2018-2019学年广东省广州某中学高一(下)期中数学试卷

2018-2019学年广东省广州六中高一（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

2

1.（5分）已知集合女=&|三包<0}，B=（x|x-x<0}>则ACB=（）

x-1

A.{X|-1WXW1}B.{x|0WxWl}C.{MOWxWl}D.{x|0«l}

2.（5分）设a,bER,若a-|0|>0,则下列不等式中正确的是（）

A.b-a>0B.a3+h3<0C.b+a>0D.a2-h2<0

3.（5分）如图，设A、8两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,

测出AC的距离为50皿，NAC8=45°,ZCAB=105°后，就可以计算出A、8两点的距

离为（）

B

A.纣24nB.25-/2PIC.D.50cn

2

4.（5分）如图，在正方体ABC。-A181C1D1中，P为的中点，则△加C在该正方体各

个面上的射影可能是（）

5.（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）

A-y=Vx4^

7x

B・y=sinx"«—，x€（0,

sinx2

第1页（共

「x2+g3

C・y-.

VX2+2

D.y=+—

XX

6.（5分）如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cTH.假若点B有一只蚂

蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短

路程是（）

7.（5分）《九章算术》“竹九节”问题，现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差

数列，上面3节的容积共为3升，下面3节的容积共旦升，则第4节的容积为（）

22

升

A.AB.2C.5D.1

236

8.（5分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量彳=（后-c,cosC）,

n=（a,cosA）,ir〃n，则cosA的值等于（）

A.返B.返C.返D.立

6432

9.（5分）已知数列｛〃〃｝是等比数列,数列｛加｝是等差数列,若-8,历+加+%=

b/+b仑

6m贝I」cos—4一匚的值是（）

l-a3,a7

A..1B.返C.D.jZl

2222

10.（5分）设数列｛板｝满足m=2,如+i=l—，记数列｛如｝的前n项之积为T„,则

、+1

72018=（）

A.1B.2C.—D.2

33

第2页（共

ii.（5分）数列1,工，2,工，2,3,…，工，2,3,…，旦，…的前25项

22333nnn

和为（

B.209C.211D.四

12.（5分）已知定义域为R的函数的满足f（JC）=4f（JC+2）,当xG[O,2）时，

-x2+x+l,x€[0,1）

f（x）=,ix-L|，设，（x）在[2〃-2,2”）上的最大值为a（n€N*）T

（y）2，x€[1,2）n

且｛“”｝的前n项和为S”,若S〈人对任意的正整数n均成立,则实数k的取值范围为（）

A.(5,+8)B.也，+8）C.[2,+8)D.[A,+8)

333

二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）

13.（5分）甫=1,市=2,c=a+b>且31Z，则；与己的夹角为.

14.（5分）已知等比数列｛。〃｝的前〃项和Sn=3n_1，则｛〃”｝的通项公式是.

15.（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,下列四个论断正确的是（把

你认为正确论断的序号都写上）

①若sinA=cosB,则8=生；

ab4

②若8=工，b=2,a=M，则满足条件的三角形共有两个；

③若a,b,c成等差数列，sinA,sinB,sinC成等比数列，则△A8C为正三角形；

④若a=5,c=2,△ABC的面积S“BC=4,则COS8=3.

5

16.（5分）已知数列｛加满足a]=l,an=2an_i+l（n>2,n€N*）'则数列

三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题必须写出文字说明，证明过程和演算步

骤）

17.（10分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a=2,cosfi=A.

（1）若6=4,求sinA的值；

（2）若△A3C的面积SAABC=4,求机c的值.

18.（12分）已知等比数列｛〃〃｝满足。3+〃4=12,4146=32且公比q>l

第3页（共

(1)求｛〃”｝的通项公式

(2)若b求｛加｝的前〃项和。

nan

19.(12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热

层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该

建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度尤(单位：cm)满足关系：C

(%)=—^(0Wx<10),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔

3x+5

热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

(I)求k的值及/(x)的表达式.

(II)隔热层修建多厚时，总费用/(X)达到最小，并求最小值.

20.(12分)已知函数/(x)=Asin(3x+(p),xeR(其中A〉0,00〉0,0<。

的图象如图所示.

