\s\up7(→）)＋eq\o（OC，\s\up7(→))＋eq\o（OD,\s\up7（→））＝4eq\o(OM,\s\up7(→））.2．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试）设D是△ABC所在平面内一点,eq\o(AB，\s\up7（→)）＝2eq\o（DC,\s\up7（→))，则(）A．eq\o(BD,\s\up7（→））＝eq\o（AC,\s\up7（→））－eq\f(3，2)eq\o(AB，\s\up7(→）) B．eq\o(BD,\s\up7（→））＝eq\f（3，2)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB，\s\up7(→))C．eq\o（BD，\s\up7（→）)＝eq\f（1，2）eq\o（AC，\s\up7(→））－eq\o（AB,\s\up7(→)） D．eq\o（BD,\s\up7(→))＝eq\o（AC，\s\up7(→)）－eq\f(1，2）eq\o（AB，\s\up7（→））解析：选Aeq\o(BD,\s\up7（→))＝eq\o（BC,\s\up7(→）)＋eq\o（CD,\s\up7(→)）＝eq\o(BC，\s\up7（→））－eq\o(DC,\s\up7（→)）＝eq\o（AC，\s\up7(→））－eq\o（AB,\s\up7（→））－eq\f（1，2)eq\o(AB，\s\up7(→))＝eq\o（AC，\s\up7(→)）－eq\f（3,2）eq\o(AB，\s\up7（→）），选A。3．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点,AD＝eq\f(1,2）AB，BE＝eq\f(2，3)BC。若eq\o（DE,\s\up7(→)）＝λ1eq\o(AB，\s\up7(→））＋λ2eq\o（AC，\s\up7(→））（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2＝________。解析：eq\o(DE,\s\up7（→）)＝eq\o（DB,\s\up7(→))＋eq\o(BE，\s\up7（→））＝eq\f（1，2)eq\o（AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,3）eq\o(BC，\s\up7（→)）＝eq\f（1,2）eq\o(AB，\s\up7（→)）＋eq\f（2,3）(eq\o(BA,\s\up7（→))＋eq\o(AC，\s\up7(→）)）＝－eq\f（1,6）eq\o(AB,\s\up7(→）)＋eq\f(2,3)eq\o（AC，\s\up7（→)），所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f（2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f（1，2）.答案：eq\f(1,2）［怎样快解·准解］1．用已知向量表示未知向量的方法构造三角形，关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系,能熟练地找出图形中的相等向量,熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用已知向量表示未知向量的4步骤（1)观察各向量的位置；（2)寻找相应的三角形或多边形；（3）运用法则找关系；(4)化简结果．3．向量线性运算的2个常用结论（1）在△ABC中，D是BC的中点，则eq\o（AD，\s\up7（→））＝eq\f(1，2）(eq\o（AC,\s\up7（→)）＋eq\o(AB，\s\up7(→）））;（2）O为△ABC的重心的充要条件是eq\o(OA,\s\up7（→））＋eq\o（OB，\s\up7（→)）＋eq\o（OC，\s\up7(→）)＝0.eq\a\vs4\al（考点三共线向量定理的应用）eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)向量共线问题常见题型有两种，一是根据条件证明三点共线，二是利用三点共线求参数的值.题目难度一般较小.[典题领悟］设两个非零向量a与b不共线，（1）若eq\o(AB，\s\up7(→）)＝a＋b,eq\o（BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD，\s\up7（→))＝3（a－b)，求证：A，B,D三点共线；（2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．解:（1)证明:∵eq\o（AB，\s\up7（→)）＝a＋b，eq\o(BC，\s\up7（→））＝2a＋8b，eq\o（CD，\s\up7（→））＝3a－3b，∴eq\o(BD，\s\up7（→))＝eq\o（BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD，\s\up7（→))＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b)＝5eq\o（AB，\s\up7（→）),∴eq\o（AB,\s\up7（→）)，eq\o(BD,\s\up7（→))共线．又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2)∵ka＋b与a＋kb同向，∴存在实数λ(λ>0),使ka＋b＝λ（a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb。∴(k－λ）a＝(λk－1)b。∵a，b是不共线的两个非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（k－λ＝0，,λk－1＝0，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,λ＝1）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（k＝－1,,λ＝－1，)）又∵λ〉0，∴k＝1。[解题师说]1．