2021年中考数学试卷真题（九）（含答案）

2021年中考数学一模试卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.9的平方根是（）

D.土方

A.±3B.-3C.3

2.下列各式计算正确的是（）

A.3〃3+2。2=5小B.2Va+Va=3\/a

C.=D.(〃62)3=。匕6

3.已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（)

-5-4-901?345•>

A.G-1B.x>lC.-3VxW-1D.x>-3

4.如图，AB//CD,DELBE,BF、OF分别为NABE、NCDE■的角平分线，则N8F£>=（)

A.110°B.120°C.125°D.135°

5.如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）

*面

6.某篮球运动员在连续7场比赛中的得分(单位：分)依次为20,18,23,17,20,20,18,则

这组数据的众数与中位数分别是()

A.18分，17分B.20分，17分C.20分，19分D.20分，20分

7.要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式(每两队之间都需在主客场各赛一场)，计划安排30

场比赛，设邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为()

x(x-1)x(x+l)

A.x(x-1)=30B.x(x+1)=30C.-2-=30D.-2-=30

8.如图，在热气球C处测得地面4、8两点的俯角分别为30。、45°,热气球C的高度CD为100

米，点A、B在同一直线上，则4B两点的距离是()

A.200米B.20()F米C.220y米D.100(炳+1)米

9.如图，在平面直角坐标系中，04BC是正方形，点A的坐标是(4,0),点P为边AB上一点,

NCPB=60°,沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B'处，则8'点的坐标为()

A.(2,273)B.(-|,2-V3)C.(2,4-2V3)D.(-1,4-273)

10.如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=8C=a,以斜边AB上的点。为圆心的圆分别与4C、

BC相切于点E、F,与AB分别相交于点G、，，且EH的延长线与CB的延长线交于点D,则

CD的长为()

A.汉|工B.与乙C.D.（收卷）a

填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.的绝对值是_______，倒数是_______.

5

12.若代数式逗工有意义，则机的取值范围是_____.

in-1

13.如图，△CO。是△AOB绕点。顺时针方向旋转40°后所得的图形，点C恰好在48上，则NA

的度数是.

14.关于x的一元二次方程（,〃-3）x2+x+（m2-9）=0的一个根是0,则，〃的值是.

15.已知。0的半径为5cm,弦4B〃CZ）,AB=8cm,CD=6cm,则AB和CD的距离为.

16.如图，在平面直角坐标中，直线/经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°,过点A（0,

1）作y轴的垂线/于点B,过点与作直线/的垂线交y轴于点Ai，以A/.8A为邻边作。ABAiQ；

过点4作y轴的垂线交直线/于点8|,过点8]作直线/的垂线交y轴于点A2，以A2B1.B\A\

为邻边作。4B]A2c2；…；按此作法继续下去，则3的坐标是.

17.（9分）解方程组

⑴伊5

I2x+3y=-l

⑵（3（x-l）=y+5

]5y-6=3（x+4）,

18.（9分）已知：如图，矩形4BCO中，DE交BC于E,且DE=AD,AF^DE^F.

求证：AB=AF.

19.(10分)如图，在平面直角坐标系中有△A8C,其中A(-3,4),B(-4,2),C(-2,1).把

△ABC绕原点顺时针旋转90。，得到81cl.再把向左平移2个单位，向下平移5

个单位得到△儿&C2.

(1)画出△481。和AA282c2.

(2)直接写出点场、&坐标.

(3)P(a,b)是△ABC的AC边上任意一点，/xABC经旋转平移后P对应的点分别为尸1、P2,

请直接写出点为、P2的坐标.

20.(10分)已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球.

(1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率.

(2)从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰

好颜色不同的概率.

（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球.搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个

球，颜色是一白一黄的概率为多，求袋中有儿个红球被换成了黄球.

21.（12分）2018年我市的脐橙喜获丰收，脐橙一上市，水果店的陈老板用2400元购进一批脐橙,

很快售完；陈老板又用6000元购进第二批脐橙，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每

件多了20元.

（1）第一批脐橙每件进价多少元?