(1)求函数的解析式及其对称方程；

(2)当x€[0,等]时，方程/(X)=2。-3有两个不等的实根xi,X2,求实数。的取

值范围，并求此时加+液的值.

21.(12分)设数列｛〃〃｝的前〃项和为S,且s=2a-n^+3n-2(n€N*)

(1)求证:数列｛劭+求｝为等比数列,并求数列｛〃〃｝的通项公式

(2)设Cn=log2(a”+2〃)-2,数列｛4”｝满足：/(.+3)(、+4)=l+(n+l)(n+2)2"，

数列｛"”｝的前n项和为Tn,求使不等式2Tn>2n-温■成立的最小正整数〃

2工_±

PP

22.(12分)已知累函数/1(x)=(p2-3p+3)X22满足f(2)<f(4).

(1)求函数f(x)的解析式;

第4页(共

(2)若函数g(x)=p(x)+mf(x),x€[l,9],是否存在实数〃?使得g(x)的最小值

为0?若存在，求出，"的值：若不存在，说明理由.

(3)若函数h(x)—n-f(x+3),是否存在实数a,b(”<6),使函数h(x)在[a,b]

上的值域为[a,切？若存在，求出实数H的取值范围；若不存在，说明理由.

第5页(共

2018-2019学年广东省广州六中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

2

I.（5分）己知集合A={x|驾<0}，B={x|x-x<0}>贝（）

X-l

A.B.{x|0Wx〈l}C.{x|0WxWl}D.{x|0^x<1}

【考点】IE：交集及其运算.

【分析】解分式不等式和一元二次不等式化简集合A、然后直接利用交集运算得答案.

【解答】解：集合A={X[24<0}，B={X|X2-X40}，

x-l

解得：A={x|-

B={x|0WxWl}.

则ADB={x|-1<x<1}A{ROWxW1}={x|0«1}；

故选：D.

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.（5分）设a,b&R,若〃-|臼>0,则下列不等式中正确的是（）

A.b-a>0B./+/<0C.b+a>0D.a2-h2<0

【考点】R3：不等式的基本性质.

【分析】取a=2,b=-1代入计算可排除A,B,D

【解答】解：因为〃-依>0,

当a=2,匕=-1时，h-a=-3<0,排除A；a3+/>3=23-1=7>0,排除8；a2-h2

=22-1=3>0,排除。

故选：C.

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题.

3.（5分）如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,

测出AC的距离为50m,NACB=45°,ZCAB=105°后，就可以计算出A、8两点的距

离为（）

第6页（共

B

d------------------------------7

A.B.C.50M/nD.50《§n

2

【考点】HP：正弦定理.

【分析】由/ACB与NBAC,求出/4BC的度数，根据sin/ACB,sinZABC,以及4c

的长，利用正弦定理即可求出AB的长.

【解答】解：在△A8C中，AC=50〃?，ZACB=45°,NC4B=105°,

即乙48c=30°,

则由正弦定理一理一=一二----

sinZACBsinZABC

.50义务

得：-8=匈皿114{=——/_=5（）后?.

sinZABC±

2

故选：C.

【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题

的关键.

4.（5分）如图，在正方体ABC。-481cl。中，P为的中点，则△%C在该正方体各

个面上的射影可能是（）

DC

A.naH

①②。@

A.①④B.②③C.②④D.①②

【考点】LA：平行投影及平行投影作图法.

【分析】由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影,首先确定关键点P、A在各个面

第7页（共

上的投影，再把它们连接起来，即，△B4C在该正方体各个面上的射影.

【解答】解：从上下方向上看，△用C的投影为①图所示的情况；

从左右方向上看，△孙C的投影为④图所示的情况；

从前后方向上看，△以C的投影为④图所示的情况；

故选：A.

【点评】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶

点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完

成.

5.（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）

A.尸，喘

B・y=sinx^―，x€（0,

sinx2

D・y=x+—

x

【考点】7F：基本不等式及其应用.

【分析】利用基本不等式的性质即可得出.

【解答】解：对于A.:4＞。，；.y班子》qj寻~=2,当且仅当X=1时取

等号.

因为只有一个正确，故选A.

【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键.

6.（5分）如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为假若点8有一只蚂

蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短

路程是（）

A

AP

B

第8页（共

A.6B.275C.4D.V5

【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题.

