2021-2022学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷试题数：21，总分：1001.（单选题，3分）下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A.x-y+1=0B.y=-2x+1C.y=1D.x=22.（单选题，3分）已知{an}为等差数列，且a1=1，a3+a4+a5=15，则a7=（）A.12B.9C.6D.33.（单选题，3分）抛物线y2=-8x的焦点F到准线l的距离为（）A.16B.8C.4D.24.（单选题，3分）已知平面α，β的法向量分别为=（x，1，-1），=（6，y，3），且α||β，则x+y=（）A.B.1C.-3D.-55.（单选题，3分）已知△ABC的三个顶点是A（-3，0），B（6，2），C（0，-6），则边AC上的高所在的直线方程为（）A.x+2y-2=0B.x-2y-2=0C.x-2y-4=0D.2x+y-14=06.（单选题，3分）设数列{an}的前n项和为Sn，若a2=7，an+1=an-4，n∈N*，则S1，S2，S3，S4中，最大的是（）A.S1B.S2C.S3D.S47.（单选题，3分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=3，点E，F分别在棱BB1，B1C1上，||，，则=（）A.1B.C.2D.8.（单选题，3分）“a=2”是“圆（x-a）2+（y-b）2=4与y轴相切”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.（单选题，3分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，2），点B为平面直角坐标系平面内一点，若线段AB的垂直平分线过抛物线C的焦点F，则点B与原点O间的距离的最小值为（）A.B.2C.D.310.（单选题，3分）均匀压缩是物理学一种常见现象．在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述．设曲线C上任意一点P（x，y），若将曲线C纵向均匀压缩至原来的一半，则点P的对应点为．同理，若将曲线C横向均匀压缩至原来的一半，则曲线C上点P的对应点为．若将单位圆x2+y2=1先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（）A.B.C.4x2+9y2=1D.9x2+4y2=111.（填空题，4分）若过点O（0，0）和M（1，3）的直线与直线ax-y-2=0平行，则a=___．12.（填空题，4分）写出一个离心率e=2且焦点在x轴上的双曲线的标准方程___，并写出该双曲线的渐近线方程___．13.（填空题，4分）已知数列{an}满足，n∈N*，若，则a1=___．14.（填空题，4分）已知点M（-1，2，0），平面α过A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1）三点，则点M到平面α的距离为___．15.（填空题，4分）1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知卫星的近地点（离地面最近的点）距地面的高度约为439km，远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为2384km，且地心、近地点、远地点三点在同一直线上，地球半径约为6371km，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为___km．16.（填空题，4分）如图，在棱长都为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，两两夹角均为，则=___；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线AC1垂直．这三个顶点可以是___．17.（问答题，8分）已知圆C的方程为x2+y2-2x-2y-23=0．

（Ⅰ）求圆C的圆心及半径；

（Ⅱ）是否存在直线l满足：经过点A（2，-1），且____？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：

条件①：被圆C所截得的弦长最长；

条件②：被圆C所截得的弦长最短；

条件③：被圆C所截得的弦长为8．18.（问答题，9分）某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟时间内上升了10米高度．若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟上升的高度都是它在前一分钟上升高度的75%．

（Ⅰ）在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是多少米？

（Ⅱ）这个飞机模型上升的最大高度能超过50米吗？如果能，求出从第几分钟开始高度超过50米；如果不能，请说明理由．19.（问答题，10分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，点E，F，G分别为PA，AB，BC的中点，平面EFGM∩棱PC=M．

（Ⅰ）试确定的值，并证明你的结论；

（Ⅱ）求平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值．20.（问答题，10分）已知椭圆（a＞b＞0）过点，且离心率．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点F为椭圆C的左焦点，点T（-3，m），过点F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q，连接OT与PQ交于点H．

①若，求|PQ|；

②求的值．21.（问答题，9分）设等差数列{an}的各项均为整数，且满足对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+⋯+an=am，则称这样的数列{an}具有性质P．

（Ⅰ）若数列{an}的通项公式为an=2n，数列{an}是否具有性质P？并说明理由；

（Ⅱ）若a1=3，求出具有性质P的数列{an}公差的所有可能值；

（Ⅲ）对于给定的a1，具有性质P的数列{an}是有限个，还是可以无穷多个？（直接写出结论）

2021-2022学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1001.（单选题，3分）下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A.x-y+1=0B.y=-2x+1C.y=1D.x=2【正确答案】：A【解析】：根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可．

【解答】：解：对于A：k=1，是锐角，

对于B：k=-2，是钝角，

对于C：k=0，是0°角，

对于D：k不存在，是直角，

故选：A．

【点评】：本题考查了直线的倾斜角问题，是一道基础题．2.（单选题，3分）已知{an}为等差数列，且a1=1，a3+a4+a5=15，则a7=（）A.12B.9C.6D.3【正确答案】：B【解析】：由已知先求a4，再由等差中项的概念求解a7．

