线性离散系统分析和校正

线性离散系统分析和校正离散系统中的采样开关和离散信号的特点入手,逐一介绍离散系统的一些基本概念,所采用的数学工具及分析和设计离散系统的思路与方法.7.2信号的采样与保持采样过程和离散信号的数学表达式假设采样开关在闭合的瞬间立刻打开,即闭合的时间等于零且闭合时的接通电阻为零,打开时的断开电阻无穷大,则称其为理想采样开关.如果采样周期为T的理想采样开关S的输入为单位阶跃信号,,见下图:如理想采样开关的输入为任一连续信号e(t),且当t<0时,e(t)=0,则理想采样开关的输出如下图所示:上图中叫调幅脉冲序列,其拉氏变换式为:对离散信号也可进行频谱分析,由付立叶级数的定义,周期性的单位脉冲序列可展开成下面级数:式(3)中:叫采样角频率,叫采样频率.将式(3)代入式(1)得:对式(4)进行拉氏变换:令式(5)中的得的频谱表达式:式(2)和式(5)是的两种不同形式的拉氏变换表达式,式(2)中的与中的建立了联系,而式(5)变成式(6)后,式(6)中的是的频谱,并可证明是的周期函数.前已交代过,采样前的连续信号的拉氏变换式为其频谱表达式为,因此式(6)中的与采样前的连续信号的频谱建立了联系.由于是的周期函数,所以离散信号频谱中每隔重复出现采样前的连续信号的频谱,即连续信号经过采样后的离散信号多出了许多高频分量,且离散信号频谱的幅值是采样前的连续信号频谱幅值的1/T.因此式(2)和式(6)各有各的使用场合.式(2)和式(5)虽都是无穷级数,但通常可将式(2)写成闭合形式,而却不能将式(5)写成闭合形式,下面举例说明例:设,求的拉氏变换式.解:先用式(2)求.再用式(5)求.由上例可见,的拉氏变换式为,只有一个s=0的极点,而的拉氏变换式为,有无穷多个极点,这给分析离散系统带来很多不便,为此需给离散信号另一种变换工具,这就是以后要专门介绍Z变换的原因.

一个离散系统往往有多个采样开关,各个采样开关最简单的动作方式叫同步等周期采样方式,这种方式在工程上用的较普遍对系统的分析也较方便.以后讨论问题时,均以同步等周期采样作为各个开关的动作方式7.2.2信号的复现和采样定理及保持器

实际的离散系统除把连续信号采样成离散信号外,常需将离散信号转换成采样前的连续信号,如计算机控制系统中的D/A转换器就起这一作用.问题是,经采样的离散信号能否复原成采样前的连续信号?如能,应具备什么条件,用何装置实现?本小节就讨论这些问题.由下图可见,连续信号经采样所得到的离散信号是唯一的但离散信号所对应的连续信号却并不唯一,而有无穷多个,请见左图.图中绿色曲线与红色虚线表示不同的连连续信号,而经采样所得到的离散信号是相同的,即一个离散信号可对应无穷多个连续信号.如果采样周期足够小,即采样点足够密,则离散信号就可相当准确的复现出采样前的连续信号,问题是采样周期应小到什么程度?

香农采样定理:要由离散信号完全复现出采样前的连续信号,必须满足:采样角频率大于或等于两倍的采样器输入连续信号频谱中的最高频率,即:

对香农采样定理举例说明,设有叫钟形波的连续信号,其时域和幅频表达式为:其幅频曲线如下图:由式(6),离散的钟形波其幅频曲线如下图:若在离散的钟形波后串接一具有锐截止频率的带通滤波器其幅频特性表为:,幅频曲线如上图,钟形波离散频谱中附加频率分量完全滤掉,仅剩下主频分量.主频分量的波形与连续钟形波的波形一样,仅幅值为后者的1/T.因此可完全复现连续信号.如采样角频率不满足采样定理,采样后钟形波离散幅频谱见上图绿色波形,则可将