（2）陈老板以每件120元的价格销售第二批脐橙，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销,

要使第二批脐橙的销售总利润不少于480元，剩余的脐橙每件售价最低打几折？（利润=售价-

进价）

22.（12分）如图，RtaABC中，NABC=90°,以4B为直径的。。交AC边于点O,E是边BC

的中点，连接。£OD,

（1）求证：直线。E是。。的切线；

（2）连接OC交OE于尸，若OF=FC,试判断△ABC的形状，并说明理由;

（3）若祟M，BE=3J9-求。。的半径.

DC2V"

23.（12分）已知反比例函数>=更至的图象的一支位于第一象限，点4（xi，yi）,B（汹，9）

X

都在该函数的图象上.

（1），〃的取值范围是,函数图象的另一支位于第一象限，若X|>X2,则点8在

第象限；

（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点C与点A关于x轴

对称，若△OAC的面积为6,求机的值.

y

24.(14分)如图：4。是正△ABC的高，。是AD上一点，。。经过点。，分别交AB、AC于E、

F

(1)求NEZ邛的度数；

(2)若4。=6«,求△△£厂的周长；

(3)设EF、AD相较于N,若AE=3,EF=1,求£W的长.

25.(14分)如图1,抛物线丫=62+瓜+3交x轴于点A(-1,0)和点B(3,0).

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；

(2)如图2,该抛物线与y轴交于点C,顶点为凡点。(2,3)在该抛物线上.

①求四边形ACF。的面积；

②点尸是线段AB上的动点(点P不与点A、B重合)，过点尸作PQLx轴交该抛物线于点Q,

连接AQ、DQ,当△AQ。是直角三角形时，求出所有满足条件的点。的坐标.

图1

图2

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.【分析】利用平方根定义计算即可得到结果.

【解答】解：：（±3）2=%

，9的平方根是±3,

故选：A.

【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键.

2.【分析】分别根据合并同类项、同底数幕的乘法法则及幕的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐

一判断即可.

【解答】解：A、3a3与2.2不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、24+4=3底，故本选项正确；

C、故本选项错误；

D、（"2）3=。3M，故本选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查的是二次根式的加减法，即二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次

根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.

3.【分析】根据不等式组解集在数轴上的表示方法可知，不等式组的解集是指它们的公共部分，即

-1及其右边的部分.

【解答】解：两个不等式的解集的公共部分是：-1及其右边的部分.即大于等于-1的数组成

的集合.

故选：A.

【点评】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来

（>,，向右画；<,W向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示

解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示

解集时“》”，“W”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示.

4.【分析】先过E作EG〃AB,根据平行线的性质即可得到NA8E+NBE£»+N8E=360°,再根

®DEVBE,BF,。尸分别为NA8E,NCQE的角平分线，即可得出NFBE+NF£>E=135°,最

后根据四边形内角和进行计算即可.

【解答】解：如图所示，过E作EG〃AB,

A

G—

CD

'：AB//CD,

：.EG//CD,

：.ZABE+ZBEG=18O<,,ZCDE+ZDEG=lSOa,

AZABE+ZBED+ZCDE=360°,

又•：DELBE,BF,。尸分别为/ABE,/CDE的角平分线，

；.NFBE+NFDE=L(NABE+NCDE)=—(360°-90°)=135°,

22

二四边形BEQF中，ZBFD=3600-NFBE-NFDE-NBED=360°-135°-90°=135°.

故选：D.

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，

同旁内角互补.解决问题的关键是作平行线.

5.【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案.

【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故。符合题意,

故选：D.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图.

6.【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以

不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)

为中位数.

【解答】解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23,

所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，

故选：D.

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概

念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后

再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数

个则找中间两个数的平均数.

7.【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场.等量关系为:

队的个数X(队的个数-1)=30,把相关数值代入即可.

【解答】解：设邀请x个球队参加比赛，

根据题意可列方程为：x(x-1)=30.

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数

的等量关系.

8.【分析】在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°,2D=CD=100米，再在RtZ\AC£>中

求出4。的长，据此即可求出AB的长.

【解答】解：•••在热气球C处测得地面B点的俯角分别为45°,

.•.BQ=CQ=100米，

;在热气球C处测得地面4点的俯角分别为30°,

，AC=2X100=200米，

20()2-1002=ioo«米,

.•.4B=A£)+BO=100+100^=100(1+73)米，

故选：D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三

角形并解直角三角形.