【解答】：解：在等差数列{an}中，由a3+a4+a5=15，得3a4=15，即a4=5，

又a1=1，且a1+a7=2a4，

∴a7=2a4-a1=10-1=9．

故选：B．

【点评】：本题考查等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．3.（单选题，3分）抛物线y2=-8x的焦点F到准线l的距离为（）A.16B.8C.4D.2【正确答案】：C【解析】：直接利用抛物线的性质，求解即可．

【解答】：解：抛物线y2=-8x，可得p=4，

抛物线y2=-8x的焦点F到准线l的距离为：4．

故选：C．

【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．4.（单选题，3分）已知平面α，β的法向量分别为=（x，1，-1），=（6，y，3），且α||β，则x+y=（）A.B.1C.-3D.-5【正确答案】：D【解析】：由α||β，得，列出方程组，能求出结果．

【解答】：解：∵平面α，β的法向量分别为=（x，1，-1），=（6，y，3），且α||β，

∴，

∴，

解得x=-2，y=-3，

∴x+y=-5．

故选：D．

【点评】：本题考查面面平行的运算，考查面面平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（单选题，3分）已知△ABC的三个顶点是A（-3，0），B（6，2），C（0，-6），则边AC上的高所在的直线方程为（）A.x+2y-2=0B.x-2y-2=0C.x-2y-4=0D.2x+y-14=0【正确答案】：B【解析】：先求出直线AC的斜率，再根据两直线垂直时斜率相乘等于-1求出边AC上的高所在的直线斜率，再利用点斜式即可求出结果．

【解答】：解：∵A（-3，0），C（0，-6），

∴直线AC的斜率为=-2，

∴边AC上的高所在的直线斜率为，

又∵B（6，2），

∴边AC上的高所在的直线方程为y-2=（x-6），即x-2y-2=0，

故选：B．

【点评】：本题主要考查了直线的一般方程，考查了两直线垂直时的斜率关系，是基础题．6.（单选题，3分）设数列{an}的前n项和为Sn，若a2=7，an+1=an-4，n∈N*，则S1，S2，S3，S4中，最大的是（）A.S1B.S2C.S3D.S4【正确答案】：C【解析】：根据已知条件判断出数列{an}为等差数列，且公差d=-4，就可求出结果．

【解答】：解：∵an+1=an-4，

∴an+1-an=-4，故数列{an}为等差数列，且公差d=-4，

∴a3=3，a4=-1＜0，

∴S3最大．

故选：C．

【点评】：本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题．7.（单选题，3分）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=3，点E，F分别在棱BB1，B1C1上，||，，则=（）A.1B.C.2D.【正确答案】：D【解析】：直接利用向量的共线和向量的模的应用求出结果．

【解答】：解：根据题意，如图所示：

连接AD1和BC1，

根据，||，

所以点F为B1C1的三等分点；

故=，

故选：D．

【点评】：本题考查的知识要点：平线性的性质，向量的共线，向量的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.（单选题，3分）“a=2”是“圆（x-a）2+（y-b）2=4与y轴相切”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：圆（x-a）2+（y-b）2=4与y轴相切，则a=±2，即可判断．

【解答】：解：圆（x-a）2+（y-b）2=4与y轴相切，

则a=±2，

故“a=2”是“圆（x-a）2+（y-b）2=4与y轴相切”的充分不必要条件．

故选：A．

【点评】：本题主要考查圆与直线相切的关系，属于基础题．9.（单选题，3分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，2），点B为平面直角坐标系平面内一点，若线段AB的垂直平分线过抛物线C的焦点F，则点B与原点O间的距离的最小值为（）A.B.2C.D.3【正确答案】：B【解析】：求出B的轨迹方程，利用B的轨迹，判断点B与原点O间的距离的最小值即可．

【解答】：解：抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，2），

可得4=4P，解得p=1，抛物线方程y2=2x，F（，0），

点B为平面直角坐标系平面内一点，若线段AB的垂直平分线过抛物线C的焦点F，

可知|AF|=|BF|==．

可知B的轨迹是以F为圆心，以为半径的圆，

当BOF在一条直线上时，点B与原点O间的距离取得最小值：=2．

故选：B．

【点评】：本题考查轨迹方程的判断，抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．10.（单选题，3分）均匀压缩是物理学一种常见现象．在平面直角坐标系中曲线的均匀压缩，可用曲线上点的坐标来描述．设曲线C上任意一点P（x，y），若将曲线C纵向均匀压缩至原来的一半，则点P的对应点为．同理，若将曲线C横向均匀压缩至原来的一半，则曲线C上点P的对应点为．若将单位圆x2+y2=1先横向均匀压缩至原来的一半，再纵向均匀压缩至原来的，得到的曲线方程为（）A.B.C.4x2+9y2=1D.9x2+4y2=1【正确答案】：C【解析】：设曲线x2+y2=1上的点为（x，y），对应压缩后点的坐标为（x′，y′），则，进而可得（2x′）2+（3y′）2=1，化简即可得出答案．