共线向量定理的3个应用证明向量共线对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线证明三点共线若存在实数λ，使eq\o(AB，\s\up7（→))＝λeq\o（AC，\s\up7(→))，则A，B，C三点共线求参数的值利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组)求参数的值2．求解向量共线问题的注意事项（1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.（4）直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔eq\o（OP,\s\up7(→））＝(1－t）eq\o（OA，\s\up7(→)）＋teq\o（OB,\s\up7(→）)(O为平面内任一点，t∈R）．（5）eq\o(OA,\s\up7（→)）＝λeq\o(OB,\s\up7（→))＋μeq\o（OC，\s\up7(→))（λ,μ为实数)，若A，B,C三点共线，则λ＋μ＝1。[冲关演练］1．在四边形ABCD中，eq\o（AB,\s\up7(→））＝a＋2b，eq\o(BC，\s\up7(→）)＝－4a－b，eq\o(CD，\s\up7（→)）＝－5a－3b,则四边形ABCD的形状是(）A．矩形 B．平行四边形C．梯形 D．以上都不对解析：选C由已知，得eq\o(AD，\s\up7(→）)＝eq\o(AB，\s\up7(→)）＋eq\o(BC，\s\up7（→)）＋eq\o(CD,\s\up7（→)）＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2eq\o(BC，\s\up7（→))，故eq\o（AD，\s\up7（→））∥eq\o(BC，\s\up7(→））。又因为eq\o（AB,\s\up7(→))与eq\o（CD，\s\up7(→）)不平行，所以四边形ABCD是梯形．2．(2018·贵州适应性考试)已知向量e1与e2不共线，且向量eq\o（AB,\s\up7（→)）＝e1＋me2，eq\o(AC，\s\up7（→）)＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则实数m,n满足的条件是()A．mn＝1 B．mn＝－1C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1解析：选A因为A，B，C三点共线，所以一定存在一个确定的实数λ，使得eq\o（AB，\s\up7（→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→)）,所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝nλ,，m＝λ，))所以mn＝1.（一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．设D，E,F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点,则eq\o（EB，\s\up7（→))＋eq\o（FC，\s\up7(→)）＝（)A．eq\o（AD，\s\up7(→）） B。eq\f（1，2)eq\o(AD,\s\up7（→))C.eq\f（1，2)eq\o(BC,\s\up7(→）） D．eq\o(BC,\s\up7(→))解析：选A由题意得eq\o（EB，\s\up7(→）)＋eq\o(FC,\s\up7（→））＝eq\f(1,2）(eq\o（AB，\s\up7(→))＋eq\o（CB,\s\up7（→）)）＋eq\f(1,2)(eq\o（AC，\s\up7(→))＋eq\o（BC,\s\up7（→）））＝eq\f(1，2)(eq\o（AB,\s\up7(→)）＋eq\o（AC，\s\up7（→)）)＝eq\o(AD，\s\up7（→）)。2．已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量eq\o（OA,\s\up7（→）)平行的向量为()A．eq\o(AB,\s\up7（→）)＋eq\o（AC,\s\up7（→）) B．eq\o（AB，\s\up7（→)）＋eq\o（BC,\s\up7（→))＋eq\o(CD，\s\up7(→）)C．eq\o(AB,\s\up7(→））＋eq\o(AF，\s\up7（→))＋eq\o（CD,\s\up7(→）） D．eq\o（AB,\s\up7(→）)＋eq\o(CD,\s\up7（→））＋eq\o(DE,\s\up7（→))解析:选Beq\o(AB,\s\up7（→））＋eq\o（BC，\s\up7（→））＋eq\o(CD,\s\up7（→)）＝eq\o（AD,\s\up7(→))＝2eq\o（AO,\s\up7（→）)＝－2eq\o（OA,\s\up7（→））。3．设向量a,b不共线,eq\o(AB，\s\up7（→))＝2a＋pb，eq\o（BC,\s\up7（→））＝a＋b,eq\o（CD，\s\up7(→））＝a－2b，若A,B,D三点共线,则实数p的值为（）A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选B因为eq\o（BC,\s\up7（→））＝a＋b，eq\o(CD，\s\up7(→）)＝a－2b，所以eq\o（BD,\s\up7(→))＝eq\o（BC，\s\up7（→)）＋eq\o（CD,\s\up7（→)）＝2a－b。又因为A,B，D三点共线，所以eq\o（AB，\s\up7(→）），eq\o(BD,\s\up7(→）)共线．设eq\o（AB，\s\up7（→)）＝λeq\o（BD，\s\up7(→))，所以2a＋pb＝λ（2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.4．下列四个结论：①eq\o（AB，\s\up7(→))＋eq\o(BC，\s\up7（→））＋eq\o（CA,\s\up7(→）)＝0；②eq\o(AB,\s\up7(→）)＋eq\o(MB，\s\up7（→))＋eq\o（BO,\s\up7（→))＋eq\o(OM，\s\up7（→))＝0；③eq\o(AB，\s\up7(→）)－eq\o（AC,\s\up7（→））＋eq\o(BD，\s\up7(→)）－eq\o（CD，\s\up7（→）)＝0；④eq\o（NQ，\s\up7（→）)＋eq\o（QP，\s\up7（→）)＋eq\o(MN，\s\up7(→））－eq\o(MP，\s\up7（→))＝0,其中一定正确的结论个数是(）A．