9.【分析】过点B'作夕DLOC,因为NCPB=60°,CB'=OC=Q4=4,所以N8'CO=30°,

B'D=2,根据勾股定理得Z)C=2«,故。。=4-2«,即B'点的坐标为(2,4-2退).

【解答】解：过点夕作8'DA.OC

'：ZCPB=60°,CB'=OC=OA=4

：.ZB'C£>=30°,B'D=2

根据勾股定理得DC=2M

：.O£>=4-2«,即8'点的坐标为(2,4-2«)

故选：C.

【点评】主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长

度，灵活运用勾股定理.

10.【分析】连接OE、OF,由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF,并且可求出

。。的半径为0.5“，贝IJ-0.54=0.5a,再由切割线定理可得BF2=B，・BG,利用方程即可

求出84,然后又因。E〃。&OE=OH,利用相似三角形的性质即可求出最终由CO

=BC+BD,即可求出答案.

【解答】解：；ZVIBC是等腰直角三角形，AC=BC=a,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与

AC、BC相切于点E、F,与A8分别相交于点G、H,且EH的延长线与CB的延长线交于点力

连接OE、OF,由切线的性质可得OE=O尸=。。的半径，NOEC=NOFC=NC=90°

；.OECF是正方形

:由AABC的面积可知LXACXBC=LXACXOE+LXBCXOF

222

OE^OF=—a^EC=CF,BF=BC-CF=0.5a,GH=2OE=a

2

由切割线定理可得BI^=BH,BG

：.^a1=BH(BH+a)

；.BH=Tya或BH="ISa(舍去)

'：OE//DB,OE=OH

:.△OEHsXBDH

.0EBD

:.BH=BD,CD=BC+BD^a+-'^^--1+a^

2a2a

故选：B.

【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题.

填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

11.【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，乘积是1的两数互为倒数可得

答案.

【解答】解：-色的绝对值是俱，倒数是-与，

556

故答案为：】《"；■昌.

56

【点评】此题主要考查了倒数和绝对值，关键是掌握倒数定义和绝对值定义.

12.【分析】根据二次根式有意义的条件可得，〃+120,根据分式有意义的条件可得，1W0,再解

即可.

【解答】解：由题意得：机+120,且根-1#0,

解得：，心-1,且

故答案为：机2-1,且，“W1.

【点评】此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：分式有意义，分母不为0;

二次根式的被开方数是非负数.

13.【分析】先根据旋转的性质得NAOC=48。。=40°,OA=OC,则根据等腰三角形的性质和

三角形内角和定理可计算出NA=*(180°-NA)=70°

【解答】解：•••△CO。是△AOB绕点。顺时针方向旋转40。后所得的图形，点C恰好在AB上,

；./AOC=NBOO=40°,OA=OC,

■：OA=OC,

：.ZA=ZOCA,

：.ZA=—(180°-40°)=70°,

2

故答案为：70。.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的

夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

14.【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的

值.即把0代入方程求解可得，"的值.

【解答】解：把x=0代入方程（机-3）x2+x+（-9）=0,

得加2-9=0,

解得：m—+3,

m-3#0,

".m=-3,

故答案是：-3.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解，注意方程有意义，其二次项系数不能为0.

15.【分析】根据题意画出图形，由于AB、CQ的位置不能确定，故应分A8与C。在圆心。的同

侧及AB与C£＞在圆心。的异侧两种情况讨论，如图（一），当A3、CD在圆心。的同侧时，连

接04、OC,过。作于E,交AB于F,根据垂径定理及勾股定理可求出。尸及OE的

长，再用。E-。尸即可求出答案；

如图（二），当AB、C。在圆心。的异侧时，连接。4、OC,过。作。及LCO于E,交AB于F,

根据垂径定理及勾股定理可求出OF及OE的长，再用OE+OF即可求出答案.