可见,由于幅频谱各分量互相搭接,既使采用理想带通滤波器,也无法复现原连续信号.上述具有锐截止频率的带通滤波器是无法实现的,实践中常采用零阶保持器串接在离散信号后,对离散信号进行低通滤波以近似零阶保持器复现连续信号,如右图所示:离散信号如下图:零阶保持器的作用是保持离散信号各采样时刻的值不变直到下一个采样时刻止,从而形成由高度为各采样时刻值的矩形波组成的脉动序列,如上图.再将各矩形波顶边的中点用一条光滑的曲线连接成上图中绿色虚线,此绿色虚线就能较准确地复现由红色虚线表示的原连续信号,且采样周期越小,复现精度越高.图中绿色虚线表示的复原后连续信号比采样前的连续信号在时间上滞后了T/2.经上分析,可得零阶保持器的传递函数为:其频率特性表达式为其频率特性曲线请见书上P.285图7-18,可见零阶保持器是一相位滞后的低通滤波器,高频分量尚不能完全滤尽,因此它只能近似地复原连续信号.D/A转换器就具有零阶保持器的作用,步近电机也具有零阶保持器的作用.零阶保持器还可用阻容网络实现.7.3Z变换理论7.3.1Z变换定义和求法由离散信号的拉氏变换式可见,其含有的超越函数,这给对离散系统的分析和计算带来很大困难,而应

用Z变换可解决这一难题.为此在上式中,令,则定义为的Z变换,并以

下面举例说明求一些简单离散函数的Z变换.1.幂级数法例1:求单位阶越函数的Z变换.表示.有时为书写方便,也将写成解:由的Z变换,其中是常量.例2:求解:与比较可知,表示相对时刻0滞后i个采样周期,或称滞后i拍,而前的系数表示第i个采样时刻的采样值.这一结论具有普遍性.2.部分分式法若e(t)由其拉氏变换式E(s)给出,且E(s)是s的有理函数并其分母多项式便于分解因式时,可将E(s)展开成部分分式,即:式中,是E(s)各不相同的单极点,是的留数,而所对应的时间函数为由例2,上式的Z变换式是:,因此,相应于E(s)的像原函数e(t)的Z变换为例3:求的Z变换式.解:3.留数法若e(t)由其拉氏变换式E(s)给出,且E(s)是s的有理函数并其所有极点能较方便地求出,则还可根据拉氏变换中的s域卷积定理和复变函数中的留数定理求其Z变换.设式(2)中:表示阶重极点,且表示的阶数.为在极点上的留数,当为单极点时,留数为当为阶重极点时,留数为需注意的是阶重极点只对应一个留数.例:求和的Z变换.解:常用时间函数的拉氏变换和Z变换见书上P.289表7-27.3.2Z变换性质1.线性定理例:,求它的Z变换表达式.解:2.实域位移定理

滞后定理证明:令,按定义有:即:当时,有,则上式为:超前定理:证明:令,按定义有:当时,若则有例:求它的Z变换.解:例:求它的Z变换.解:3.复域位移定理设则证明:令例:求它的Z变换.解:4.初值定理:5.终值定理:若证明:例:求的原函数的初值.解:例:求的原函数的初值.解:均为有限值,则终值定理的使用条件为:的所有极点都在Z平面上的单位圆内,也即当时是收敛的.证明:按定义有由超前定理:由式(2)减式(1)得:例:已知求解:6.复域微分定理:证明:例:求函数的z变换式.解:设则所以7.差分定理:前向差分后向差分8.叠分定理证明:9.卷积定理设和为两个离散函数,其离散卷积定义为:则有证明:令,则当时,代入式(1)得:7.3.3Z反变换由E(z)求出e(nT)或e*(t)叫Z反变换,一般记为:需特别强调的是,由E(z)经Z反变换求出的是e(nT)或e*(t),而不是e(t).1.幂级数法当E(z)是有理真分式或是有理严格真分式时,可采用长除法将E(z)展开成z的幂级数,进而求得e(nT)或e*(t).例:求的原函数e*(t).解:采用幂级数法,对于稍复杂的E(z)很难写出e*(t)的通项式e(nT),所以也难写出e*(t)的闭合形式2.部分分式法

当E(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式便于分解成z的一次因式时,可用部分分式法把E(z)变成分式和的形式,再由z变换表求出e(nT)或e*(t).由于z变换式中的分子一般均含有z因子,因此在对E(z)进行部分分式前,先将E(z)/z,再对E(z)/z进行部分分式,然后对E(z)/z部分分式和中的各项再乘以z,最后得E(z)的分式和.

