八年级下册数学教案有教学反思(人教版)

二次根式第1课时 二次根式的概念难点)能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？面积为3的正方形的边长为 ，面积为S的正方形的边长为 ．一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为 m.t(单位：s)h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝ ．问题2：上面得到的式子3，S，65， h分别表示什么意义？它们有什么共同特征？5二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；3

13；(5)

1－1；(6)3－x(x≤3)；5 6(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；(10)（a－b）2(ab≥0)．解因为（－7）2，1－1＝ 1，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)5 6 30中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围x的取值范围． 1 3－x(1) ；(2)

(3)x＋5.4－3x x－2 x.04－3x解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜4.当x＜4时4－3x3 3(2)由题意得3－x≥0，解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，3－x有意义；x－2≠0， x－2(3)由题意得x＋5≥0，解得x≥－5且x≠0.当x≥－5且x≠0时，x＋5有意义．x≠0， x方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】利用二次根式的非负性求解(1)a、b满足2a＋8＋|b－3|＝0x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1；x、yy＝x－3＋3－x＋4yx的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根．2a＋8＝0， a＝－4，解：(1)根据题意得 b－3＝0，

解得 b＝3.

则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；(2)根据题意得为±8.

x－3≥0，3－x≥0，

解得x＝3.则y＝4，故yx＝43＝64，±64＝±8，∴yx的平方根方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.－探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．－① 1＋1＋1

1 1＝11；12

1 1＋1 2－② 1＋1＋1－

1 1＝11；22

2 2＋1 6－③ 1＋1＋1－

1 1＝11.32

3 3＋1 12请你根据上面三个等式提供的信息，写出 1＋1＋1的结果；42 52请你按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式(n为正整数)．解析：(1)1，第二个加数是个分数，n＋11，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．－解：(1) 1＋1＋1＝1＋1 1＝11；－42

4 4＋1 20(2) 1＋1 1 1 1(2) 1＋＝1 ＝1 (n为正整数)．n2

n

n（n＋1）三、板书设计二次根式的定义一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.第2课时 二次根式的性质经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点)了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点)一、情境导入a2等于什么？a2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a222＝4＝2；（－2）2＝4＝2；32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；…你能概括一下a2的值吗？二、合作探究探究点一：二次根式的性质a)2＝a进行计算【类型一】利用a2＝|a)2＝a进行计算化简：(1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2.解析：根据二次根式的性质进行计算即可．解：(1)(5)2＝5；(2)52＝5；(3)（－5）2＝5；(4)(－5)2＝5.(a)2＝a(a≥0)的有关应用(a)2＝a(a≥0)的有关应用【类型二】在实数范围内分解因式．(1)a2－13；(2)4a2－5；(3)x4－4x2＋4.解：(1)a2－13＝a2－(13)2＝(a＋13)(a－13)；(2)4a2－5＝(2a)2－(5)2＝(2a＋5)(2a－5)；(3)x4－4x2＋4＝(x2－2)2＝[(x＋2)(x－2)]2＝(x＋2)2(x－2)2.探究点二：二次根式性质的综合应用【类型一】结合数轴利用二次根式的性质求值或化简a，b在数轴上的位置如图所示，化简：（a＋1）2＋2（b－1）2－|a－b|.解析：根据数轴确定a和b的取值范围，进而确定a＋1、b－1和a－b的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解．解：从数轴上a，b的位置关系可知－2＜a＜－1，1＜b＜2，且b＞a，故a＋1＜0，b－1＞0，a－b＜0.原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)＝b－3.【类型二】二次根式的化简与三角形三边关系的综合已知a、b、c是△ABC的三边长，化简（a＋b＋c）2－（b＋c－a）2＋（c－b－a）2.解析：根据三角形的三边关系得出b＋c＞a，b＋a＞c.根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴b＋c＞a，b＋a＞c，∴原式＝|a＋b＋c|－|b＋c－a|＋|c－b－a|＝a＋b＋c－(b＋c－a)＋(b＋a－c)＝a＋b＋c－b－c＋a＋b＋a－c＝3a＋b－c.【类型三】利用分类讨论的思想对二次根式进行化简x为实数时，化简x2－2x＋1＋x2.解析：根据a2＝|a|，结合绝对值的性质，将x的取值范围分段进行讨论解答．解：x2－2x＋1＋x2＝（x－1）2＋x2＝|x－1|＋|x|.x≤0＝1－x＋(－x)＝1－2x0＜x≤1时，x－1≤0，原式＝1－x＋x＝1x＞1时，x－1＞0，原式＝x－1＋x＝2x－1.a2＝|a|a【类型四】二次根式的规律探究性问题细心观察，认真分析下列各式，然后解答问题．(1)2＋1＝2，S1＝1，2(2)2＋1＝3，S2＝2，2(3)2＋1＝4，S3＝3.2n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；OA10的长；123(3)求出S2＋S2＋S2＋…＋S2的值．123n个三角形的一直角边长就是n1，然后利用面积公式可得．解：(1)(n)2＋1＝n＋1，Sn＝n(n是正整数)；2(2)∵OA1＝1，OA2＝2，OA3＝3，…∴OA10＝10；(3)S2＋S2＋S2＋…＋S2＝