1 B．2C．3 D．4解析：选C①eq\o(AB，\s\up7（→))＋eq\o(BC,\s\up7(→)）＋eq\o(CA,\s\up7(→)）＝eq\o(AC，\s\up7(→））＋eq\o(CA,\s\up7(→）)＝0,①正确；②eq\o（AB，\s\up7（→）)＋eq\o（MB，\s\up7(→）)＋eq\o(BO,\s\up7（→））＋eq\o（OM，\s\up7（→））＝eq\o(AB，\s\up7（→)）＋MO→＋eq\o（OM,\s\up7(→）)＝eq\o（AB,\s\up7（→)），②错误;③eq\o(AB,\s\up7（→）)－eq\o(AC，\s\up7（→))＋eq\o（BD,\s\up7（→）)－eq\o（CD，\s\up7(→)）＝eq\o（CB,\s\up7（→))＋eq\o(BD,\s\up7(→））＋eq\o(DC，\s\up7(→））＝eq\o(CD,\s\up7(→)）＋eq\o(DC,\s\up7（→)）＝0，③正确；④eq\o(NQ，\s\up7(→））＋eq\o（QP,\s\up7（→）)＋eq\o(MN,\s\up7(→)）－eq\o（MP,\s\up7(→））＝eq\o（NP,\s\up7(→）)＋eq\o（PN，\s\up7(→))＝0，④正确,故①③④正确．5．(2018·广东东莞二模）如图所示,已知eq\o(AC，\s\up7（→)）＝3eq\o(BC,\s\up7(→）)，eq\o（OA，\s\up7（→）)＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b,eq\o(OC,\s\up7（→）)＝c,则下列等式中成立的是（）A．c＝eq\f(3，2）b－eq\f(1，2）aB．c＝2b－aC．c＝2a－bD．c＝eq\f(3，2)a－eq\f（1,2）b解析：选A因为eq\o(AC，\s\up7(→)）＝3eq\o（BC，\s\up7(→）)，eq\o（OA，\s\up7(→）)＝a,eq\o（OB，\s\up7（→)）＝b，所以eq\o(OC，\s\up7(→)）＝eq\o（OA,\s\up7（→））＋eq\o(AC，\s\up7(→))＝eq\o（OA，\s\up7(→))＋eq\f(3,2）eq\o（AB，\s\up7（→)）＝eq\o（OA,\s\up7（→)）＋eq\f（3，2）(eq\o（OB，\s\up7（→)）－eq\o(OA,\s\up7(→）））＝eq\f(3,2)eq\o（OB，\s\up7（→))－eq\f（1，2)eq\o（OA，\s\up7(→）)＝eq\f（3,2）b－eq\f（1，2）a，故选A.6．设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是()①eq\o(AC，\s\up7（→))＝eq\o(AB,\s\up7（→)）＋eq\o（AD,\s\up7(→））；②eq\o（AP，\s\up7（→))＝eq\f（1，2)（eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o（AD,\s\up7（→）)）；③eq\o（DB,\s\up7（→))＝eq\o（AB，\s\up7（→)）－eq\o（AD,\s\up7（→)）；④eq\o（PD，\s\up7(→））＝eq\o（PB，\s\up7（→)).A．1 B．2C．3 D．4解析：选C由向量加法的平行四边形法则，知①eq\o（AC，\s\up7（→))＝eq\o(AB,\s\up7（→））＋eq\o（AD，\s\up7（→）），②eq\o(AP,\s\up7（→)）＝eq\f（1，2）（eq\o(AB，\s\up7(→））＋eq\o（AD，\s\up7（→）））都是正确的,由向量减法的三角形法则，知③eq\o(DB，\s\up7（→）)＝eq\o（AB，\s\up7(→）)－eq\o(AD,\s\up7(→）)是正确的，因为eq\o（PD,\s\up7（→）），eq\o(PB，\s\up7(→）)的大小相同，方向相反，所以④eq\o(PD,\s\up7(→)）＝eq\o（PB,\s\up7(→）)是错误的．7．设向量a，b不平行,向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析:因为向量λa＋b与a＋2b平行,所以可设λa＋b＝k（a＋2b)，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（λ＝k,,1＝2k，))所以λ＝eq\f(1,2）.答案：eq\f（1,2)8．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且eq\o(OA，\s\up7(→）)＝a,eq\o（OB,\s\up7（→）)＝b,则eq\o(DC,\s\up7(→）)＝________，eq\o（BC，\s\up7（→））＝________。(用a,b表示)解析：如图,eq\o（DC,\s\up7（→））＝eq\o（AB，\s\up7(→)）＝eq\o（OB，\s\up7(→)）－eq\o(OA，\s\up7(→）)＝b－a，eq\o(BC,\s\up7(→)）＝eq\o(OC，\s\up7(→)）－eq\o（OB，\s\up7（→)）＝－eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o（OB，\s\up7(→)）＝－a－b.答案：b－a－a－b9．(2018·河南三市联考)在锐角△ABC中，eq\o(CM,\s\up7(→))＝3eq\o（MB，\s\up7(→）），eq\o(AM，\s\up7（→））＝xeq\o（AB,\s\up7（→)）＋yeq\o（AC，\s\up7(→))，则eq\f（x，y)＝________.解析:由题设可得eq\o（CA，\s\up7（→）)＋eq\o（AM,\s\up7(→）)＝3(eq\o（AB,\s\up7（→)）－eq\o(AM，\s\up7(→））)，即4eq\o（AM,\s\up7(→）)＝3eq\o（AB,\s\up7(→））＋eq\o（AC，\s\up7(→）)，亦即eq\o(AM,\s\up7（→)）＝eq\f（3，4）eq\o(AB，\s\up7（→))＋eq\f(1，4）eq\o（AC，\s\up7（→)），则x＝eq\f（3,4)，y＝eq\f(1,4),故eq\f(x，y）＝3。