如E(z)/z含有r个相同的极点,(k-r)个各不相同的极点,则E(z)/z的部分分式和为如下形式:式(1)中:是E(z)/z的单极点,是相应于的待定系数,且是E(z)/z的r重极点,r重极点有r个待定系数,且从而例:求的原函数.解:3.留数法当E(z)是有理真分式或是有理严格真分式,且其分母多项式便于分解成z的一次因式时,可用留数法直接求出e(nT)或e*(t).如,(k-r)个各不相同的极点含有r个相同的极点,则需特别指出的是,r个相同的极点只对应一个留数.例:求的原函数.解:课外习题:P.346第7-2题(4)(5),第7-3题[用部分分式法和留数法],第7-4题,第7-5题7.4离散系统的数学模型1.脉冲传递函数(Z传递函数)的推导及定义对于线性连续定常系统,可用传递函数作为数学模型来描述系统的性能.把这一方法推广到线性离散定常系统,则可用Z传递函数作为数学模型来描述系统的性能.但由于离散系统中有采样开关,以及出现离散信号,所以两者又有不同之处.

设一线性连续定常系统如下图所示:当时,,其曲线如上右图所示.当时,当时,若如下图所示为任意连续信号,其经过采样周期为T的理想采样开关后,变成一串脉冲序列,即,当作用于传递函数为的连续系统,输出见上右图,当输入,则,现假设输出端有一与输入端相同的采样开关,对输出连续信号采样,,则输出离散信号为当时刻时对式(2)进行Z变换:将式(1)代入式(3):令,当时,,则有因当时,,所以定义:线性定常离散控制系统,在零初始条件下,输出离散信号的Z变换与输入离散信号的Z变换之比,称为该系统的脉冲传递函数,或叫Z传递函数,即:G(z)的一般表达式为:2.求法常用求法有三种,(1)由定义求G(z);(2)由G(s)求G(z)对于连续系统可得右图:,如则,从而,因为,所以:当输入信号为任意脉冲序列时,也可由上式求出G(z).但需特别指出的是仅由离散系统本身的结构和参数决定,而与输入信号的形式和大小无关.有了Z传递函数,离散系统可用下面框图表示:例:某环节(或系统)的S域传递函数为:解:求其Z传递函数.3.由离散系统结构图求脉冲传递函数A.开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数可分下面二种情况进行介绍.a.开环系统中各串接环节之间均有采样开关,如下图所示:则上图的脉冲传递函数为:b.开环系统中串接环节之间无采样开关,如下图所示:则上图的脉冲传递函数为:需指出的是例1:求下图所示开环系统的脉冲传递函数解:例2:求下图所示开环系统的脉冲传递函数解:例3:求下图所示有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数解:令则:由Z变换的滞后定理可得:B.闭环系统的脉冲传递函数

由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置可能性,因此闭环系统的结构图较连续系统的结构图来的复杂.下图是一种常见的离散闭环系统的结构图形式:由上图经推导可得:叫闭环系统的误差脉冲传递函数.实际系统的输出一般是连续信号,故如上图所示,在输出端虚设一采样开关,才可得到闭环系统输出对输入的脉冲传递函数.因为,所以上式中叫闭环系统的特征多项式,叫闭环系统的开环Z传递函数.在有些情况下,无法得到闭环系统的Z传递函数,而只能得到闭环系统输出的Z变换表达式,见下图:例:求下图所示系统的Z传递函数,采样周期T=0.07s.解:课外习题:P.347第7-9题,第7-10题(a)

第7-11题7.5离散系统的稳定性与稳态误差1.离散控制系统的稳定性

1)稳定条件在线性连续系统理论中已知,其稳定的充要条件是系统的所有极点均在S平面的左半平面上.S平面的虚轴是稳定区域的边界.在线性离散系统中,如用拉氏变换,则变换式中含有项,从而系统的特征方程为超越方程,其极点不好求.但经过Z变换后,离散系统的特征方程D(z)为Z平面上的代数方程但在Z平面上,离散系统的稳定条件又如何表述?