2 2 12122232

＋…＋

＝(1＋2＋3＋…＋10)＝551 2 3 101021210212.探究点三：代数式的定义及简单应用按照下列程序计算，表格内应输出的代数式是 ．答案－n÷n＋n答案－n÷n＋n立方n解析：根据程序所给的运算，用代数式表示即可，－根据程序所给的运算可得输出的代数式为n3＋n－n.故答案为n3＋n n.－n n方法总结：根据实际问题列代数式的一般步骤：(1)认真审题，对语言或图形中所代表的意思进行仔细辨析；(2)分清语言和图形表述中各种数量的关系；(3)根据各数量间的运算关系及运算顺序写出代数式．三、板书设计1．二次根式的性质1：(a)2＝a(a≥0)；2：a2＝a(a≥0)．代数式的定义用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法掌握二次根式乘法法则和积的算术平方根的性质；(重点)会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入计算：(1)4×25与4×25；(2)16×9与16×9.思考：对于2×3与2×3呢？从计算的结果我们发现2×3＝2×3，这是什么道理呢？二、合作探究探究点一：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件子＋1·－x＝（x12x）立条是( A．x≤2 B．x≥－1C．－1≤x≤2 D．－1＜x＜2x＋1≥0，解析：

2－x≥0，

解得－1≤x≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【类型二】二次根式的乘法运算计算：(1)3×5；(2) 1×64；4(3)627×(－33)；6b2a6b2a3(4)4

18ab· a .解：(1)3×5＝3×5＝15；(2) 1×64＝ 1×64＝16＝4；4 4(3)627×(－33)＝－1827×3＝－1881＝－18×9＝－162；6b2a18ab6b2a18ab·6b2a3·36×3b33 32 3 9b(4)

18ab·

＝－·· ＝－

＝－ ·6b

3b.4 4a 2a 2a a化简：(1)（－36）×16×（－9）；(2)362＋482；(3)x3＋6x2y＋9xy2.解析：主要运用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥0)对二次根式进行化简．解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；

(3)x3＋6x2y＋9xy2＝x（x＋3y）2＝（x＋3y）2·x＝|x＋3y|x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．探究点三：二次根式乘法的综合应用小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为rcm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm2)，所以πr2＝168π，r＝242cm(r＝－242舍去)．答：这个圆的半径是242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想．三、板书设计1a·b＝ab(a≥0，b≥0)2．积的算术平方根：ab＝a·b(a≥0，b≥0)第2课时 二次根式的除法重点)能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？；36＝49；36＝49(1) ＝ ．49；9＝16；9＝16(2) ＝ ．164991649916

9.49 16二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】二次根式的除法运算计算：

；(2)－ ÷ ；(1)0.760.191235(1)0.760.191235542ab145；(4)5÷ .0.760.190.760.760.19(1)＝0.19

＝4＝2；÷1(2)－ 2 5＝－ 12÷5＝－ 5×54＝－18＝－32；÷13 54 354 3 5(3)6a2b＝ 6a2b＝3a；2ab(4)5÷－5(4)5÷

2ab145＝－5÷5 9＝－5×1× 5＝－1×5＝－1.1455 5 9 5 3 3“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．【类型二】二次根式的乘除混合运算计算：×(1)945÷3 21 ×2 2(2)a2·ab·b b

22；39b2.÷a a解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算．××解：(1)原式＝9 1 ××

45×2×8

183；＝3 2 5 3＝2 ba a2b(2)原式＝a·b· ab·· ＝ a.a9b2 3探究点二：商的算术平方根的性质【类型一】利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a a若＝ ，则a的取值范围是( )2－a 2－aA．a＜2 B．a≤2C．0≤a＜2 D．a≥0a≥0，解析：根据题意得2－a＞0，

解得0≤a＜2.故选C.方法总结运用商的算术平方根的性质： b＝b(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是a a非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1) 17；93c34a4b2(2) (a＞(1) 17；93c34a4b2解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．＝解：(1) 17＝ ＝