答案：310．已知S是△ABC所在平面外一点,D是SC的中点，若eq\o(BD，\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→））＋yeq\o(AC，\s\up7(→））＋zeq\o(AS,\s\up7（→）),则x＋y＋z＝________.解析：依题意得eq\o(BD,\s\up7(→））＝eq\o(AD，\s\up7(→))－eq\o（AB,\s\up7(→))＝eq\f(1，2）（eq\o(AS,\s\up7（→））＋eq\o(AC，\s\up7(→)))－eq\o(AB，\s\up7(→））＝－eq\o（AB,\s\up7(→））＋eq\f（1,2）eq\o(AC，\s\up7（→)）＋eq\f(1，2)eq\o(AS，\s\up7(→))，因此x＋y＋z＝－1＋eq\f（1，2）＋eq\f(1,2)＝0。答案：0B级-—中档题目练通抓牢1．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD,点M是腰BC的中点，若eq\o（AM，\s\up7(→））＝λeq\o（AB，\s\up7（→）)＋μeq\o(AD，\s\up7(→）)，则λ，μ的值分别为()A.eq\f（3，4），eq\f(1，2） B.eq\f(1,2)，eq\f（3,4)C．1，eq\f（3,4） D。eq\f(1,2）,eq\f（1，2)解析：选A因为eq\o（AM，\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7（→)）＋eq\o(AC，\s\up7(→）))＝eq\f(1，2）(eq\o（AB,\s\up7(→）)＋eq\o（AD，\s\up7(→）)＋eq\o（DC，\s\up7(→)）)＝eq\f(1，2)（eq\o(AB，\s\up7（→））＋eq\o（AD，\s\up7（→)）＋eq\f（1，2)eq\o(AB,\s\up7（→）))＝eq\f(3，4)eq\o(AB,\s\up7（→）)＋eq\f（1，2)eq\o（AD，\s\up7（→))，所以λ＝eq\f(3，4），μ＝eq\f（1,2）.2．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为（）A．1 B．－eq\f（1,2)C．1或－eq\f(1,2） D．－1或－eq\f(1,2）解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd（k＜0),于是λa＋b＝keq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(a＋2λ－1b）)。整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k）b。由于a，b不共线，所以有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f（1,2）。又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－eq\f（1,2)。3．(2018·长春质检)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且eq\o（AD，\s\up7(→）)＝eq\f(1,3）eq\o（AB,\s\up7（→)）＋eq\f（1，2)eq\o（AC,\s\up7（→）)，则eq\f（S△BCD,S△ABD)＝（）A。eq\f(1,6） B。eq\f(1,3）C.eq\f(1,2） D。eq\f（2，3）解析:选B如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝eq\f（1，2）S△ABC，S△ACD＝eq\f(1，3）S△ABC，S△BCD＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（1，2)－\f(1,3））)S△ABC＝eq\f（1，6)S△ABC，所以eq\f(S△BCD,S△ABD)＝eq\f(1,3）.4．已知a,b是非零向量，命题p：a＝b,命题q：|a＋b｜＝｜a｜＋｜b|,则p是q的__________条件(选填“充要”“充分不必要"“必要不充分”“既不充分也不必要”)．解析：若a＝b,则|a＋b｜＝｜2a｜＝2｜a｜,|a｜＋|b|＝｜a|＋|a|＝2|a|，即p⇒q若｜a＋b|＝|a|＋｜b｜，由加法的运算法则知a与b同向共线，即a＝λb，且λ>0，故q⇒/p。所以p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要5．在梯形ABCD中，已知AB∥CD,AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq\o（AB，\s\up7(→）)＝λeq\o(AM，\s\up7（→)）＋μeq\o（AN，\s\up7(→）)，则λ＋μ＝________。解析:法一：由eq\o(AB,\s\up7(→））＝λeq\o(AM，\s\up7(→）)＋μeq\o(AN，\s\up7（→))，得eq\o(AB，\s\up7(→）)＝λ·eq\f（1,2）（eq\o（AD，\s\up7（→））＋eq\o(AC,\s\up7(→)））＋μ·eq\f(1,2)(eq\o（AC，\s\up7（→))＋eq\o(AB，\s\up7(→)）)，则eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（μ，2)－1)）eq\o（AB，\s\up7(→）)＋eq\f（λ，2)eq\o（AD,\s\up7（→)）＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)＋\f(μ，2)））eq\o（AC,\s\up7(→)）＝0，得eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(μ,2)－1）)eq\o（AB，\s\up7(→))＋eq\f（λ,2)eq\o（AD,\s\up7（→)）＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（λ，2)＋\f（μ，2)))eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(eq\o(AD,\s\up7（→))＋\f(1，2）eq\o（AB,\s\up7（→）)))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，4)λ＋\f(3,4）μ－1))eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（λ＋\f（μ,2)))eq\o(AD,\s\up7(→))＝0.