【解答】解：如图所示，

如图（一），当AB、C。在圆心O的同侧时，连接。4、OC,过。作。EJ_C。于E,交AB于F,

•：AB//CD,

：.OELAB,

AB=8cm,CD=6cm,

.,.AF—4cm,CE—3cm,

OA—OC=5cm,

°《=阮豆？=V?彳=4。

同理，OF=YOA2-AF2=452-42=3C〃7,

：.EF=OE-OF=4-3=\cm；

如图（二），当AB、CD在圆心。的异侧时，连接。4、OC,过。作OELCO于E,反向延长

OE交AB于F,

'：AB//CD,

J.OELAB,

\'AB=8cm,CD—6cm,

/.AF=4cm,CE=3cm,

/.OA=OC=5cm,

；•0£=VOC2-CE2=V52-32==4CW>

同理，0F=TUK2-研2=如2-42=3cm,

/.EF=OE+OF=4+3=1cm.

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解.

16.【分析】先求出直线/的解析式为y=®,设B点坐标为（x,1）,根据直线/经过点B,求

3

出8点坐标为（«,1）,解RtaAiAB,得出A4|=3,。4=4,由平行四边形的性质得出A|Q

=AB=M，则CI点的坐标为（-«,4）,即（-«X4。，4'）；根据直线/经过点B”求出

场点坐标为（4«,4）,解RtZXAzABi，得出4也=12,042=16,由平行四边形的性质得出

A2c2=AIB[=4/々，则C2点的坐标为（-4/5，16）,即（-J5x4i,42）；同理，可得C3点

的坐标为（-16&,64）,即（-«X42,43）；进而得出规律，求得G的坐标是（-«X4"

4"）.

【解答】解：♦.•直线/经过原点，且与），轴正半轴所夹的锐角为60°,

二直线/的解析式为），=返工.

3

•.•ABLy轴，点A（0,1）,

可设8点坐标为（尤，1）,

将B（尤，1）代入

3

得1=哼心解得X=«,

点坐标为（«,1）,AB=M.

在Rt^dAB中，/A4]B=90°-60°=30°,NA]AB=90°,

点坐标为(473-4),4B]=4«.

在RtZ\A248|中，ZAIA2B|=30°,ZA2A|BI=90°,

'.AiA2=y[3A\B\=12,0A2=OAI+A[A2=4+12=16,

142c2中，A2c2=4由1=4加，

，C2点的坐标为(-4«,16),即(-42)；

同理，可得C3点的坐标为(-16,64),即(-X42,43)；

以此类推，则G的坐标是(-X4"1,4").

故答案为(-X4"-i,4").

【点评】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形以及一次函数的综合应用，先分别求出

G、C2、C3点的坐标，从而发现规律是解题的关键.

三.解答题（共9小题，满分102分）

17.【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；

（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可.

【解答】解：（1）,

②-①得：8y=-8,

解得：y=-1,

把y=-1代入①得：x=l,

则方程组的解为

①-②得：4y=26,

解得：y—

把尸代入①得：x=

则方程组的解为

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减

消元法.

18.【分析】根据已知及矩形的性质利用A45判定△4。尸也从而得到AF=DC,因为DC

=4B,所以AF=A8.

【解答】证明：•.•AFLQE.

二NAFE=90°.

;在矩形48co中，AO〃8C,ZC=90°.

；.NADF=NDEC.

...N4FE=NC=90°.

'：AD=DE.

：./\ADF^/\DEC.

：.AF^DC.

'：DC=AB.

：.AF=AB.

【点评】此题考查学生对矩形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用.

19.【分析】(1)根据△A8C绕原点顺时针旋转90°,得到△AiSC”△A/iG向左平移2个单

位，再向下平移5个单位得到△A2&C2.

(2)根据图形得出对应点的坐标即可；

(3)根据旋转和平移后的点P的位置，即可得出点尸1、匕的坐标.

【解答】解：(1)如图所示，△AiBiG和282c2即为所求：

DF=DF

DE=DC

（2）点81坐标为（2,4）、B2坐标为（0,-1）；

（3）由题意知点尸।坐标为（b,-a）,点尸2的坐标为（b-2,-a-5）.

【点评】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，解题时注意：确定平移后图形的

基本要素有两个：平移方向、平移距离.决定旋转后图形位置的因素为：旋转角度、旋转方向、

旋转中心.

20.【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；

（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得;

（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为列出关于x的方程，解之可得.