16 4＝；(2)

9 9 3c34a43c34a4b23c34a4b2

33c.2a2b探究点三：最简二次根式在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．(1)45；(2) 1；(3)5；(4)0.5；(5) 14.3 2 5解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；1＝3，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；3 35，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简2二次根式；＝(4)0.5＝ 1＝2(5) 14＝

2，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；235＝5 5

，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．探究点四：二次根式除法的综合运用座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2π lT表示周期()，l表示摆长()，g＝9.8米/2，假若一台座钟g0.51解：∵T＝2π

1.4260

60≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．

≈9.8

，＝T 1.42三、板书设计二次根式的除法运算商的算术平方根最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性二次根式的加减第1课时 二次根式的加减会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点)熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)一、情境导入小明家的客厅是长7.5m，宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m2和18m2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：被开方数相同的最简二次根式a＋b已知最简二次根式2a＋b与 3a－4能够合并同类项，求a＋b的值．解析：利用最简二次根式的概念求出a，b的值，再代入a＋b求解即可．a＋b解最简二次根式2a＋b与 3a－4能够合并同类项解得a＝3，b＝－1，∴a＋b＝3＋(－1)＝2.探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加减运算计算：12－1－(2)2＋|2－3|.3解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式．解：原式＝23－33

－2＋2－3＝

2－1－13

3＝23.3【类型二】二次根式的化简求值2ab－b2a÷先化简，再求值：a2－b22ab－b2a÷a

，其中a＝2＋3，b＝2－3.解析：先将原式化为最简形式，再将a与b的值代入计算即可求出．（abab）解：原式＝

a2－2ab＋b2÷

a＋（－b） a

a＋b

.当a＝2a a

（a－b）2

a－b＝＋3，b＝2－3时，原式＝2＋3＋2－3＝4 23.＝2＋3－2＋3 23 3【类型三】二次根式加减运算在实际生活中的应用母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方800cm2450cm2，他想如果再用金色细1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450＝4×(202152＝1402≈197.96(cm)1.2m＝120cm＜197.96cm，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色细彩带．三、板书设计被开方数相同的最简二次根式二次根式的加减第2课时 二次根式的混合运算会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力；(重点)正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入如果梯形的上、下底边长分别为22cm，43cm，高为6cm，那么它的面积是多少？毛毛是这样算的：1(22＋43)×6＝(＋23)×6＝2×6＋2×＝26＋218＝223＋62(cm2)．他的做法正确吗？二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算【类型一】二次根式的四则运算计算：1212223(2)

×9451÷3548312－2 451÷35483

；13213÷23＋ ；(3)2－(3＋2)÷3.解：(1)原式＝1×9× 8×1×5＝1×9×22＝2；2 3 363－23＋43

3 2 91 283 1

1 14 1原式

3 ÷23＋3

× ＋＝3 23 3

＋＝5；33(3)原式＝2－(3＋2)÷1＝2－3＋2＝2－1－23.33 3探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算计算：(1)(2＋3－6)(2－3＋6)；(2)(2－1)2＋22(3－2)(3＋2)；246－1 3－324(3)

3 2

×(－26)．解析：(1)利用平方差公式展开然后合并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－(3－6)]＝(2)2－(3－6)2＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；66－6－3 26原式

6 2 ×(－26)＝－3

6×(－26)＝8.探究点三：二次根式混合运算的综合运用【类型一】与二次根式的混合运算有关的新定义题型mnm※n(3※2)×(8※12)的结果为( )A．2－46 B．2 C．25 D．20

m－（mn， m＋n（m<n）.3＞2∴※2＝3－2.∵8128※1＝8＋122(2＋)(3※2)(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.【类型二】二次根式运算的拓展应用(1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵()有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用151＋151＋5－5n2 －

表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．5解析：分别把n＝1、2代入式子化简即可．5＋5－5n1＋5－5n时，解第1个数当n＝1 1 2 － 2时，

＝1[

]＝

×5＝1；1＋1＋51－5＋5－5n1＋5－5n5第2个数，当n＝2时，1 2 － 5

5 25＝5

2＋5－521＋5－522 － 2 ＝51＋5 1－5

1＋5 11 ＋2 25

2 － 2 ＝1×1×5＝1.－5－5三、板书设计二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．运用乘法公式和运算律进行计算在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．勾股定理第1课时 勾股定理经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点)了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥ABD，求：AC的长；SAB；CD的长．由于在△ABCC(2)SA(3)D·＝BC·ACCD.ABCAB2－BC2＝12cm；S