设离散系统的特征方程为D(z),令D(z)=0,设其极点为,则系统稳定的充要条件是,在Z平面上,均在以原点为圆心,半徑为1的单位圆内,即当,即只要有一个极点在单位圆周上,则系统是临界稳定的.当,即只要有一个极点在单位圆外,则系统是不稳定的.上述结论的正确性可说明如下:设在S平面上,有经Z变换后,它在Z平面上的映像为:由上式可得:当时,s在S平面的左半平面上,而z在Z平面上的单位圆内.当时,s在S平面的虚轴上,而z在Z平面上的单位圆周上.当时,s在S平面的右半平面上,而,z在Z平面上的单位圆外.2)劳斯稳定判据在离散控制系统中的应用劳斯稳定判据只能根据代数方程的系数,判别代数方程的根在根平面的左半平面上还是在根平面的右半平面上,而无法判别代数方程的根的模是大于1还是小于1,或是等于1.为此需把Z平面再进行一次变换,令:,或令:将上述变换叫作双线性变换,也叫Z--W变换,即把Z平面变换到W平面.Z和W均为复变量,可表为:即:将式(2)代入式(1),有:由上式可见,W平面上的虚轴对应于上式中的而在Z平面上正好是单位圆的圆周.由于,所以当时,即u<0,w在W平面的左半平面上,而,在Z平面上即为单位圆的内部.当时,即u>0,w在W平面的右半平面上,而在Z平面上即为单位圆的外部.有上述Z—W变换,可将Z平面上的特征方程D(z)变换为W平面上的特征方程D(w),即:从而在W平面上应用劳斯稳定判据判别离散控制系统的稳定性例:设闭环离散控制系统的特征方程为:试判断此系统的稳定性.解:令代入D(z)得:列出劳斯表为:因为劳斯表有两次符号改变,所以D(w)有两个根在W平面的右半平面上,即D(z)有两个根在Z平面的单位圆的外部,故此系统不稳定.课外习题:P.348第7.15题(1)(2)(不用朱利判据),第7.16题(2)2.离散控制系统稳态误差的计算非单位反馈离散控制系统的典型结构图如下图所示:上图中,叫离散偏差信号,其Z变换表达式为:若令,则上式为:其中叫开环Z传递函数.当时,上图为单位反馈离散控制系统,叫离散误差信号.定义离散稳态误差(或偏差)信号为:需强调指出的是,上面定义的是离散误差(或偏差)信号在采样时刻的稳态值.计算离散稳态误差(或偏差)值的方法有下面三种:(1)求出或表达式后,由定义求(2)当闭环稳定时,利用Z变换的终值定理求,即(3)当系统的输入信号分别为或为这三种信号的组合时,用稳态误差系数法求,为此,将离散闭环系统按其开环Z传递函数中含有0,1,2,…个z=1的极点个数而分为0型,1型,2型,…系统.下面介绍在典型输入信号作用下,用稳态误差系数法计算稳态误差值的具体方法.(1)阶跃(位置)输入时令为位置误差系数，则，从而对于0型系统为有限值。1型系统，2型系统(2)斜坡(速度)输入时为速度误差系数，则，从而对于0型系统,1型系统为有限值。2型系统令抛物线(加速度)输入时为加速度误差系数，则，从而对于0型系统,1型系统为有限值。高于2型系统的2型系统由上面推导结果可见,离散系统的稳态误差值不仅与输入信号的型式和大小有关,与系统的结构和参数有关,还与采样周期T的大小有关.例:试求下图所示系统在输入信号r(t)分别为时的稳态误差值.采样周期T=0.1s解:1)开环S传递函数开环Z传递函数可证得闭环稳定,因开