又因为eq\o（AB，\s\up7（→)），eq\o(AD，\s\up7(→)）不共线，所以由平面向量基本定理得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1,4）λ＋\f(3，4)μ－1＝0，，λ＋\f(μ，2)＝0,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(λ＝－\f（4，5)，,μ＝\f(8,5）.)）所以λ＋μ＝eq\f(4，5).法二：连接MN并延长交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝eq\f(4,5）AT，∴eq\f（4,5）eq\o(AT，\s\up7（→))＝eq\o（AB，\s\up7（→）)＝λeq\o(AM，\s\up7（→））＋μeq\o(AN，\s\up7(→）)，即eq\o（AT，\s\up7(→））＝eq\f(5,4）λeq\o(AM,\s\up7(→)）＋eq\f（5,4)μeq\o(AN,\s\up7（→))，∵T,M，N三点共线，∴eq\f(5,4)λ＋eq\f（5，4)μ＝1.∴λ＋μ＝eq\f(4,5）。答案：eq\f（4，5）6.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE,设eq\o(AB,\s\up7（→))＝a，eq\o(AC,\s\up7（→））＝b,试用a，b表示eq\o(AD，\s\up7(→)),eq\o(AG,\s\up7(→））.解：eq\o(AD,\s\up7(→）)＝eq\f（1,2）(eq\o（AB，\s\up7(→））＋eq\o(AC，\s\up7(→)）)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2）b。eq\o(AG，\s\up7（→))＝eq\o(AB，\s\up7（→)）＋eq\o(BG,\s\up7（→)）＝eq\o(AB,\s\up7（→））＋eq\f(2，3)eq\o（BE，\s\up7(→))＝eq\o（AB，\s\up7(→））＋eq\f（1，3)(eq\o（BA，\s\up7（→））＋eq\o（BC，\s\up7（→)））＝eq\f（2，3）eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1，3)(eq\o（AC，\s\up7(→）)－eq\o(AB，\s\up7(→）)）＝eq\f（1，3)eq\o(AB，\s\up7（→)）＋eq\f(1，3)eq\o(AC，\s\up7（→)）＝eq\f（1,3)a＋eq\f（1,3)b。7．设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq\o（AB，\s\up7(→)）＝2e1－8e2,eq\o(CB，\s\up7(→）)＝e1＋3e2，eq\o(CD，\s\up7(→))＝2e1－e2.(1）求证:A，B，D三点共线；（2)若eq\o(BF，\s\up7（→)）＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．解：（1）证明：由已知得eq\o(BD，\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7（→)）－eq\o（CB，\s\up7(→))＝（2e1－e2）－(e1＋3e2）＝e1－4e2,∵eq\o(AB,\s\up7(→）)＝2e1－8e2，∴eq\o(AB，\s\up7（→）)＝2eq\o（BD,\s\up7（→））。又∵eq\o(AB,\s\up7（→）)与eq\o（BD，\s\up7(→））有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由(1）可知eq\o(BD,\s\up7(→))＝e1－4e2，∵eq\o(BF,\s\up7(→）)＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，∴存在实数λ，使eq\o(BF，\s\up7(→))＝λeq\o（BD，\s\up7(→)），即3e1－ke2＝λe1－4λe2,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝3，，－k＝－4λ。）)解得k＝12.C级-—重难题目自主选做1。如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E,F两点，且交其对角线于K,其中，eq\o(AE,\s\up7(→)）＝eq\f（2,5)eq\o(AB，\s\up7（→)），eq\o（AF，\s\up7（→)）＝eq\f（1，2)eq\o(AD,\s\up7（→）），eq\o(AK，\s\up7(→)）＝λeq\o（AC，\s\up7（→）)，则λ的值为（）A.eq\f（2，9) B.eq\f(2,7）C。eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)解析:选A因为eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB，\s\up7（→）)，eq\o(AF，\s\up7（→））＝eq\f（1，2）eq\o（AD,\s\up7(→)），则eq\o（AB，\s\up7（→)）＝eq\f(5,2）eq\o(AE，\s\up7（→))，eq\o(AD,\s\up7(→）)＝2eq\o（AF，\s\up7(→)），由向量加法的平行四边形法则可知eq\o(AC,\s\up7（→））＝eq\o（AB,\s\up7(→））＋eq\o（AD,\s\up7(→)），所以eq\o（AK,\s\up7(→）)＝λeq\o（AC,\s\up7（→）)＝λ(eq\o（AB，\s\up7（→）)＋eq\o(AD,\s\up7（→）)）＝λeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(5,2）eq\o（AE，\s\up7（→))＋2eq\o(AF，\s\up7(→）)))＝eq\f（5,2）λeq\o(AE,\s\up7(→))＋2λeq\o（AF，\s\up7(→）），由E,F，K三点共线可得eq\f（5，2)λ＋2λ＝1，所以λ＝eq\f(2，9).2．