1 12AB＝B·C＝×51230(cm)；22 2∵S

ABC＝1AC·BC＝1CD·AB，∴CD＝AC·BC＝60cm.△2 2 AB 13△方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BCAD＝12，试求△ABC的周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况说明：当△CtBDD＝2D＝12122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；当△CtBDD＝2D＝15－12＝9.Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长15＋13＋4＝32.∴当△ABCABC为钝角三角形时，△ABC32.【类型三】勾股定理的证明探索与研究：1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°ACFDABFE的面积相等，而四ABFERt△BAERt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；2：如图：Rt△BEARt△ACDABFERt△BAERt△BFE的面积之和进行解答；2：根据△ABCRt△ACDRt△ABD和△BCD的面积之和解答．解：

ACFD＝S ABFE＝SBAE＋SBFEb2＝1c2＋1(b＋a)(b－a)，整理得2 2 2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；22tAE90°S2ABCD＝S

ABC＋SACD，S ABCD＝SABD＋SBCD，∴S

ABC＋SACD＝SABD＋SBCD，即1b2四边形

△ △ 四边形 △ △

△ △ △ △＋1ab＝1c2＋1a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.2 2 2探究点二：勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直三形正方形CD面分为2512最的方形E面是 ABS1CD的面S2，S1＋S2＝S3S3＝2＋5＋1＋2＝10.10.方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．三、板书设计1．勾股定理a，bca2＋b2＝c2.2．勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．3．勾股定理与图形的面积(数)第2课时 勾股定理的应用熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)掌握勾股定理的简单应用，探究最短距离问题．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理的实际应用【类型一】勾股定理在实际问题中的应用5BC的长130.56秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子始终是直的，结果保留根号)?AB长度即AB的值，然后解答即可．解：Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5AB＝BC2－AC2＝12米.6秒后，B′C＝13－0.5×6＝10AB′＝B′C2－AC2＝53(米)，则船向岸边移动的距离为(12－53)米．【类型二】利用勾股定理解决方位角问题A60°方向1003kmB30°100kmCA、C两点之间的距离．解析：根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°60°30＝90Rt△ABCAB＝1003kmBC＝100kmAC＝AB2＋BC2＝（1003）2＋1002＝200(km)，∴A、C两点之间的距离为200km.方法总结：先确定△ABC是直角三角形，再根据各边长，用勾股定理可求出AC的长．【类型三】利用勾股定理解决立体图形最短距离问题BE＝15cmAB＝10cmAD＝20cmMCHAM，需要爬行的最短距离是多少？解：分两种情况比较最短距离：102＋（20＋5）2＝5202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵525cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.【类型四】运用勾股定理解决折叠中的有关计算ABCD9MNBCD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( ) A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5解析：BM，MB′.AM＝xRt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.Rt△MDB′中，MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′292＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2x＝2AM＝2.B.x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型五】勾股定理与方程思想、数形结合思想的应用10mDC处有一筐DAAACC处，另一DBBC15m，求树高AB.解析：在Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2＋BC2＝AC2.设BC＝am，AC＝bm，AD＝xm，根据两只猴子经过的路程一样可列方程组，从而求出x的值，即可计算树高．解：Rt△ABC中，∠B＝90°BC＝am，AC＝bm，AD＝xm.∵两猴子所经过的路Rt△ABC(10＋x)2＋a2＝b2，∴(10＋x)2＋52＝(15－x)2x＝2AD＝2米．∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12(米)．答：树高AB为12米．探究点二：勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )A.5＋1 B．－C.5－1 D.5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5.那么点A所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的位置，再根据A的位置来确定a的值．三、板书设计勾股定理的应用方位角问题；路程最短问题；折叠问题；数形结合思想．勾股定理与数轴本节课充分锻炼了学生动手操作能力、分类比较能力、讨论交流能力和空间想象能力，勾股定理的逆定理第1课时 勾股定理的逆定理能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题；(难点)理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．(重点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形(如图)，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】判断三角形的形状如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．以上答案都不解析：∵正方形小方格边长为1，∴BC＝52＋52＝52，AC＝32＋32＝32，AB＝22＋82＝68.在△ABC中，∵BC2＋AC2＝50＋18＝68，AB2＝68，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．故选A.方法总结：要判断一个角是不是直角，可构造出三角形，然后求出三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【类型二】利用勾股定理的逆定理证明垂直关系AD.ABCD中，AE＝EB，AF＝1AD.4