【解答】解：（1）：袋中共有7个小球，其中红球有5个，

从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；

（2）列表如下:

白白红红红红红

白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）

白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）

红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）

由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果,

两次摸出的球恰好颜色不同的概率为

（3）设有x个红球被换成了黄球.

根据题意，得：，

解得：x=3,

即袋中有3个红球被换成了黄球.

【点评】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

21.【分析】（1）设第一批脐橙每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+20）元，再根据等量关

系：第二批脐橙所购件数是第一批的2倍；

（2）设剩余的脐橙每件售价打y折，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于640

元，可列不等式求解.

【解答】解：（1）设第一批脐橙每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+20）元，

根据题意，得：X2=,

解得x=80.

经检验，x=80是原方程的解且符合题意.

答：第一批脐橙每件进价为80元.

（2）设剩余的脐橙每件售价打y折，

根据题意，得：（120-100）XX60%+（120X-100）XX（1-60%）>480,

解得：y27.5.

答：剩余的脐橙每件售价最少打7.5折.

【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，

根据利润作为不等关系列出不等式求解.

22,【分析】(1)求出/COB=90°,推出。E=BE,得到］NEDB=/EBD,NODB=NOBD,推

出NOQE=90°即可；

(2)连接0E,证正方形QE30,推出03=8E,推出NEOB=45°,根据平行线的性质推出NA

=45°即可；

(3)设4£>=x,CD=2x,证△CDBs^CBA,得到比例式，代入求出4B即可.

【解答】解：如右图所示，连接BD,

(1)...AB是直径，

AZADB=90°,

是AB的中点，

：.OA=OB=OD,

：.NOAD=AODA,ZODB=NOBD,

同理在RtZSBOC中，E是BC的中点，

:./EDB=/EBD,

'：Z0AD+ZABD=9(ia,/A8r>+NC8O=90°,

：.ZOAD=ZCBD,

：.ZODA=ZEBD,

又•.•/OZM+/OOB=90°,

；.NEBD+NODB=90°,

即/0£>E=90°,

.••OE是。。的切线.

(2)答：△ABC的形状是等腰直角三角形.

理由是：F分别是BC、0C的中点，

...EF是三角形OBC的中位线，

J.EF//AB,

DE1BC,

OB=OD,四边形08ED是正方形，

连接0E,

0E是AABC的中位线，OE〃AC,

NA=NEOB=45度，

(3)设CD=2x,

・.・NCQB=NCBA=90°,ZC=ZC,

AACOB^ACBA,

••一•，

•••________—_，

x=2,

AC=6,

由勾股定理得：48==6,

二圆的半径是3.

答：。。的半径是3.

【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，切线的判定，相似三角形的性质和判定，平

行线的性质，等腰直角三角形，三角形的内角和定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正

方形的性质和判定的连接和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.

23.【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线.当k>0时，则图象在一、三象限，且双曲线

是关于原点对称的；

（2）由对称性得到△OAC的面积为5.设A（小），则利用三角形的面积公式得到关于“

的方程，借助于方程来求用的值.

【解答】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限,

且，则，">3；

V0A2+0B2=^^-ID2+m2=y-ni

故答案是：m>3,二；

(2)•・•点A在第一象限，且与点C关于x轴对称

；.ACJ_x轴，AC=2y=2X,

S^OAC=AC*x=X2X,x=m-3,

•.♦△OAC的面积为6,

m-3=6,

解得m—9.

【点评】本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点.根据

题意得到△OAC的面积是解题的关键.

24.【分析】(1)如图1中，作O/LAB于/,OJLAC于J,连接OE,OF.想办法求出/E0尸的

度数即可解决问题；

(2)如图1中，作OUAB于/,Q/LAC于J,连接OE,OF.利用全等三角形的性质证明EK

=EM,FM=FL,即可推出△AEF的周长=2AL.即可解决问题；

(3)如图3中，作FP_L4B于P,作EM_LAC于M,作NQ_LAB于Q,OL_L4C于L.想办法求

出AQ,AN即可解决问题；

【解答】解：(1)如图1中，作O/LAB于/,OJL4c于J,连接OE,OF.

