高数复习答案级数参

级 级数un收敛的必要条件：级数un收敛limun

注：如limun0级数un发散

x几何级数axn公

x1 1

pnP-级数n

pP交错级 1n

0PPlnnlnn1

特别当0lnn常用初等函数的幂级数展开式（x幂级数1

tn1tt2...tn

1

1

1ntn1tt2tn...1ntn

1

1 1

ln1tn1t2

t... n

1t n

1 1

nln1t

t n

t...3

n

1t

1 1 tnen!1t

t...

t t

1 1

sint12n1!t3!t

... 2n1

t nt

1 1

ntcost12n!12!t

... 2n

t收敛半径的求法:设u为幂级数的一般项,求 n若若

0,R,,R0,xR与收敛区间R,R

1,

xR,31、级数n32【解sx

132、若级数n2p3收敛，则p的取值范围1 12

2

n32p，因为级数

收敛，故32p1p

4n2n24n2n2(3an4n4n21n2n

收敛，则limann4n24n2n24141lim3an 03liman 0limann

2n22n23n2（1）2n23n22n23n2n23n22n23n2

0， 232232n23n2级数 发散 3nn2 （2） n2 n1

3 n23n27n7

为公比q 1的几何级数，收7

3n

n1 故由级数的性质 n1 （3）

1n

1n221

n1（4）

1n 3n113n3n113n1）

， ，3n3n 31为p31的p级数，故发散 1发散，由比较3n1n3

3n3n12）

1n 为交错级数，且limu3n3n1n

03n3n u 3n33n3n 判别法

1n 收敛，故原级数收敛且为条件收敛。33n1n5、若级数axn在x3处收敛，则此级数在x2的敛散性 绝对收n若级数axn在x3处发散，则此级数在x4的敛散性 发nn6、若级数

x2n在x1处收敛，则在x3敛散性 绝对收若级数

x2n在x2处发散，则在x4敛散性 发 1nbb、设limbnbb

n1

n1 1 1 1 1）Snb

b...b

b 2

3

n1

1 1limSn 由级数收敛的定义： 收敛，其和1。

n

bn1

n1

bn11 n（1）2n3n1）u

n

，设v

1 2n3n

n

2）limun

2n3n

2n2n

1n

n2n3n 级数

n 与

1

具有相同的敛散性，而级数

1

1n12n3n

n12

n12

2n1 n收敛，故2n3n3 （2）enn1 1）unen1，设vn 2）lim

en

1n

n

级数en1与 具有相同的敛散性，而级数 n1

n1

n1

n1 发散，故en1n1 （3）ln13 n4

ln13，设v n4

u

n42）limnlim 1n 级数

ln13与

33 n4

收敛，故ln13 n4 n（4）n

31）unn2nun1n12n1n123332）limun1

n12

1n

n2n n n级数 nn（5）

2nn!

2n

2n1n 22nn1 22n【解：1）un

，un1

n

n1n

nnn22n n

2）limn1

n

n

nn

nn

n

1n由正项级数的比值判别法：级数

2nn!

nnnan2、判断下列级数的敛散性，若收敛。是绝对收敛还是条件收敛（1）

1n1）

1nn

n

n;

n1n

n

n limn1

1，故 收n

n

n1

1nn（2）

1n1 2n32n2n32n

3【解：1） ，而 1，

2n

2n 2n 1p21p级数，故发散31n1n

n2n2n12）

1n1 为交错级数，且limu2n2nn

lim 0；2n2n32n32n32n32n12n2n 判别法

1n1 收敛，故原级数收敛且为条件收敛。3、求下列幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛 n（1）n

xx【解1）设unxn3nx

un1xn13n1n13lim

x n

n3n 3nxn13nx3nxn13nn n

3）x3n3n3）x3n3nn nx3n3nn3n

发散，故收敛域为3,3

（2）1）设

xnx

x;n

x

xn

x

nn

nx1

x2

x2

nxn

n

nn1x213x1R1，收敛区间为3 x

3

x3时，

x1

xn31 （3）2n1【解1）设unx2n12nl

2 2333x 32x 收敛半径为R ，收敛区间为32,32333x32

n11 2n 收33x 时

32 n12n1 2n 故收敛域为3232

2n1发4（1）

n1）设unx

n; n1xn1x 2n1n2n1lim

xxn

n2nx11x1收敛区间为 x1

1 x1

2n

2n1

收敛，故收敛域为1,1

n

nx2n 2、令Sx

Sx n1

2n

xx3x5...

x1xSxdxxxdxSxx1x d1x21ln1x2x 01 201 2SxS01ln1x2ln10222Sx1ln1x2，2

注：因为Sx

n

2

4

6

...S0（2）

2nn11

2,2

x

22Sxn2

0Sxdx

n dx x2x4x6

2

xx x0Sxx

2x2

Sx

2

2

x

2,2 （3）n3n，并求n3n

xn

2Sxn3nSxn3n

1

xx2

n1 1

13

3xSxdx dxSxx d3xln3x 03 03 SxS0ln3xln30Sx

，

x3333n3、 nS2n

x2ln Sxn3n3232333S05x（1）fxlna a1）fxlnaxlna1xlnaln1x a a 2）

2

3

tn1

ln1

n x

n

a x n a

1 a

n

n11x1axa 3）fxlnaxlna1n1an1，axfxcos21）fxcos2xcos2x111cos nt

1 1

nt2）cost12n!12!t

... 2n

tcos2x

2x2n

22n2xx 1

n22n n22n1fx

x

2x

fx

3【解：1）fx

1

3132）1

1ntn1tt2tn...1ntn

11

nx

3n 3

x31 x3 3

13x3 33）11

nxnn

， ffx

3

3

1 1 tn1）

n!1t

t...

t2xn

2n2）fxe2x ，2xx n06fxsinx展开成x

33

1）sinxsin3x3sin3cosx3cos3sinx3 3cosx1sinx 3 3 t

1 1

2）sint12n1!t3!t

... 2n1 nt

1 1

ntcost12n!12!t

... 2n

tx

x

sinx 1n 3

cosx 1n 3 3

2n

3

xx

3x3

1

x

fxsinx

1n 3

1n 3 2

2

2n1n

3 x3 x

xx

x

22n! 22n 3 将函数fx

x23x

x4 1）fxx23x2x 1 x 2）1

1ntn1