2021学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系讲末复习学案新人教A版选修41

..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。PAGEPAGE10第二讲直线与圆的位置关系讲末复习1.圆周角定理1推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.2.圆内接四边形的性质与判定(1)圆内接四边形的性质定理1圆内接四边形对角互补.定理2圆内接四边形的外角等于它的内对角.(2)圆内接四边形的判定定理如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.推论1如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于圆.23.圆的切线的性质与判定(1)圆的切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.推论1经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.推论2经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.(2)圆的切线的判定定理经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长相等.4.弦切角(1)弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角.弦切角必须具备三个条件：①顶点在圆上，②一边是圆的切线，③一边是过切点的弦.三者缺一不可.(2)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角，其度数等于它所夹的弧的度数的一半.5.圆幂定理推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项...下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。44题型一分类讨论思想应用分类讨论的思想方法解题的一般步骤是：(1)确定讨论的对象以及被讨论对象的全域；(2)合理分类，统一标准，不重不漏；逐段逐类讨论，分级进展；3例1：⊙O的直径cm，过A点的两条弦2cm，求∠CAD所夹圆内局部的面积3解符合条件的圆有两种情况：(1)圆心O在∠CADO∵OA

1 ＝1，＝，∴AE ＝1，＝，∴

OE1＝，2 2 2＝，∴∠OAE＝30°，∴∠BOD＝60°.∴S＝S＋S ＋S＋S△AOC

扇形BOC

△AOD

扇形BOD1 1 1 160π 1π 3π2＋35π＝×1×1＋π×12＋×3×＋ ×12＝＋＋ ＋＝ ＋ (cm2).2 4 2 2 360 2 4 4 6 4 121π 3π2－3π(2)圆心O在∠DAC外部时，如(2)，有＋S －S－S － ＝ (cm2).△AOC

扇形BOC

△AOD

扇形BOD

2 4 4 6 4 122＋35π 2－3π∴∠CAD所夹圆的局部的面积

＋12cm2

＋cm2.12D两点与直径AB、AD在直径AB1⊙O与⊙O相交于的半径r＝5，⊙O的半径rOO

的长.1 2 1 1 2 2 12解①假设O，OAB(1O

垂直平分AB，1 2 12∴A3，O＝O2－A＝4，1 1O＝O2－A＝7，2 2∴OO＝O7.12 1 2②假设O，OAB(2)所示)，易得OO＝4－7.综上可知O

4＋74－7.1 2 12 12题型二化归思想化归思想又称转化思想，是把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或易解2如下图，在△中，AD为∠BAC2如下图，在△中，AD为∠BAC的平分线，以C为半径的半圆交BC延长线于点，交AD于点，交AE于点(3)如果ABC(1)证明∵∠∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，又∠BAD＝∠DAC，∠B＝∠CAE，DE是半圆的直径，∴∠DFE＝90°，∴AF＝DF...下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。66(2)解如下图，过A作(2)解如下图，过A作设在△ADE∴AE＝5x，AF＝DF＝3x.1 1∵S＝△ADE 2 2AG6x·4x24∴＝DE＝5x＝5x.24AG5x2425∴sin∠AED＝AE＝5x＝.25(3)解∵∠B＝∠CAE，∠AEC＝∠BEA，∴A＝EE，∴BE

A2 252 x＝EC＝5x2

＝10.∴BD＝5x，∴5x＝10，∴x＝2.AG24 48从而 ＝55.1 1x5 24∴S＝5＋x＝72.△ABC

2

2 5(1)的证明中，把证明的问题转化为证明的问题，进而又转化为(2)的解答中，通过作辅助线，把求sin∠AED的问题转化为求sin∠AEG进而转化为求(3)的解答中，把求S△ABC

的问题转化为求BCAG的问题，如此等等，每一步都表达着转化与化归的思想方法.2如图，在△和△ACD2如图，在△和△ACD是以AB的延长线与AB的延长线交于点假设2BC的长.(1)证明∵AB是⊙OC在⊙(1)证明∵AB是⊙OC在⊙O上.∵OC为半径，∴DC是⊙O(2)解∵DC是⊙O的切线，∴E＝E·E.2，∴EA＝12，∴AB＝6.又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB∽△EAC，BCEC

∴AC＝EA＝2，即又∵A2＋B2＝A2＝3B2题型三函数方程思想3如图(1)所示，四边形ABCD1y与腰长x解如图(2)所示，过点O于点，过点D于点，连接重合时，腰长x最大，但此时四边形ABCD<2<2.Rt△OEDRt△AFD中，根据勾股定理，得：..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。882＝＋()，①12＝＋2②①－②得即D＝222.∴＝A＋B＋C＋D＝＋2－＝22＝1＋5.y5.1ABCD5.规律方法解此题的关键是建立周长y与腰长xO为垂足，过点D3如下图，⊙与△ABC的各边分别切于点3如下图，⊙与△ABC的各边分别切于点cm.的长.解∵⊙O与△ABC各边切于点＋7， ＝5，＋8， ＝3.∴AD5cm，BE2cm，CF3题型四数形结合思想4Rt△ABC(1)求△ABC内切圆的半径；(2)假设移动圆心O保持与△ABC的边①求半径r的取值范围；②当⊙O

