2017-2018学年人教A版高一数学必修2全册表格式教案30

2017-2018学年人教A版高一数学

必修2全册教案

目录

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征..............................................................1

1.1.2简单组合体的结构特征..................................................................9

1.2.1中心投影与平行投影、1.2.2空间几何体的三视图........................................13

1.2.3空间几何体的直观图...................................................................19

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积.......................................................26

1.3.2球的体积和表面积.....................................................................35

第一章《空间几何体》复习....................................................................39

2.1.1平面（1课时）........................................................................47

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系（1课时）.............................................54

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系（1课时）.............................................61

2.1.4平面与平面之间的位置关系（1课时）...................................................65

2.2.1直线与平面平行的判定（1课时）.......................................................69

2.2.2平面与平面平行的判定2.2.4平面与平面平行的性质（1课时）..................................................73

2.2.3直线与平面平行的性质（1课时）.....................................................................................................81

2.3.1直线与平面垂直的判定（1课时）.......................................................87

2.3.2平面与平面垂直的判定（1课时）.....................................................................................................94

2.3.3直线与平面垂直的性质（1课时）......................................................100

2.3.4平面与平面垂直的性质（1课时）......................................................106

第二章《点、直线、平面之间的位置关系》复习（1课时）......................................112

3.1.1直线的倾斜角与斜率...................................................................118

3.1.2两条直线平行与垂直的判定............................................................122

3.2.1直线的点斜式方程.....................................................................126

3.2.2直线的两点式方程（1课时）...........................................................132

3.2.3直线的一般式方程（1课时）...........................................................137

3.3.1两条直线的交点坐标（1课时）........................................................143

3.3.2两点间的距离（1课时）...............................................................149

3.3.4两条平行直线间的距离（1课时）......................................................152

第三章《直线与方程》复习（1课时）.........................................................156

4.1.1圆的标准方程.........................................................................162

4.1.2圆的一般方程.........................................................................170

4.2.1直线与圆的位置关系（2课时）........................................................178

4.2.2圆与圆的位置关系.....................................................................191

4.3.1空间直角坐标系.......................................................................196

4.3.2空间两点间的距离公式................................................................203

第四章《圆与方程》复习（1课时）...........................................................210

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课题1.1.1柱、锥、台、球的结构特征修改与创新

1.掌握柱、锥、台、球的结构特征，学会观察、分析图形，提高空间想象

教学能力和几何直观能力.

目标2.能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图

形，培养数学建模的思想.

教学

教学重点：柱、锥、台、球的结构特征.

重、

教学难点：归纳柱、锥、台、球的结构特征.

难点

教学

多媒体课件

准备

一、导入新课：

在我们的生活中会经常发现一些具有特色的建筑物，你能举出一些例

子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流.

教师对学生的活动及时给予评价.引出课题：柱、锥、台、球的结构特征.

二、讲授新课：

教学过

提出问题

程

1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准

是什么？

___

L____J

(1)(2)(3)(4)

n

^第I

(5)(6)(7)(8)

1

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(9)(10)(11)(12)

(13)(14)(15)(16)

图1

2.你能给出多面体和旋转体的定义吗？

活动：让学生分组讨论，根据初中己有的知识，学生很快就能分成两类，

对没有思路的学生，教师予以提示.

1.根据围成几何体的面是否都是平面来分类.

2.根据围成几何体的面的特点来定义多面体，利用动态的观点来定义旋转

体.

讨论结果：

1.通过观察，可以发现,(2)、(5)、(7)、(9)、(13)、(14)、(15)、(16)

具有同样的特点：组成几何体的每个面都是平面图形，并且都是平面多边

形，像这样的几何体称为多面体;⑴、(3)、(4)、(6)、(8)、(10)、(11)、

(12)具有同样的特点：组成它们的面不全是平面图形，像这样的几何体

称为旋转体.

2.多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成

多面体的各个多边形叫做多面体的面：相邻两个面的公共边叫做多面体的

棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.按围成多面体的面数分为：四面

体、五面体、六面体、……，一个多面体最少有4个面，四面体是三棱锥.

棱柱、棱锥、棱台均是多面体.

旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭

几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.圆柱、圆锥、圆台、球

均是旋转体.

提出问题

1.与其他多面体相比，图片中的多面体(5)、(7)、(9)具有什么样的共

同特征？

2

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2.请给出棱柱的定义？

3.与其他多面体相比，图片中的多面体（14）、（15）具有什么样的共同特

征？

4.请给出棱锥的定义.

5.利用同样的方法给出棱台的定义.

活动：学生先思考或讨论，如果学生没有思路时，教师再提示.

对于1、3,可根据围成多面体的各个面的关系来分析.

对于2,利用多面体（5）、（7）、（9）的共同特征来定义棱柱.

对于4,利用多面体（14）、（15）的共同特征来定义棱锥.

对于5,利用图片中的多面体（13）、（16）的共同特征来定义棱台.

讨论结果：

1.特点是：有两个面平行，其余的面都是平行四边形.像这样的几何体称

为棱柱.