在直角梯形ABCD中,∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2eq\r（3），BC＝2，点E在线段CD上，若eq\o(AE，\s\up7(→））＝eq\o(AD，\s\up7（→))＋μeq\o（AB,\s\up7（→)）,则μ的取值范围是________．解析:由题意可求得AD＝1，CD＝eq\r（3)，所以eq\o(AB,\s\up7（→)）＝2eq\o（DC，\s\up7(→）).∵点E在线段CD上，∴eq\o(DE,\s\up7（→））＝λeq\o（DC,\s\up7(→））(0≤λ≤1)．∵eq\o（AE,\s\up7（→))＝eq\o（AD，\s\up7（→)）＋eq\o(DE,\s\up7(→）），又eq\o(AE,\s\up7（→)）＝eq\o（AD,\s\up7（→))＋μeq\o(AB，\s\up7(→）)＝eq\o（AD,\s\up7(→)）＋2μeq\o(DC，\s\up7（→））＝eq\o(AD，\s\up7（→））＋eq\f（2μ,λ)eq\o(DE，\s\up7（→))，∴eq\f（2μ，λ)＝1，即μ＝eq\f(λ，2).∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤eq\f(1，2).即μ的取值范围是eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2））).答案:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2）））(二）重点高中适用作业A级—-保分题目巧做快做1。设D，E,F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq\o(EB,\s\up7(→））＋eq\o（FC，\s\up7（→)）＝（）A．eq\o(AD，\s\up7(→)）B.eq\f(1，2）eq\o(AD，\s\up7（→）)C.eq\f(1，2)eq\o(BC，\s\up7（→)) D．eq\o（BC,\s\up7（→））解析：选A由题意得eq\o（EB,\s\up7（→)）＋eq\o(FC，\s\up7（→))＝eq\f(1，2)（eq\o(AB,\s\up7(→））＋eq\o(CB,\s\up7（→）))＋eq\f(1，2)（eq\o（AC,\s\up7(→))＋eq\o(BC，\s\up7(→）)）＝eq\f(1,2）(eq\o(AB，\s\up7（→))＋eq\o(AC,\s\up7（→)))＝eq\o(AD,\s\up7（→)）。2.（2018·合肥质检）已知O,A,B，C为同一平面内的四个点，若2eq\o（AC,\s\up7（→))＋eq\o(CB，\s\up7(→)）＝0，则向量eq\o(OC，\s\up7(→)）等于(）A。eq\f(2,3)eq\o(OA，\s\up7（→））－eq\f(1，3）eq\o(OB,\s\up7(→)） B．－eq\f(1,3）eq\o(OA,\s\up7（→)）＋eq\f(2，3）eq\o（OB，\s\up7（→）)C．2eq\o(OA，\s\up7(→)）－eq\o(OB，\s\up7(→)） D．－eq\o(OA，\s\up7（→)）＋2eq\o（OB，\s\up7（→）)解析:选C因为eq\o（AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC，\s\up7（→））－eq\o(OA,\s\up7（→))，eq\o(CB，\s\up7(→））＝eq\o（OB，\s\up7（→）)－eq\o（OC,\s\up7(→）），所以2eq\o(AC，\s\up7（→）)＋eq\o（CB,\s\up7（→））＝2（eq\o(OC，\s\up7(→）)－eq\o（OA，\s\up7(→)）)＋(eq\o(OB,\s\up7（→）)－eq\o（OC,\s\up7（→)))＝eq\o（OC，\s\up7(→）)－2eq\o(OA,\s\up7（→)）＋eq\o(OB，\s\up7(→)）＝0，所以eq\o（OC,\s\up7(→)）＝2eq\o（OA,\s\up7（→))－eq\o(OB,\s\up7（→）)。3.(2018·江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝eq\f(1，3)AB，BQ＝eq\f（1，3)BC.若eq\o(AB，\s\up7(→）)＝a,eq\o（AC，\s\up7(→))＝b，则eq\o(PQ,\s\up7(→)）＝（）A.eq\f(1，3)a＋eq\f(1，3）b B．－eq\f（1，3)a＋eq\f（1,3）bC。eq\f(1,3）a－eq\f(1,3)b D．－eq\f（1，3)a－eq\f(1,3)b解析：选Aeq\o（PQ，\s\up7(→)）＝eq\o(PB,\s\up7（→））＋eq\o(BQ,\s\up7（→））＝eq\f(2,3）eq\o(AB,\s\up7（→））＋eq\f（1,3）eq\o（BC，\s\up7（→）)＝eq\f(2,3）eq\o（AB，\s\up7(→））＋eq\f（1,3）（eq\o(AC，\s\up7(→））－eq\o(AB，\s\up7(→）))＝eq\f(1，3）eq\o（AB，\s\up7（→）)＋eq\f（1，3）eq\o(AC,\s\up7（→)）＝eq\f（1，3）a＋eq\f（1,3)b，故选A.4．下列四个结论:①eq\o(AB，\s\up7（→）)＋eq\o（BC,\s\up7（→）)＋eq\o(CA，\s\up7（→)）＝0;②eq\o（AB,\s\up7(→)）＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BO，\s\up7（→))＋eq\o(OM，\s\up7（→）)＝0；③eq\o（AB，\s\up7（→））－eq\o(AC,\s\up7（→))＋eq\o（BD，\s\up7（→)）－eq\o(CD,\s\up7（→））＝0；④eq\o（NQ，\s\up7（→)）＋eq\o(QP,\s\up7（→））＋eq\o(MN,\s\up7（→)）－eq\o（MP，\s\up7(→））＝0,其中一定正确的结论个数是（）A．