【分析】由题意画出图形，得到展开后扇形为半圆，再由勾股定理求解.

【解答】解：由题意，圆锥底面半径为2,母线长为4,

则展开后所得扇形的半径为4,弧长为4m则展开后所得扇形的圆心角为n,

•.•AB=4,AP=2,BP气+22=2限

故选：B.

【点评】本题考查旋转体表面上最短距离的求法，考查数学转化思想方法，是基础题.

7.（5分）《九章算术》“竹九节”问题，现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差

数列，上面3节的容积共为3升，下面3节的容积共旦升，则第4节的容积为（)

22

升

A.AB.2C.—D.1

236

【考点】85：等差数列的前n项和.

【分析】先利用等差数列的求和公式求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求

第4节的容积.

【解答】解：设等差数列｛“”｝的首项小，公差/

由题意可得，6/1+4/2+<73=—,«7+«8+</9=—>

22

".ai——,a8=—»d=—,

226

a4=ai+1d=——

236

故选：c.

【点评】本题考查等差数列的通项公式和前〃项和公式，解题时要注意公式的灵活运用.

8.（5分）在△4BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,向量彳=（折-c,cosC）,

n—（a，cosA）,ir〃n，则cos4的值等于（）

第9页（共

A.返B.返C.返D.

6432

【考点】96：平行向量（共线）；HP：正弦定理.

【分析】根据两个向量平行的条件，写出坐标形式的表达式，得到关于三角形角和边的

关系，再由正弦定理变化整理，逆用两角和的正弦公式，得到角4的余弦值.

【解答】解：:ir〃n

-c）cosA-4cosc=0，

再由正弦定理得心inBcosA=sinCcosA+cosCsiiVl

，V^inBcosA=sin（C+A）=sin8,

即cosA=^-^-.

3

故选：C.

【点评】通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，注意与方程、函数等知识的联系，

一般的向量问题的处理有两种思路，一种是纯向量式的，另一种是坐标式，两者互相补

充.

9.（5分）已知数列｛〃〃｝是等比数列，数列｛加｝是等差数列,若加加5・。9=-8,历+加+加=

bA+ba

6n,则cos~i一J的值是（）

l-a3•a7

A.工B.返C.D.

2222

【考点】8M：等差数列与等比数列的综合.

b/+ba

【分析】由等比数列和等差数列的性质可知：675=-2,加=2n,cos--——

1-叼°@7

2b5

cos-—Cos（-4兀）=-_1

1-a532

【解答】解：由数列｛“〃｝是等比数列，由等比数列的性质可知：ai・“9=〃3Z7=a

贝（J。1・。5加9=-8,即43=-8,

.*.4/5=-2,

数列｛岳｝是等差数列，由等差数列的性质可知：历+为=4+父=2A,

历+加+b8=6n,即3Z?5=6TG

加=2m

第10页（共

.b+b_2b5

46=（-4兀）_兀=_1,

••cos-：-------—cos---co-s=cos

1-a，a332

371-a□：

故选：c.

【点评】本题考查等比数列及等差数列的性质，考查特殊角的三角形函数值，考查计算

能力，属于中档题.

10.（5分）设数列（加｝满足0=2,«n+1-l--2记数列｛劭｝的前〃项之积为Tn,则

an+1

72018=（）

A.1B.2C.AD.2

33

【考点】8H：数列递推式.

【分析】依题意，数列｛〃〃｝是以4为周期的函数数列，可求得。1・〃2・43,。4=45・〃6・07・。8

…=〃2013，。2014・。2015・42016=1,从而可得答案.

【解答】解：=4/1=1—--—,

an+1

.2112120

..a2=1——,。3=11-----—,44=1-----;-------=-3,05=1-----------=2

+1

2+131+124-3+1

即如+4=如，

二数列｛”“｝是以4为周期的函数，

又ai'ai'ai'aA—05*06*aTas-a2005,122006,02007,（72008=1,G为数列｛即｝的前n项之

积,

.*•72018=…（＜32OI3,a2O14,tZ2OI5,a2O16）,a2OI7,tZ2O18=ai*02

19

=2X^=5，

33

故选：D.

【点评】本题考查数列的递推式的应用，突出考查数列的求和，分析得到数列｛•〃｝是以4

为周期的函数数列，旦，”•42Z3P4=1是关键，考查推理与运算能力，属于中档题.