2.定义：两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边

形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱.棱柱中，两个

互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公

共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.

表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱.

分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

3.其中一个面是多边形，其余各面是三角形，这样的几何体称为棱锥.

4.定义：有一面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些

面围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶

点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点：

相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

表示法：用顶点和底面各顶点的字母表示.

分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……

5.定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分

叫做棱台.原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面；其他各面叫

做棱台的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱：底面多边形与侧面的

公共顶点叫做棱台的顶点.

3

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表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱台.

分类：按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台……

提出问题

1.与其他旋转体相比，图片中的旋转体（1）、（8）具有什么样的共同特征？

2.请给出圆柱的定义.

3.其他旋转体相比，图片中的旋转体（3）、（6）具有什么样的共同特征？

4.请给出圆锥的定义.

5.类比圆锥和圆柱的定义方法，请给出圆台的定义.

6.用同样的方法给出球的定义.

讨论结果：

1.静态的观点：有两个平行的平面，其他的面是曲面；动态的观点：矩形

绕其一边旋转形成的面围成的旋转体.像这样的旋转体称为圆柱.

2.定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面

所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于旋转轴的边旋转

而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧

面，圆柱的侧面又称为圆柱面，无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫

做圆柱侧面的母线.

表示：圆柱用表示轴的字母表示.

规定：圆柱和棱柱统称为柱体.

3.静态的观点：有一平面，其他的面是曲面；动态的观点：直角三角形绕

其一直角边旋转形成的面围成的旋转体.像这样的旋转体称为圆锥.

4.定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转

而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于旋转

轴的边旋转而成的圆面称为圆锥的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的

曲面叫做圆锥的侧面，圆锥的侧面又称为圆锥面，无论转到什么位置，这

条边都叫做圆锥侧面的母线.

表示：圆锥用表示轴的字母表示.

规定：圆锥和棱锥统称为锥体.

5.定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转

而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台.还可以看成是用平行于圆锥底面

4

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的平面截这个圆锥，截面与底面之间的部分.旋转轴叫做圆台的轴；垂直

于旋转轴的边旋转而成的圆面称为圆台的底面；不垂直于旋转轴的边旋转

而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫做圆台侧面

的母线.

表示：圆台用表示轴的字母表示.

规定：圆台和棱台统称为台体.

6.定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲

面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体，简称球.半圆的圆心称为球

心，连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并

且过球心的线段称为球的直径.

表示：用表示球心的字母表示.

知识总结：

1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较，如下表所示：

结构特征棱柱棱锥棱台

两个平面互相平行，有一面为多边用一个平行于棱

其余各面都是四边形，其余各面是锥底面的平面去

形，并且每相邻两个有一个公共顶点截棱锥，底面与

定义

四边形的公共边都互的三角形，这些截面之间的部

相平行，这些面围成面围成的几何体分，这样的多面

的几何体称为棱柱叫做棱锥体叫做棱台

两底面是全等的多边两底面是相似的

底面多边形

形多边形

侧面平行四边形三角形梯形

侧棱平行且相等相交于顶点延长线交于一点

平行于底与两底面是全等的多与底面是相似的与两底面是相似

面的截面边形多边形的多边形

过不相邻

两侧棱的平行四边形三角形梯形

截面

2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较，如下表所示:

5

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结构特

圆柱圆锥圆台球

征

以半圆的直

以直角三角以直角梯形垂径所在的直

以矩形的一边

形的一条直直于底边的腰线为旋转轴，

所在的直线为

角边为旋转所在的直线为将半圆旋转

旋转轴，其余

轴,其余各旋转轴，其余一周所形成

定义各边旋转而形

边旋转而形各边旋转而形的曲面称为

成的曲面所围

成的曲面所成的曲面所围球面，球面所

成的几何体叫

围成的几何成的几何体叫围成的几何

做圆柱

体叫做圆锥做圆台体称为球体，

简称球

两底面是平行两底面是平行

底面且半径相等的圆但半径不相等无

圆的圆

侧面展

矩形扇形扇环不可展开

开图

延长线交于一

母线平行且相等相交于顶点无

点

平行于与两底面是平平行于底面与两底面是平

球的任何截

底面的行且半径相等且半径不相行且半径不相

面都是圆

截面的圆等的圆等的圆

轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆

3.简单几何体的分类:

棱柱

多面体，棱锥

、棱台

简单几何体‘圆柱

圆锥

旋转体

圆台

球

应用示例

6

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图2

A.5个B.4个

D.2个

活动：判断一个几何体是哪种几何体，一定要紧扣柱、锥、台、球的结构

特征，注意定义中的特殊字眼，切不可马虎大意.

棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；

这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体

同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱.很明显，几何体

②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合.

答案：D

点评：本题主要考查棱柱的结构特征.本题容易错认为几何体②也是棱柱,

其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征，避免出现此类错误

的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比，并且和图形对

应起来记忆，要做到看到文字叙述就想到图，看到图形就想到文字叙述.

变式训练

1.下列几个命题中，

①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；

④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两

个圆柱是两个不同的圆柱.