1 B．2C．3 D．4解析：选C①eq\o（AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC，\s\up7(→))＋eq\o(CA，\s\up7（→））＝eq\o(AC，\s\up7(→)）＋eq\o（CA,\s\up7（→)）＝0,①正确；②eq\o（AB,\s\up7（→))＋eq\o（MB,\s\up7（→））＋eq\o（BO，\s\up7(→))＋eq\o（OM，\s\up7（→))＝eq\o（AB,\s\up7(→））＋eq\o（MO，\s\up7(→）)＋eq\o(OM，\s\up7（→）)＝eq\o(AB，\s\up7(→))，②错误；③eq\o（AB,\s\up7(→))－eq\o（AC，\s\up7（→)）＋eq\o（BD，\s\up7(→）)－eq\o(CD，\s\up7(→)）＝eq\o（CB,\s\up7(→）)＋eq\o（BD，\s\up7(→)）＋eq\o(DC,\s\up7（→）)＝eq\o（CD,\s\up7（→））＋eq\o（DC，\s\up7(→））＝0，③正确；④eq\o(NQ，\s\up7（→)）＋eq\o(QP，\s\up7(→)）＋eq\o（MN，\s\up7(→))－eq\o（MP,\s\up7(→）)＝eq\o（NP,\s\up7（→））＋eq\o（PN，\s\up7(→））＝0，④正确．故①③④正确．5．已知向量a,b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（2λ－1）b，若c与d共线反向，则实数λ的值为（）A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1，2） D．－1或－eq\f(1,2)解析:选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd（k＜0)，于是λa＋b＝keq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（a＋2λ－1b））.整理得λa＋b＝ka＋（2λk－k)b.由于a,b不共线，所以有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝k，，2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f（1，2）.又因为k＜0,所以λ＜0，故λ＝－eq\f(1，2）.6.(2018·南宁模拟)已知e1，e2是不共线向量,a＝me1＋2e2,b＝ne1－e2，且mn≠0,若a∥b，则eq\f(m，n）＝________。解析：∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ（ne1－e2）,则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(λn＝m,，－λ＝2,）)故eq\f（m，n)＝－2.答案：－27．已知a,b是非零向量,命题p：a＝b，命题q：｜a＋b｜＝|a｜＋｜b｜,则p是q的____________________条件(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”）．解析：若a＝b，则｜a＋b|＝｜2a|＝2｜a｜，｜a｜＋｜b｜＝｜a｜＋｜a|＝2|a｜，即p⇒q若｜a＋b｜＝|a｜＋｜b|，由加法的运算法则知a与b同向共线，即a＝λb，且λ〉0，故q⇒/p。所以p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要8．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若eq\o(BD,\s\up7(→））＝xeq\o（AB，\s\up7(→))＋yeq\o(AC，\s\up7(→))＋zeq\o（AS，\s\up7（→))，则x＋y＋z＝________。解析：依题意得eq\o(BD，\s\up7（→))＝eq\o（AD，\s\up7（→）)－eq\o（AB，\s\up7（→)）＝eq\f（1,2)(eq\o（AS,\s\up7（→)）＋eq\o(AC，\s\up7(→））)－eq\o（AB,\s\up7（→））＝－eq\o(AB，\s\up7（→））＋eq\f(1，2)eq\o(AC，\s\up7（→）)＋eq\f（1,2)eq\o（AS，\s\up7(→)）,因此x＋y＋z＝－1＋eq\f（1，2)＋eq\f（1，2)＝0。答案：09。已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足eq\o(PA,\s\up7(→））＋eq\o（BP，\s\up7（→))＋eq\o（CP,\s\up7(→））＝0，eq\o（AP，\s\up7（→)）＝λeq\o（PD，\s\up7（→）)，求实数λ的值．解：如图所示，由eq\o（AP，\s\up7（→))＝λeq\o（PD，\s\up7(→））且eq\o（PA,\s\up7（→）)＋eq\o（BP,\s\up7（→））＋eq\o（CP,\s\up7（→)）＝0，得P为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此eq\o（AP,\s\up7（→)）＝－2eq\o(PD，\s\up7(→))，所以λ＝－2。10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知eq\o(AB，\s\up7（→)）＝2e1－8e2，eq\o（CB，\s\up7（→))＝e1＋3e2，eq\o(CD，\s\up7(→)）＝2e1－e2.（1）求证:A，B，D三点共线；(2）若eq\o(BF,\s\up7（→)）＝3e1－ke2,且B，D，F三点共线，求k的值．解：（1）证明:由已知得eq\o（BD，\s\up7(→））＝eq\o(CD，\s\up7(→）)－eq\o(CB,\s\up7（→)）＝（2e1－e2）－（e1＋3e2)＝e1－4e2,∵eq\o(AB,\s\up7（→)）＝2e1－8e2，∴eq\o（AB,\s\up7（→）)＝2eq\o(BD，\s\up7(→)）。