【解答】：解：设曲线x2+y2=1上的点为（x，y），对应压缩后点的坐标为（x′，y′），

所以，则，

所以（2x′）2+（3y′）2=1，

所以4x′2+9y′2=1，

所以得到的曲线的方程为4x2+9y2=1．

故选：C．

【点评】：本题考查曲线的方程，解题中需要理清思路，属于中档题．11.（填空题，4分）若过点O（0，0）和M（1，3）的直线与直线ax-y-2=0平行，则a=___．【正确答案】：[1]3【解析】：利用直线与直线平行的性质、斜率公式直接求解．

【解答】：解：过点O（0，0）和M（1，3）的直线与直线ax-y-2=0平行，

∴，

则a=3．

故答案为：3．

【点评】：本题考查直线的斜率的求法，考查直线与直线平行的性质、斜率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.（填空题，4分）写出一个离心率e=2且焦点在x轴上的双曲线的标准方程___，并写出该双曲线的渐近线方程___．【正确答案】：[1]x2-=1（答案不唯一）;[2]y=x【解析】：利用离心率，推出a，b关系，然后写出有关双曲线方程，然后写出渐近线方程．

【解答】：解：离心率e=2且焦点在x轴上的双曲线，可知=2，所以==，

不妨取a=1，则b=，

所以满足条件的双曲线方程可以为：x2-=1，

渐近线方程为：y=x，

故答案为：x2-=1（答案不唯一）；y=x．

【点评】：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，渐近线方程的求法，是中档题．13.（填空题，4分）已知数列{an}满足，n∈N*，若，则a1=___．【正确答案】：[1]【解析】：利用数列的递推关系式逐步求解即可得到数列的首项．

【解答】：解：数列{an}满足，n∈N*，若，

=，可得a2=，

=，a1=．

故答案为：．

【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．14.（填空题，4分）已知点M（-1，2，0），平面α过A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1）三点，则点M到平面α的距离为___．【正确答案】：[1]【解析】：先求得平面ABC的一个法向量，然后由求解．

【解答】：解：因为M（-1，2，0），A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1），

所以，

设平面ABC的一个法向量为，

则，即，

令x=1，则，

所以则点M到平面α的距离为，

故答案为：．

【点评】：本题主要考查点面距离的计算，属于基础题．15.（填空题，4分）1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”，这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆．已知卫星的近地点（离地面最近的点）距地面的高度约为439km，远地点（离地面最远的点）距地面的高度约为2384km，且地心、近地点、远地点三点在同一直线上，地球半径约为6371km，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为___km．【正确答案】：[1]15565【解析】：由题意这颗卫星的运行轨道为椭圆，可得椭圆上任意两点的最大距离为长轴长，由题意可得a+c，a-c的值，求出2a的值．

【解答】：解：这颗卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆，则卫星运行轨道是上任意两点间的距离的最大值为2a，

由题意可得a+c=2384+6371，a-c=439+6371，所以可得2a=15565，

故答案为：15565．

【点评】：本题考查椭圆的定义的应用及椭圆的性质的应用，属于基础题．16.（填空题，4分）如图，在棱长都为1的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，，两两夹角均为，则=___；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线AC1垂直．这三个顶点可以是___．【正确答案】：[1]0;[2]A1，B，D和D1，B1，C【解析】：根据向量数量积的定义及其运算性质计算即可．

【解答】：解：=（++）•（-）=（+）•（-）+•（-）=+•-•=1-1+1•1•cos-1•1•cos=0，

所以AC1⊥BD，同理AC1⊥A1B，

因为BD∩A1B=B，所以AC1⊥平面A1BD，

同理AC1⊥平面D1B1C，

所以选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线AC1垂直．这三个顶点可以是A1，B，D和D1，B1，C，

故答案为：0；A1，B，D和D1，B1，C．

【点评】：本题考查了空间向量数量积的运算及其运算，属于中档题．17.（问答题，8分）已知圆C的方程为x2+y2-2x-2y-23=0．

（Ⅰ）求圆C的圆心及半径；

（Ⅱ）是否存在直线l满足：经过点A（2，-1），且____？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：