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cmO解析(1)如图①，在R△ABC＝9°，A＝3c，B4cmA＝A2B2＝5cm.设⊙O与△ABC三边分别相切于点连接OD，OE，OF，那么OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.又∵OD＝OE，∠C＝90°，∴四边形CEOD为正方形.r3＋4－5∴内切圆的半径＝ 2 ＝ 2 ＝1cm.(2)①如图②，设与AC，BC相切的最大圆与AC，BC的切点分别为A，D，连接OA，OD，那么四边形AODC为正方形，∴OA＝AC＝3cm.∴半径rcm.②如图③，当圆心OAB与分别切于点，连接OECD为正方形，∴OE＝CE＝r.∵OE⊥AC，BC⊥AC，∴BC∥OE.OEAE r

r12即＝ .∴＝cm.4 3 7r12 O C

AB∴当＝7cm规律方法将计算与具体图形相结合是解决问题的关键，通过分析图形的位置关系，得到数量关系.跟踪演练4两圆半径分别为4和2，如果它们有两条互相垂直的公切线，求它们的圆心距.(1OO＝22＋62＝212(2OO＝62＋62＝62.12(3OO＝22＋22＝22.12..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。10102106222.1.(20211.(2021·天津高考)如图，在圆OAB.假设NE)8A.310C.3

5D.2解析设A＝M＝N＝C·MA·M×22＝CNNA.∴N＝2×4，∴NE8＝.3答案A3.(2021·是圆的割线，且AB.2.(2021·重庆高考)如图，圆O3.(2021·是圆的割线，且AB.2.(2021·重庆高考)如图，圆O的弦相交于点，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点假设那么.解析由切割线定理，知P2＝P·P，即2P，解得P＝1，所以CPP＝，解析由切割线定理知P＝PPB＝PP＝2PPA＝ACAP＝∠BP，所以△PAB∽△PCA

ABPA12.所以AC＝PC＝.214.(2021·4.(2021·O是圆O的切线，切点为圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点那么.解析如下图，连接O为AB线段的中点，所以O＝B＝.在R△OCDO＝AO＝OO，111222

O2 22＝OP＝1＝88.2答案85.(2021·湖南高考)如图，在半径为7的⊙O中，弦5.(2021·湖南高考)如图，在半径为7的⊙O中，弦相交于点那么圆心O到弦CD的距离.解析由相交弦定理得AP·PB＝DP·PC，从而PC＝AP·PBDP＝4，所以DC＝5，所以圆心O到弦22CD

〔7〕2＝ .3答案 26.(2021·是⊙O半径等.3，BC＝22，的解析如图，设的交点为，由可得DBC的中点，那么在直角三角形ABD6.(2021·是⊙O半径等.3，BC＝22，的解析如图，设的交点为，由可得DBC的中点，那么在直角三角形ABDr3－1，解得＝.23答案27.(2021·AB是圆O的直径，点COBC到点DC作圆O的切线交AD于点假设那么.＝90°.易知7.(2021·AB是圆O的直径，点COBC到点DC作圆O的切线交AD于点假设那么.8.(2021·8.(2021·C作△ABC的外接圆的切线与外接圆交于点那么DE的长.解析由题意得60°＝10353，B＝1C2＝D·B，那么D＝5.答案5..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。12129.(2021·天津高如图为圆的内接三角形为圆的弦，且过点A作圆的切线与DB的延长线交于点与BC交于点假设9.(2021·天津高如图为圆的内接三角形为圆的弦，且过点A作圆的切线与DB的延长线交于点与BC交于点假设那么线段CF的长.＝4.又∠BAE＝∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥BC.又AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形，所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4.又由题意可得△CAF∽△CBA

CA

C2 168CF3，所所以 ＝CB＝6＝.38答案310.(2021·AB10.(2021·AB切⊙O于点，直线AO交⊙O垂足为假设2，求⊙O(1)证明因为DE为⊙O直径，那么∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，AB切⊙O于点(2)解析由(1BDBAAD那么BC＝CD＝3，22.所以A＝A2－B＝4，所以由切割线定理得A＝AA，A2AD＝6，3.11.′相交于两点，过A作两圆的切线分别交两圆于两点，连结DB于证明(1AC′相切于ACAB从而AD＝BD，即AC·BD＝AD·AB.由AD与⊙O相切于AEAD从而AB＝BD，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论，AC＝AE.12.(2021·是⊙O是⊙O于点12.(2021·是⊙O是⊙O于点(1)假设DAC是⊙O的切线；(2)假设ACB故∠DEC＝∠DCE.连接OE，那么∠OBE＝∠OEB.是⊙O..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。解设由得A＝23，B＝A2＝C·B，13.(2021·是圆OCD延长线上一点，13.(20