求证：CE⊥EF.CF.ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝4.EAB中点，AF＝1AD，∴AE＝BE＝2，AF＝1，DF＝3.EF2＝124＋22＝5，EC2＝22＋42＝20，FC2＝42＋32＝25.∵EF2＋EC2＝FC2，∴△CFE是直角三角形，且∠FEC＝90°，即EF⊥CE.【类型三】勾股数判断下列几组数中，一定是勾股数的是( A．1，2，3 B．8，15，17．，1，15 D.34，155解析：A不是，因为2和3B82＋152＝1728、1517CD3与45 5选B.方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．【类型四】运用勾股定理的逆定理解决面积问题ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四ABCD的面积．△ACD为直角三角形，ABCD的面积．解：AC.∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，C10.在△D2＋D210＋57＝67D2＝2267C2D＝D2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∴S

四边形

ABCD＝S

AB＋S

ACD＝1×6×8＋1×10×24△2 2△＝144.探究点二：互逆命题与互逆定理写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题．两直线平行，同旁内角互补；在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；(3)相等的角是内错角；(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．解：(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题；(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内)，真命题；(3)内错角相等，假命题；(4)等边三角形有一个角是60°，真命题．三、板书设计勾股定理的逆定理及勾股数如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．互逆命题与互逆定理在本课时教学过程中，应以师生共同探讨为主．激励学生回答问题，激发学生的求知第2课时 勾股定理的逆定理的应用进一步理解勾股定理的逆定理；(重点)灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题．(难点)一、情境导入1612130海里，如果知道“远望号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？二、合作探究探究点：勾股定理的逆定理的应用【类型一】运用勾股定理的逆定理求角度P是等边△ABCAPB的度数．将△BPCB60°得△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数．解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC.可将△BPCB60°得△BEA，∠BPE＝60°.在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2＋PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°＋60°＝150°.为直角三角形．【类型二】运用勾股定理的逆定理求边长在△ABCBC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15BD的长．解析：根据勾股定理的逆定理可判断出△ACD为直角三角形，即∠ADC＝∠ADB＝90°.在Rt△ABD中利用勾股定理可得出BD的长度．解：∵在△ADC中，AD＝12，CD＝9，AC＝15，∴AC2＝AD2＋CD2，∴△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴△ADB是直角三角形．在Rt△ADB中，∵AD＝12，AB＝13，∴BD＝AB2－AD2＝5，∴BD的长为5.【类型三】勾股定理逆定理的实际应用如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵AC2＝92＝81，∴AB2＋BC2≠AC2，∴∠ABC≠90°，∴该农民挖的不合格．【类型四】运用勾股定理的逆定理解决方位角问题MNMN950A13海里/时的速度偷偷向我领海开来，MNBAC的距离13B5BC12C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？即为走私船所走的路程．由题意可知，△ABE和△ABC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．设N与C相交于EC90∵B＋C＝5＋12＝12C2C为直角三角形，且∠ABC＝90°.∵MN⊥CECCE.由△SABC＝1AB·BC＝1AC·BE，得BE＝60海里．由CE2＋BE2＝122，得CE＝144海里，∴144÷13△2 2 13 13 13＝144≈0.85(小时)＝51(分钟)，9时50分＋51分＝10时41分．169答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．三、板书设计利用勾股定理逆定理求角的度数利用勾股定理逆定理求线段的长利用勾股定理逆定理解决实际问题18．1 平行四边形平行四边形的性质第1课时 平行四边形的边、角的特征理解平行四边形的概念；(重点)掌握平行四边形边、角的性质；(重点)利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)一、情境导入二、合作探究探究点一：平行四边形的定义边形．

如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝ ．解析：∵ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.【类型二】利用平行四边形的性质求角ABCDA＝125°，则∠BCE的度数为( )A．35° B．55°C．25° D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论G、E、FABCDAD、DCBC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，根据等腰三角形性质求出∠DGC∠DGDG＝GB“求出DP＝∠P“AS”证出△PCF≌△PCE即可得出结论．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，CF＝CE，∴∠ECP＝∠FCP.在△PCF和△PCE中，∵∴PF＝PE.