条件①：被圆C所截得的弦长最长；

条件②：被圆C所截得的弦长最短；

条件③：被圆C所截得的弦长为8．【正确答案】：

【解析】：（I）求出圆的标准方程，则圆C的圆心坐标和半径可求；

（II）选条件①，直线l过圆心C（1，1），可求直线l的方程；条件②，最短弦为过A且与直径垂直的直线与圆相交的弦，故kl•kAC=-1，可求直线方程；选条件③，先求得过A的最短弦长，可得不存在这样的直线l．

【解答】：解：（I）圆C的方程x2+y2-2x-2y-23=0，化为标准方程为（x-1）2+（y-1）2=25，

则圆C的圆心坐标为（1，1），半径r=5；

（II）因为（2-1）2+（-1-1）2=5＜25，

所以点A（2，-1）在圆C内，

选条件①，所以直线l过圆心C（1，1），所以kAC==-2，所以直线的方程为y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．

选条件②，最短弦为过A且与直径垂直的直线与圆相交的弦，

故kl•kAC=-1，所以kl=，所以直线l的方程为y+1=（x-2），即x-2y-4=0．

选条件③，|A|C|==，可得最短弦长为2=4＞8，

故不存在直线l满足：经过点A（2，-1），且被圆C所截得的弦长为8的直线．

【点评】：本题考查圆的方程的性质，以及考查直线与圆的位置关系，属中档题．18.（问答题，9分）某学校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟时间内上升了10米高度．若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟上升的高度都是它在前一分钟上升高度的75%．

（Ⅰ）在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是多少米？

（Ⅱ）这个飞机模型上升的最大高度能超过50米吗？如果能，求出从第几分钟开始高度超过50米；如果不能，请说明理由．【正确答案】：

【解析】：（I）根据已知条件，即可直接求得该飞机模型在第三分钟内上升的高度是10×75%×75%=5.625．

（II）根据已知条件，结合等比数列的前n项和公式，即可求解．

【解答】：解：（I）∵飞机模型在第一分钟时间内上升了10米高度，且机模型在以后的每一分钟上升的高度都是它在前一分钟上升高度的75%，

∴该飞机模型在第三分钟内上升的高度是10×75%×75%=5.625米．

（II）不能超过，

由题意可得，飞机模型每分钟上升的高度构成a1=10，q=0.75的等比数列，

则Sn==＜40×1=40，

故这个飞机模型上升的最大高度不能超过50米．

【点评】：本题主要考查函数的实际应用，掌握等比数列的前n项和公式是解本题的关键，属于基础题．19.（问答题，10分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，点E，F，G分别为PA，AB，BC的中点，平面EFGM∩棱PC=M．

（Ⅰ）试确定的值，并证明你的结论；

（Ⅱ）求平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值．【正确答案】：

【解析】：（I），利用线面平行的判定和性质可得答案；

（II）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面EFGM的法向量和平

面PAD的法向量由向量夹角公式可得答案．

【解答】：证明：（I）．

证明如下：

在△APB中，因为点E，F分别为PA，AB的中点，

所以EF||PB．

又EF∉平面PBC，PB⊂平面PBC，

所以EF||平面PBC．

因为EF⊂平面EFG，平面EFG∩平面PBC=GM，

所以EF||GM．

所以PB||GM．

在△PBC中，因为点G为BC的中点，

所以点M为PC的中点，即．

解：（II）因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD．

因为PD⊥底面ABCD，

所以PD⊥AD，PD⊥CD．

如图，建立空间直角坐标系D-xyz，

则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），

因为E，F，G分别为PA，AB，BC的中点，

所以E（1，0，1），F（2，1，0），G（1，2，0）．

所以．

设平面EFGM的法向量，则

即

令x=1，y=1，z=2，于是=（1，1，2）．

又因为平面PAD的法向量为=（0，1，0），

所以．

所以平面EFGM与平面PAD夹角的余弦值为．

【点评】：本题考查利用向量法求二面角，考查学生的运算能力，属于难题．20.（问答题，10分）已知椭圆（a＞b＞0）过点，且离心率．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点F为椭圆C的左焦点，点T（-3，m），过点F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q，连接OT与PQ交于点H．

①若，求|PQ|；

②求的值．【正确答案】：

【解析】：（Ⅰ）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解方程可得a，b的值，从而求得椭圆方程；

（Ⅱ）①联立直线PQ的方程与椭圆的方程，解得P，Q坐标可得|PQ|；

②依题意显然斜率存在，kTF=-m，分m=0和m≠0两种情况分别求解即可．

【解答】：解：（I）由题意得

解得a2=6，b2=2．

所以椭圆C的方程为．

（II）①当时，直线TF的斜