是正△A8C的高，

/.ZBAC=60°,40平分/BAC,

.../54。=/。。=30°,

：0/_LA8于/,OJ_L4c于J,

AZAIO=ZAJO=90°,

；.//。/=360°-90°-90°=60°=120°,01=OJ,

"：OE=OF,

12

T

RtAOlE^△RtAOJF(HL),

：.Z10E=ZJOFf

：./EOF=NEOJ+/FOJ=/EOJ+/IOE=ZIOJ=120°,

・・・ZEDF=NE。/=60。.

(2)如图1中，作。于K,OLLAC于3OMd_E/于M,连接/G.

•••△ABC是等边三角形，ADLBC,

：.ZB=60°,BD=CD,

VZEDF=60°,

：.ZEDF=ZB,

VNEDC=NEDF+NCDF=NB+NBED,

:・NBED=/CDF,

•「GO是圆。的直径，

AZADC=90°,NGFD=90°,

：.ZFGD+ZFDG=90°,ZFDC+ZFDG=90°,

・・・/FDC=4FGD=/DEF,

■:DK工EB,DMLEF,

：.ZEKD=ZEMD=90°,DK=DM,

.•.RtADEAT^RtADEM(HL),

:.：.EK=EM,

同法可证：DK=DL,

:・DM=CL,

VDM1FE,DLLFC,

:・/FMD=/FLD=90°,

\'AD=ADfDK=DF,

：.Rl/\ADK^Rt/\ADL(HL),

：.AK=AL,

：.AAEF^^^Z=AE+EF+AF=AE+EK+AF+FL=2AL9

,.,A£>=6,

：.AL=AD-cos30°=9,

・•・ZiAE尸的周长=18.

(3)如图3中,作尸尸_LA3于P,作£M_LAC于M,作NQ_LAB于Q,DL±AC^L.

在RlZXAEM中，9：AE=3,NE4M=60。,

：.AM=AE=,EM=,

在RlZkEFM中，EF==

：.AF=AM+MF=Sf

•?/XAEF的周长=18,

由(2)可知2AL=18,

.\AJ=9fAD==6,

：.AP=AF=4,FP=4,

■:NQ//FP,

,:AEONSAEPF,

•••_—_―，

9：ZBAD=30°,

:*AN=2NQ=,

:.DN=AD-AN=.

【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性

质，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关犍是学会添加

常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

25.【分析】(1)由A、8两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；

(2)①连接CD,则可知C£>〃x轴，由A、尸的坐标可知F、A到。的距离，利用三角形面积

公式可求得△AC。和的面积，则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可

能是直角，则有/4。。=90°或NAQD=90°,当/AOQ=90°时，可先求得直线解析式，

则可求出直线OQ解析式，联立直线。。和抛物线解析式则可求得。点坐标；当/AQ£>=90°时,

设QC,-3+2/+3),设直线A。的解析式为尸&武+田，则可用t表示出1,设直线。。解析

式为y=%2x+比，同理可表示出心，由AQJ_QQ则可得到关于，的方程，可求得，的值，即可求得

Q点坐标.

【解答】解：

(1)由题意可得，解得，

.•.抛物线解析式为y=-『+2x+3；

(2)①：产-X2+2X+3--(x-1)2+4,

：.F(1,4),

VC(0,3),D(2,3),

：.CD=2,且CD〃x轴，

VA(-1,0),

*,•Ka®ACFD=S^ACD+S^FCD=X2X3+X2X(4-3)=4；

②•点尸在线段AB上，

.../QAQ不可能为直角，

...当△A。。为直角三角形时，有/ACQ=90°或/AQO=90°,

...可设直线DQ解析式为y=-x+b',

把。（2,3）代入可求得，=5,

直线QQ解析式为y=-x+5,

联立直线DQ和抛物线解析式可得,解得或

：.Q（1,4）；

ii.当NAQO=90°时，设。（3-户+2什3）,

设直线AQ的解析式为y—k\x+b\,

把A、Q坐标代入可得，解得用=-G-3）,

设直线DQ解析式为y=k2x+b2,同理可求得后=-3

'：AQ±DQ,

.'.k\k2=-1,即=-1,解得t=,

当―时，-於+2/+3=,

当1=时，-P+2/+3=,

.♦.Q点坐标为（，）或（，）；

综上可知。点坐标为（1,4）或（，）或（，）.