∠FCP＝∠ECP，∴△PCF≌△PCE(SAS)，CP＝CP，方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．【类型四】判断直线的位置关系ABCD中，AB＝2AD，MABDMMC，试DMMC有何位置关系？请证明．解析：AB＝2AD，MABDM、CM分别是∠ADC与∠BCD的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°DMMC的位置关系．解：DM与MC互相垂直．证明如下：∵M是AB的中点，∴AB＝2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，则∠MDC＝1∠ADC，同理∠MCD＝1∠BCD.∵AD∥BC，2 2∴∠ADC＋∠DCB＝180°，∴∠MDC＋∠MCD＝1∠BCD＋1∠ADC＝90°.∵∠MDC＋2 2∠MCD＋∠DMC＝180°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．探究点三：两平行线间的距离l1∥l2E，Fl1G，Hl2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．∵llEF到2h.S

E＝1GH·S△2△

FGH＝1GH·h，△2△SESH，∴E－S＝SHS，∴△GOHO三、板书设计平行四边形的定义平行四边形的边、角特征两平行线间的距离第2课时 平行四边形的对角线的特征掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点)利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．(难点)一、情境导入ABCD二、合作探究探究点一：平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段已知▱ABCDACBD的周长比△DOA5cm，求这个平行四边形各边的长．30cm.△AOB的周长比△DOA的周5cmAO为共用，OB＝ODABAD5cm，进一步解答即可．解：ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周长比△DOA▱ABCD则AB＝CD＝35cm，AD＝BC＝252 2【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图，▱ABCDACBDO，EFOABCD分别相交于E、F.求证：OE＝OF.解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.在∠FDO＝∠EBO，△DFO和△BEO中，OD＝OB，∠FOD＝∠EOB，

∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.【类型三】判断直线的位置关系ABCD中，AC、BDOE、FAO、CO的中BE、DF的关系并证明你的结论．根据平行四边形的性质“对角线互相平分”利用中点的OE＝OF，从而利用△FOD≌△EOBBE＝DF，BE∥DF.解：BE＝DF，BE∥DF.ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵EFOAOCOE＝OFFOD＝EOB，∴△FOD≌△EOB(SAS)，∴BE＝DF，∠ODF＝∠OBE，∴BE∥DF.在▱ABCD中，OD、CSAB＝SB；P为对角线D点P与点D不重合)ABP与SBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”AO＝CO，再根据等底等高的三ACBD证明：在▱ABCD中，AO＝CO.BAChS1

ABO＝1AO·h，S△2△

B＝Oh∴ABS；2解：SAB＝SBP▱CD中，点、C到DhSABP＝1BP·h，SCBP＝1BP·h，∴SABP＝SCBP.△ △ △ △△△△△2 2三、板书设计平行四边形对角线互相平分平行四边形的面积平行四边形的判定第1课时 平行四边形的判定掌握平行四边形的判定定理；(重点)综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点)一、情境导入两组对边分别平行且相等；两组对角分别相等；两条对角线互相平分．始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？二、合作探究探究点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形如图，在△ABCAB、AC、BCBC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．解析：根据题意，利用全等可证明AD＝FE，DF＝AE，从而可判断四边形DAEF为平行四边形．解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明．(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；(2)B∥D2＝B40°DB＋∠B＝18°DB＝1＋∠B12°DB＝18°－∠＝12°DB＝∠DB.又∵∠D＝＝55°CD是平行四边形．方法总结：根据两组对角分别相等判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．探究点三：对角线相互平分的四边形是平行四边形CDFOCOD证：△AOC≌△BOD；AFBE是平行四边形．解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF即可．证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC 和△BOD 中，∠C＝∠D，∵∠COA＝∠DOB，∴△AOC≌△BOD(AAS)；AO＝BO，(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝1OD，OE2＝1OC，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．2探究点四：平行四边形的判定定理(1)的应用【类型一】利用平行四边形的判定定理(1)证明线段或角相等ABCD中，ACBDOEFOA，OC的中点，请判断线段DE，BF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．根据平行四边形的性质“对角线互相平分”利用中点的“对角线互相平分的四边形是平行四边形”BFDEDE＝BF，DE∥BF.解：DE＝BF，DE∥BF.ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，FBFDE方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．【类型二】平行四边形的判定定理(1)的综合运用ABCD是平行四边形，BE⊥ACE，DF⊥ACF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．(1)根据“AAS”可证出△E≌△DF(2)首先根据△E≌△DF得出E＝C，BE＝DF.再利用已知得出△ADE≌△CBFDE＝BFBFDE是平行四边形．证明：ABCD是平行四边形，∴AB＝CDAB∥CDBAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，∠DFC＝∠BEA，∠FCD＝∠EAB，∴△ABE≌△CDF(AAS)；AB＝CD，BFDEABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和AD＝BC，△CBF中，∠DAE＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平AE＝FC，行四边形．三、板书设计1．平行四边形的判定定理(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形．2．平行四边形的判定定理(1)的应用第2课时 平行四边形的判定(2)掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点)掌握中位线的定义及中位线定理；(重点)平行四边形性质与判定的综合运用．(难点)一、情境导入ABCE，FAB，AC的EF＝5BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？二、合作探究探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【类型一】判定四边形是平行四边形FABCDACABCD是平行四边形吗？请说明理由．解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．【类型二】判定平行四边形的条件ABCDACBDAD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A．3种 B．4种 C．5种 D．6种解析：①②组合可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定出四边形ABCD组合可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定出四ABCD“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBOAD＝CB，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”ABCD4ABCDB.方法总结：熟练运用平行四边形的判定定理是解决问题的关键．探究点二：三角形的中位线【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长如图，在△ABC中，D、EAC、BC的中点，AF平分∠CABDE于点F.若DF＝3，则AC的长为( )A.32B．3C．6D．9解析：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C.【类型二】利用三角形中位线定理求角如图D分别为EAEB的中点则∠2的度数为()A．80° B．90°C．100°D．110°解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是△EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠2＝∠ECD＝80°.故选A.【类型三】运用三角形的中位线性质进行计算CB＝C＝3N为CM平分∠CM⊥M，MCMABDMN的长．首先证明△AMD≌△AMCDM＝MCMN为△BCD解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.在△AMD与∠DAM＝∠CAM，△AMC中，AM＝AM，∠AMD＝∠AMC，