11.（5分）数列1,1,2,1,-2,2,1,1,1丑，…的前25项

22333nnnn

和为（）

A.207B,209c.2U

141414

【考点】8E：数列的求和.

【分析】直接利用数列的通项公式的应用求出结果.

第11页（共

【解答】解：数列1,1,I，4,4,L2,3,…，红，…

2z33onnnn

的前25项和为：

1,12123.....123456,1234

125=1%折?后寸+97%**守不巧巧与

:209

故选：B.

【点评】本题考查的知识要点：数列的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换

能力，属于基础题型.

12.(5分)已知定义域为R的函数的满足/(x)="(x+2),当xe[O,2)时，

-x2+x+l,x€[0,1)

f(x)=,|x_W|，设在⑵l2,2”)上的最大值为&(n€N*>

(y)2，x€[1,2)n

且｛〃”｝的前〃项和为S”,若品<上对任意的正整数鹿均成立,则实数k的取值范围为()

A.(互，+8)B.[$,+8)c.[2,+8)D.[A,+oo)

333

【考点】5B：分段函数的应用.

【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得xe[O,2)的f(x)的最大值，由

递推式可得｛““｝为首项为旦，公比为工的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成

44

立思想可得/的范围.

-x2+x+l,x€[0,1)

【解答】解：当汪[0,2)时，f(x)=J,I3।,

(1)^L[1.2)

可得OWxVl时，f(x)的最大值为/'(工)=$；1<XW2时，f(x)的最大值为/(3)

242

=1,

即有0WxV2时，/(%)的最大值为§；

4

当2Wx<4时，/(x)=1/'(%-2)的最大值为-L；

4.16

当4Wx<8时，/(x)=」/(x-2)的最大值为-L；

464

可得｛即｝为首项为2,公比为上的等比数列,

44

第12页(共

小寸）515

可得s”=-------?—=-（1-3）<A,

1434n3

4

由Sn<k对任意的正整数n均成立，可得k".

3

故选：B.

【点评】本题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题

解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）

13.（5分）|司=1,|bl—2,c=a+b，且cJ_a，则a与b的夹角为.

-3.

【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角.

【分析】根据WQ+E，且W可得W・Z=oa而求出Z兄=-1然后再代入向量的夹角

公式8S<，*=音爸,再结合va,n］即可求出<a,b>，

la||b|

【解答】解：:c=a+b，且cJ_a

—•—♦

二c,a=0

（a+b）'a=O

V|al=l

..自=2

a，b

/.cos<.r>=1

Ia||b|2

・y,E>q。，m

E>=2TT；故答案为n

3

【点评】本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易.解题的关键是熟

记向量的夹角公式cos<a方>=，"2同时要注意<•；E>HO,n］这一隐含条

la||b|

第13页（共

件！

14.（5分）已知等比数列｛”“｝的前〃项和$=3「1，贝山而｝的通项公式是_a=2X3妹1一

【考点】8H：数列递推式.

【分析】通过Sn=3"-1与S,+i=3"+i-1作差可知如+|=2・3<"+1>1进而可得结论.

【解答】解：

•••S"+u=3"+i-1,

...而+1=（3«+|-1）-（3n-1）=2-3<rt+l>

又；ai=Si=3-1=2满足上式，

二数列｛“"｝的通项公式a=2X3^1，

故答案为：a=2X

【点评】本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题.

15.（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为“、氏c,下列四个论断正确的是①③

（把你认为正确论断的序号都写上）

①若sinA=cosB,则8=生；

ab4

②若8=工，b=2,a=M，则满足条件的三角形共有两个；

4

③若〃，b,c成等差数列，sinA,sinB,sinC成等比数列，则△A5C为正三角形；

④若a=5,c=2,/\ABC的面积S”BC=4,则cosB=—.

5

【考点】HT：三角形中的几何计算.

【分析】根据正余弦定理和三角形内角和定理依次判断即可得答案.

【解答】解：对于①：由正弦定理：F—T—,可得cosBsinA=sinBsinA,即cosB

sinAsinB

=sinB,0<B<n,

：.B=—.①对.

4

对于②：由余弦定理可得：/?2=a2+c2-2accosB,即c2-丘-1=0,可得,=返毡

2

三角形只有1个；.•.②不对.