又∵eq\o(AB，\s\up7(→）)与eq\o(BD，\s\up7(→)）有公共点B，∴A，B,D三点共线．（2)由(1）可知eq\o(BD,\s\up7（→)）＝e1－4e2,∵eq\o(BF,\s\up7（→）)＝3e1－ke2,且B,D，F三点共线,∴存在实数λ,使eq\o(BF，\s\up7（→)）＝λeq\o(BD,\s\up7(→))，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝3，，－k＝－4λ。)）解得k＝12.B级-—拔高题目稳做准做1．（2018·长春质检)在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点，且eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1，3）eq\o（AB,\s\up7(→)）＋eq\f（1,2）eq\o(AC,\s\up7(→））,则eq\f（S△BCD，S△ABD)＝（)A.eq\f(1，6)B.eq\f（1,3)C。eq\f(1，2)D。eq\f(2，3)解析：选B如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S△ABD＝eq\f(1，2）S△ABC，S△ACD＝eq\f（1，3）S△ABC，S△BCD＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f（1,3）））S△ABC＝eq\f(1，6）S△ABC,所以eq\f（S△BCD，S△ABD)＝eq\f（1，3)。2.（2018·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中,AB＝2AD＝2DC,E为BC边上一点,eq\o（BC,\s\up7(→））＝3eq\o（EC，\s\up7（→)）,F为AE的中点，则eq\o(BF,\s\up7(→））＝()A。eq\f(2,3）eq\o(AB,\s\up7(→）)－eq\f（1,3）eq\o（AD，\s\up7(→）) B.eq\f(1，3)eq\o（AB，\s\up7(→)）－eq\f(2，3）eq\o（AD,\s\up7（→))C．－eq\f（2,3）eq\o（AB,\s\up7（→）)＋eq\f（1,3）eq\o(AD，\s\up7(→）) D．－eq\f（1,3)eq\o(AB，\s\up7（→））＋eq\f(2,3）eq\o（AD，\s\up7(→）)解析:选Ceq\o(BF，\s\up7（→）)＝eq\o（BA,\s\up7(→）)＋eq\o（AF,\s\up7(→）)＝eq\o(BA，\s\up7（→)）＋eq\f(1，2)eq\o（AE,\s\up7(→))＝－eq\o(AB,\s\up7(→)）＋eq\f(1，2）（eq\o(AD，\s\up7（→)）＋eq\f（1,2）eq\o(AB，\s\up7(→)）＋eq\o(CE，\s\up7（→)）)＝－eq\o(AB,\s\up7（→））＋eq\f(1，2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(eq\o（AD，\s\up7（→)）＋\f(1,2)eq\o(AB，\s\up7（→））＋\f（1，3）eq\o(CB，\s\up7（→)））)＝－eq\o(AB,\s\up7（→）)＋eq\f(1,2）eq\o（AD，\s\up7（→))＋eq\f（1,4）eq\o(AB,\s\up7(→））＋eq\f（1,6）（eq\o(CD,\s\up7(→)）＋eq\o（DA,\s\up7(→）)＋eq\o(AB,\s\up7(→）））＝－eq\f（2,3）eq\o（AB,\s\up7(→))＋eq\f(1，3）eq\o（AD,\s\up7(→））.3.在梯形ABCD中,已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq\o（AB,\s\up7（→)）＝λeq\o(AM，\s\up7(→))＋μeq\o(AN，\s\up7（→）），则λ＋μ＝________。解析：法一：由eq\o（AB，\s\up7（→）)＝λeq\o(AM，\s\up7(→))＋μeq\o（AN,\s\up7（→）),得eq\o（AB，\s\up7（→)）＝λ·eq\f(1,2)（eq\o（AD，\s\up7（→））＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＋μ·eq\f(1，2)（eq\o(AC，\s\up7(→）)＋eq\o(AB，\s\up7（→)）)，则eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（μ,2)－1))eq\o（AB,\s\up7（→）)＋eq\f（λ,2）eq\o(AD,\s\up7(→)）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（λ，2)＋\f(μ,2））)eq\o（AC,\s\up7(→））＝0，得eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（μ，2)－1))eq\o（AB，\s\up7（→))＋eq\f（λ,2）eq\o(AD，\s\up7（→)）＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（λ,2）＋\f（μ，2)））eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（eq\o(AD，\s\up7(→)）＋\f（1,2)eq\o(AB,\s\up7（→))))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，4）λ＋\f(3,4)μ－1））eq\o(AB,\s\up7（→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(μ，2)））eq\o（AD，\s\up7(→)）＝0.又因为eq\o（AB，\s\up7(→)）,eq\o(AD,\s\up7（→))不共线,所以由平面向量基本定理得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（1,4）λ＋\