∴△AMD≌△AMC(ASA)，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.又∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝12

＝1×(5－3)＝1.2方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．【类型四】中位线定理的综合应用为▱ABCDDCBC、BDFACBDABOF解析：本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．BOFB2OF.CDBD∥D，OA＝OC，∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF∠BAF＝∠CEF，中，AB＝CE，∠ABF＝∠ECF，

∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB∥OF，AB＝2OF.方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．三、板书设计平行四边形的判定定理(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．三角形的中位线三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．特殊的平行四边形矩 形第1课时 矩形的性理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．(难点)一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】运用矩形的性质求线段或角在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为( )A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm在矩形ABCDOBC的中点，∠AOD＝90根据矩形的性质得到△ABO≌△OCD，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB.由矩形ABCD的周长为24cm，得2AB＋4AB＝24cm，解得AB＝4cm.故选D.【类型二】运用矩形的性质解决有关面积问题如图矩形ABCD的对角线的交点为过点O且分别交于点则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )5

B.14

C.13

D.310解析：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE和△DOF∠ABO＝∠CDO，， △OE△DOF(AA)∴SBE＝SF∴S SA＝1S A.4OB＝OD，4∠BOE＝∠DOF，故选B.

△ △ 阴影 △ 矩形【类型三】运用矩形的性质证明线段相等ABCDBBCADE，BECCF⊥BEF.求证：BF＝AE.利用矩形的性质得出AD∥BC∠A＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC≌△EAB，进而得出答案．在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°.由作图可知，BC＝BE.在△BFC 和△EAB 中，∠A＝∠CFB，∠AEB＝∠FBC，∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE.EB＝BC，【类型四】运用矩形的性质证明角相等ABCD中，E、FBC、ABEF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.解析：AE平分∠BAD，可转化为△ABEAB＝BE.AB＝证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF∠BFE＝∠CED，与△DCE中，EF＝ED，∠BEF＝∠EDC，

∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质如图，在△ABC中，AD是高，E、FAB、AC的中点．AB＝10，AC＝8AEDF的周长；求证：EFAD.解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”DE＝AE＝1AB，DF2＝AF＝1AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等2的点在线段的垂直平分线上”证明即可．解：∵AD是△ABC的高，E、FAB、AC的中点，∴DE＝AE＝1AB＝1×102 2＝5，DF＝AF＝1AC＝1×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋42 2＝18；AD.

证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、FAD的垂直平分线上，∴EF垂直平分方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．三、板书设计矩形的性质矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．第2课时 矩形的判定掌握矩形的判定方法；(重点)能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．(难点)一、情境导入矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：两条对角线相等且互相平分；四个内角都是直角．这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图，在△ABC中，AB＝AC，ADBC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E.求证：四边形ADCE是矩形．首先利用外角性质得出AEDBADCE是平行四边ADADCE是矩形．∵B＝CB＝B∵E是△AC∠C.∵∠BAEDB是平行四边形，∴AEBD.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，AEDDCEDC＝9°DCE是矩形．探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形ABCDACBDOAN，ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．解析：ABCDOA＝OC，OB＝OD.ON＝OBON＝OD.CM＝ANON＝OM.NDMB的对角线相等且互相平分，即可得证．证明：ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴MN＝BD，∴四边形NDMB为矩形．探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形

