常数项级数的概念和性质

关于常数项级数的概念和性质第一页，共四十页，编辑于2023年，星期一常数项级数的概念和性质二、常数项级数的概念

三、无穷级数的基本性质四、级数收敛的必要条件第一节

第九章一、问题的提出

第二页，共四十页，编辑于2023年，星期一一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积第三页，共四十页，编辑于2023年，星期一二、级数的概念1.级数的定义:(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和第四页，共四十页，编辑于2023年，星期一2.级数的收敛与发散:第五页，共四十页，编辑于2023年，星期一余项第六页，共四十页，编辑于2023年，星期一解第七页，共四十页，编辑于2023年，星期一

收敛

发散

发散

发散

综上第八页，共四十页，编辑于2023年，星期一解已知级数为等比级数，第九页，共四十页，编辑于2023年，星期一解第十页，共四十页，编辑于2023年，星期一第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期一

例4.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期一三、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期一解第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期一第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期一性质3.在级数中去掉、加上或改变有限项,不会影响级数的敛散性.证:

将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动目录上页下页返回结束第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期一性质4.

收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:

设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.因此必有例如机动目录上页下页返回结束第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期一注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期一例6.判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期一四、级数收敛的必要条件

设收敛级数则必有证:

可见:

若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动目录上页下页返回结束第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期一注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上

,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.机动目录上页下页返回结束第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期一五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期一一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理部分和数列为单调增加数列.第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期一证明即部分和数列有界3.比较审敛法第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期一不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期一解由图可知第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期一重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期一证明第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期一4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期一证明由比较审敛法的推论,得证.第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期一第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期一解原级数发散.故原级数收敛.第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期一证明第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期一收敛发散第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期一比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期一第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期一解第三十七页，