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角

三角形的性质及分类讨论思想等知识.在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四

边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键.本题考查知识点较多，综

合性较强，难度适中.

2021年中考数学二模试卷

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.〃的倒数是3,则“的值是（）

iA-1B.C.3D.-3

2.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作,根据规划“一带一路”地区覆

盖总人口44亿，这个数用科学记数法表示为（）

A.44X108B.4.4X109C.4.4X108D.4.4X1O10

3.如图，AB是。。的直径，于点E,若CO=6,则DE=)

A.3B.4C.5D.6

时，若要求消去y,则应（)

A.①X3+②X2B.①X3-②X2C.①X5+②X3D.①X5-②X3

5.如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“生”相对应的面

上的汉字是（）

生

活中的数

学

A.数B.学C.活D.的

6.从多边形一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为

（）

A.6B.7C.8D.9

7.下列调查中，适合采用全面调查（普查）方式的是（）

A.对长江水质情况的调查

B.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查

C.对某班40名同学体重情况的调查

D.对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查

8.有.8个数的平均数是11,另外有12个数的平均数是12,这20个数的平均数是（）

A.11.6B.2.32C.23.2D.11.5

9.在-1,1,-3,3四个数中，最小的数是（）

A.-1B.1C.-3D.3

10.如图，NBAC内有一点P,直线乙过P与AB平行且交AC于E点.今欲在NA4C的两边上各

找一点。、R，使得P为。R的中点，以下是甲、乙两人的作法：

（甲）①过P作平行AC的直线心，交直线AB于F点，并连接EF.

②过尸作平行EF的直线乙2,分别交两直线A&AC于Q、R两点,则Q、R即为所求.

（乙）①在直线AC上另取一点R,使得AE=ER.

②作直线尸凡交直线A8于。点，则Q、R即为所求.

A.两人皆正确B.两人皆错误

C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.因式分解：m3n-9mn=.

12.我们用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一条摇晃的凳子的数学原理是利用三角形

的.

□L

2c

月』分式的值为0,则a的值是_______.

a+3

14.如图，在3X3的方格中（共有9个小格），每个小方格都是边长为1的正方形，0、3、C是

格点，则扇形OBC的面积等于（结果保留n）

15.已知直线，=依(AWO)经过点(12,-5),将直线向上平移，"(m>0)个单位，若平移后得

到的直线与半径为6的。。相交(点。为坐标原点)，则的取值范围为.

三.解答题(共3小题，满分21分，每小题7分)

16.计算：(6X4-8X3)-?(-2/)-(3x+2)(1-%).

争《总哪些整数值时，不等式x+2与4-7x<-3都成立？

18.如图，将平行四边形ABCD向左平移2个单位长度，然后再向上平移3个单位长度，可以得到

平行四边形A，B'CD',画出平移后的图形，并指出其各个顶点的坐标.

四.解答题(共2小题，满分14分，每小题7分)

19.某校计划组织学生到市影剧院观看大型感恩歌舞剧，为了解学生如何去影剧院的问题，学校随

机抽取部分学生进行调查，并将调查结果制成了表格、条形统计图和扇形统计图(均不完整).

(1)此次共调查了多少位学生？

(2)将表格填充完整；

步行骑自行车坐公共汽车其他

50

(3)将条形统计图补充完整.

20.已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球.

(1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率.

(2)从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰

好颜色不同的概率.

2(3)若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球.搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个

7

球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球.

五.解答题(共3小题，满分24分，每小题8分)

21.如图，已知矩形A8CD中，尸是8C上一点，且4尸=8C,DELAF,垂足是E,连接。F.求证:

(1)/\ABF^/\DEAi

22.某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70

件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件.据此规律，请回答：

(1)当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？

(2)在商品销售正常的情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利最大？最大利润是多

少？

23.如图，已知等边△ABC,以边8C为直径的半圆与边AB,AC分别交于点。，点E,过点。作

DFVAC,垂足为点凡

(1)判断。尸与。。的位置关系，并证明你的结论；

(2)过点P作垂足为点H.若等边aAB