如图，▱ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形EFGH是矩形．证明：ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分别平分∠DAB与∠ABC，∴∠HAB＝1∠DAB，∠HBA＝1∠ABC，∴∠HAB＋∠HBA2 2＝1(∠DAB＋∠ABC)＝1×180°＝90°，∴∠H＝90°.同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH2 2是矩形．“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】矩形的性质和判定的运用ABCDFGHOAOBOCOD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.EFGH是矩形；E、F、G、HOA、OB、OC、ODDG⊥AC，OF＝2cm，求矩ABCD的面积．解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．证明：ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；解：∵GOC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵FBO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43cm，∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)．方法总结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．【类型二】矩形的性质和判定与动点问题ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动PAADD1cm/sQCCB方向B3cm/sP、QAC同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．PQCD是平行四边形？PQBA是矩形？解析：(1)设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP＝CQ，代入后求出即可；(2)设经过t′s时，四边形PQBA是矩形，根据AP＝BQ，代入后求出即可．解：(1)设经过ts，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ，所以24－t＝3t，解得t＝6；(2)设经过t′s，四边形PQBA为矩形，即AP＝.BQ，所以t′＝26－3t′，解得t′＝13.2“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形．三、板书设计1．矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．2．矩形的性质和判定的综合运用菱 形第1课时 菱形的性质掌握的定义和性质及菱形面积的求法；(重点)灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)一、情境导入二、合作探究探究点一：菱形的性质【类型一】利用菱形的性质证明线段相等ABCD是菱形，CE⊥ABABE，CF⊥ADAD延长线F.求证：CE＝CF.解析：连接AC.根据菱形的性质可得AC平分∠DAB，再根据角平分线的性质可得CE＝FC.证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB.∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF.【类型二】利用菱形的性质进行有关的计算ABCDACBD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm.C作CE∥DBBBE∥AC，CEBEE.(1)OC的长；(2)求四边形OBEC的面积．OCD利用矩形的定义即可证明OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．ABCDOCDCD2－OD2＝52－32＝4(cm)；(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形．∵OB＝OD，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．【类型三】运用菱形的性质证明角相等ABCDAC、BDO，DH⊥ABH，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO.根据“菱形的对角线互相平分”“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”OH＝OB，∠OHB＝∠OBH，根据“两直线平行，内错角相等”求出∠OBH＝∠ODC，然后根据“等角的余角相等”证明即可．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB，∴OH＝1 ＝2Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO.【类型四】运用菱形的性质解决探究性问题ABCD中，AB＝BDE、FAB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．▱ABCDOADBD、FOA、ADAE＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．与△DBFABD为等边三角OAD的垂直平分线上，所以OA＝OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE的度数．解：探究：△ADE与△DBFABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝BD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∴∠EAD＝∠FDB＝120°.∵AE＝DF，∴△ADE≌△DBF；OAD的垂直平分线上，∴OA＝OD.∴∠DAO＝∠ADB＝50°，∴∠EAD∠DB＝13°.∵E＝DFDDB△DE△DF∠DA＝B＝32°∠DA＝∠OAD－∠DEA＝18°.探究点二：菱形的面积已知菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是( )A．163 B．83 C．43 D．8ABCD2

＝2，OB＝1BD，AC⊥BD，∠BAD2＋∠ABC＝180°.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝4，菱形∴OB＝AB2－OA2＝42－22＝23，∴BD＝2OB＝4ABCD＝1AC·BD＝1×4×43菱形2 2＝83.故选B.方法总结：菱形的面积有三种计算方法：①将其看成平行四边形，用底与高的积来求；②对角线分得的四个全等三角形面积之和；③两条对角线的乘积的一半．三、板书设计菱形的性质菱形的四边条都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积S ＝边长×对应高

，b分别是两条对角线的长)菱形 ab(a2第2课时 菱形的判定掌握菱形的判定方法；(重点)探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．(难点)一、情境导入菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：两条对角线互相垂直平分；四条边都相等；每条对角线平分一组对角．这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？二、合作探究探究点一：菱形的判定【类型一】利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，在△ABC中，D、EAB、AC的中点，BE＝2DEDEF，EF＝BECF.求证：四边形BCFE是菱形．解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．EABACDE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BCBCFE是平行四边形．又∵EF＝BE，∴四BCFE是菱形．方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．【类型二】利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形如图，AE∥BF，AC平分∠BADBFC，BD平分∠ABCAE于DCD.求证：AC⊥BD；ABCD是菱形．解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用“三线合一”AC⊥BD即可；(2)ABCD是平行四边形，然后根据“对角线互相垂直”得到平行四边形是菱形．证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2∵△ACB＝B.BD平分∠CD＝D.∵∥F，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边