对于③:a,b,c成等差数列,即2b=a+c,sinA,sinB,sinC成等比数列,即si，"

sinAsinC.正弦定理，可得〃2=〃c.，△A3C为正三角形；工③对.

第14页（共

对于④:a=5,c—2,△ABC的面积SzxABC=Lcsin8=4,即sinfl=A,

2525

22L<B<12Lsg2L<g<2L.

3443

.*.cosB=+—.④不对

_5

故答案为：①③.

【点评】本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，角的判断.属于中档题.

'6.(5分)已知数列｛加满足ai=l,an=2an_i+l(n>2,n€N*)，则数列

｛生率(n€N*)的最大值为—1•

an+l旦4

【考点】8H：数列递推式.

【分析】由己知数列递推式可得数列｛斯+1｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，求

‘2n-9》2(n-l)-9

2n薪2n-^

其通项公式，代入空曳，由cccf1、C求得〃值，则答案可求.

a+12n-9、2(n+l)-9

~2^#21tH

【解答】解:由〃〃=2斯-1+1,得。〃+1=2(an-1+1)>

•・Zi+l=2#0,

・,・数列｛劭+1｝是以2为首项，以2为公比的等比数列,

则an+l=2・2kl=2n，

_

•・•-2-n--一--9-3-2--n---9-•

an+12n

2n-9〉2(nT)-9

解得竽《春・

2n-9》2(n+l)-94n

#2同一

VneN*,：.n=6,即数列{至2}(nfN*)的最大值为旦•

an+l64

故答案为：-L.

64

【点评】本题考查数列递推式，训练了构造等比数列求数列的通项公式，考查数列的函

数特性，是中档题.

三、解答题(本大题共6小题，满分70分.解答题必须写出文字说明，证明过程和演算步

骤)

第15页(共

17.(10分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a=2,cosB=3.

5

(1)若6=4,求sinA的值；

(2)若△ABC的面积SAABC=4,求氏c的值.

【考点】HR：余弦定理.

【分析】由cos«=|>0,且0<8<m可得如8=行工其.再利用正弦定理

即可得出.

(2)由S\ABC=」“csinB=,解得c,再利用余弦定理即可得出.

2

【解答】解：(1)；COSB=3>0,且/.sinB=.[r~~2^^^..

5vi-cosD5

由正弦定理得a=b,.•.sin?4=asinB=2_xA=2.

sinAsinBb455

(2)*.*SAABC=-i^csinB=—vA=4,，c=5.

225

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=22+52-2X2X5X_1=17,：.b=y]~1j-

【点评】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系

式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18.(12分)已知等比数列｛〃"｝满足43+44=12,046=32且公比4>1

(1)求｛“"｝的通项公式

(2)若b求｛为｝的前"项和方

na

an

【考点】8E：数列的求和.

【分析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式.

(2)利用(1)的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和.

【解答】解：⑴等比数列｛〃/?｝满足43+44=12,0146=32,

•.•〃1〃6=32,

:•4344=32且。3+。4=12,q>l

.•.〃3=4,44=8,

・・g=2.

n_3n1

an=a3q=2-，nCN*

(2)由(1)知匕=—2―，T-+-2-4^-+…一以一⑴,

D[n

n2n-ln202

第16页(共

l123n-1n

-Tm=~r+~…+----1+

2n222232^12n

(1)-(2)得：

—T=1+''+++'’-

2n2122232n"12n

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和

中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

19.(12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热

层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该

建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：c〃?)满足关系：C

(%)=_^(OWxWlO),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设/(x)为隔

3x+5

热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

(I)求k的值及f(x)的表达式.

(II)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.

【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6E：利用导数研究函数的最值.

【分析】(/)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)

满足关系：C(x)=」^(o4x《lO)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.我

们可得C(0)=8,得240,进而得到c(x)=—影一.建造费用为Ci(x)=6x,则根

3x+5

据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为我们不难得到的表达式.

(//)由(I)中所求的/(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，

然后根据函数单调性易求出总费用/(x)的最小值.

【解答】解：(I)设隔热层厚度为双,”，由题设，每年能源消耗费用为

再由C(0)=8,得上=40,

而建造费用为C1(无)=6x,

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

第17页(共

f(x)=20C(x)+C<(x)=20X匚+6x=-^-p+6x10)

13x+53x+5

(II)尸(x)=6-24°0,令/G)=0,即,2400&

(3x+5)/(3x+5)”

解得x=5,乂=且(舍去)•

x3

当0<x<5时，，(x)<0,当5cxV10时，/(JC)>0,故x=5是/(x)的最小值

点，对应的最小值为f（5）=6X5止殁L=7&

15+5

当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元.

【点评】函数的实际应用题，我们要经过析题f建模f解模f还原四个过程,在建模时

要注意实际情况对自变量X取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑.将实际的

最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常

见的思路之一.

20.（12分）已知函数/（X）=Asin（o）x+（p）,AGR（其中A〉0,S〉0,0＜。＜^）

的图象如图所示.

（1）求函数的解析式及其对称方程；

（2）当x€[0,时，方程/（X）=2。-3有两个不等的实根川，d求实数。的取

值范围，并求此时X1+X2的值.

【考点】HK：由丫=A$汕（3X+＜P）的部分图象确定其解析式.

【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出3,由特殊点的坐标求出（p

的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求出它的对称方程.

（2）根据题意，当x€[0,3]时，y=/（x）的图象与直线y=2“-3有两个不同的交

点，可得2x1T+2x2*=兀，从而求得xi+m的值.

第18页（共

【解答】解：(1)由图知，A=2,T=兀，W=^-=2-

由2sin(2X看+。)=2，即sin(微~+。)=1故言+O=2k兀■^-，kEZ，

所以O=2k兀+kEZ-

又。€[0,-y])所以Q哈，

故f(x)=2sin(2x+^->

人7T兀rji.l兀卜兀,尸\

令2xk^-h^~+k兀则(k€Z)，

所以/(x)的对称轴方程为x工」^L(kEz>

62

(2)[0,—].-.2X-H^6[―,・"(x)=2sin(2x+2L)G[-1,2].

26666

所以方程/(x)=2〃-3有两个不等实根时，y=f(x)的图象与直线y=2a-3有两个不

同的交点.

Vl<2a-3<2.,.2<a<|>

当x€[0,时，4Xi)=f(X1)，所以2x[哈+2x2+^=加

故+x2L.

X1x23

【点评】本题主要考查由函数y=Asin(3x+(p)的部分图象求解析式，由函数的图象的

顶点坐标求出A,由周期求出3,由特殊点的坐标求出年的值，正弦函数的定义域和值

域，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.

21.(12分)设数列｛“"｝的前"项和为S",且$=2a-n2+3n-2(n€N*)

(1)求证：数列｛即+2〃｝为等比数列，并求数列｛”“｝的通项公式

Cn,

(2)设cn=k>g2(a”+2”)-2,数列｛办｝满足：dn(cn+3)(cn+4)=l+(n+l)(n+2)2

数列｛△"｝的前”项和为Tn,求使不等式2Tn>2n-y^3成立的最小正整数〃

【考点】8E：数列的求和.

【分析】(1)直接利用定义进行证明.

(2)利用裂项相消法和分组法求出数列的和.

2)

【解答】证明：⑴当〃=1时，a1=2a1-l+3-2

得a\=0»

第19页(共

则«i+2Xl=2^0(1).

9

=,

Sn2an~n+3n~2

得S^+i=2/_[-(!!-1)2+3(n-l)-2,

:.n22时，an=2an-2。〃一i-27?+4

整理得，板+2〃=2〃〃一1+4(«-1)=2[an-}+2(〃-1)](2).

由(1)(2)得证数列{板+2〃}为等比数列，首项m+2=2,公比为2的等比数列.

An-1nn

an+2n=(a1+2)X2=2,an=2-2n-

(2)VCn=log2(an+2n)-2=n-2,

(，

•*-dn'(n+l)(n+2)=l+(n+l)11+2)2^2

*-dn=(n+l)(n+2)2-Q-R2'

—(i-2n)

.f/I11111、2J"'

•・、=份万句口+…VFR)+卜2,

2n+22、)n+2

2n—>2n----,

n+2k1009

得"22016.

所以，使得2T>2“-二^-成立的最小整数〃的值为2016.

41nb41Ogg

【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前"项和的应用，

主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.