其中正确的有个.（）

A.1B.2C.3

7

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D.4

分析：①中两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会

交于一点，所以①是错误的；②中两个底面互相平行，其余四个面都是等

腰梯形，也有可能两底面根本就不相似，所以②不正确；③中底面不一定

是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的.

答案：A

2.下列命题中正确的是()

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D.棱台各侧棱的延长线交于一点

答案：D

3.下列命题中正确的是()

A.以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥

B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面

D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半

径

分析：以直角梯形垂直于底的腰为轴，旋转所得的旋转体才是圆台，所以

B不正确；圆锥仅有一个底面，所以C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，

这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以D不正确.很明显A正确.

答案：A

练习：课本P.7练习1、2(1)(2)

课堂小结：

由学生整理学习了哪些内容

布置作业：

习题1.1A组第1、2、3题

8

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板书设

计

教学反

思

课题1.1.2简单组合体的结构特征修改与创新

1.掌握简单组合体的概念，学会观察、分析图形，提高空间想象能力和

教学几何直观能力.

目标2.能够描述现实生活中简单物体的结构，学会通过建立几何模型来研究

空间图形，培养学生的数学建模思想.

教学

教学重点：描述简单组合体的结构特征.

重、

教学难点：描述简单组合体的结构特征.

难点

教学

多媒体课件

准备

一、导入新课：

教学过

现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球体等简

程

单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何

体叫做简单组合体，这节课学习的课题是：简单几何体的结构特征.

二、讲授新课：

9

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提出问题

①请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.

②观察图1,结合生活实际经验，简单组合体有几种组合形式？

③请你总结长方体与球体能组合成几种不同的组合体.它们之间具有怎

样的关系？

活动：让学生仔细观察图1,教师适当时候再提示.

①略.

②图1中的三个组合体分别代表了不同形式.

③学生可以分组讨论，教师可以制作有关模型展示.

讨论结果：①由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.现实世界

中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体

组合而成.图1(1)是一个四棱锥和一个长方体拼接成的，这是多面体与

多面体的组合体；图1(2)是一个圆台挖去一个圆锥构成的，这是旋转

体与旋转体的组合体；图1(3)是一个球和一个长方体拼接成的，这是

旋转体与多面体的组合体.

②常见的组合体有三种：多面体与多面体的组合；多面体与旋转体

的组合；旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种：一种是由简

单几何体拼接而成的简单组合体，如图1(1)和(3)所示的组合体；另

一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体，如图1(2)

所示的组合体.

③常见的球与长方体构成的简单组合体及其结构特征：1°长方体的

八个顶点在同一个球面上，此时长方体称为球的内接长方体，球是长方

体的外接球，并且长方体的对角线是球的直径；2。一球与正方体的所有

棱相切，则正方体每个面上的对角线长等于球的直径；3°—球与正方体

的所有面相切，则正方体的棱长等于球的直径.

应用示例

10

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活动：回顾简单几何体的结构特征，再将各个组合体分解为简单几何体.

依据柱、锥、台、球的结构特征依次作出判断.

解：图2(1)是由一个圆锥和一个圆台拼接而成的组合体；

图2(2)是由一个长方体截去一个三棱锥后剩下的部分得到的组合体；

图2(3)是由一个圆柱挖去一个三棱锥剩下的部分得到的组合体.

点评：本题主要考查简单组合体的结构特征和空间想象能

九月、

变式训练((

如图3所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线

1旋转180。，想象并说出它形成的几何体的结构特征.

图3

答案：一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球.

例2连接正方体的相邻各面的中心(所谓中心是指各面所在正方形的两

条对角线的交点)，所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体.

活动：先画出正方体，然后取各个面的中心，并依次连成线观察即可.连

接相应点后,得出图形如图4(1),再作出判断.

解：如图4(1),正方体ABCD—ABCD,解0八0八0八0八06分别是各

表面的中心.由点6、。2、0八0,、Os、组成了一个八面体，而且该八面

11

2017-2018学年高一数学人教A版必修2教案

体共有6个顶点，12条棱.该多面体的图形如图4(2)所示.

点评：本题中的八面体，事实上是正八面体一一八个面都是全等的正三

角形，并且以每个顶点为其一端，都有相同数目的棱.由图还可见，该八

面体可看成是由两个全等的四棱锥经重合底面后而得到的，而且中间一

个四边形O2O3OQ5还是正方形，当然其他的如OGOeO,等也是正方形.为了

增强立体效果，正方体应画得“正”些，而八面体的放置应稍许“倾斜”

些，并且“后面的”线，即被前面平面所遮住的线，如图中的0田5、005、

。5。2、0。应画成虚线.

课堂小结：

本节课学习了简单组合体的概念和结构特征.

布置作业：

习题1.1A组第4题；B组第2题.

板书设

计

教学反

思

12

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课题1.2.1中心投影与平行投影、122空间几何体的三视图修改与创新

1.掌握平行投影和中心投影，了解空间图形的不同表示形式和相互转化，

发展学生的空间想象能力，培养学生转化与化归的数学思想方法.

教学

2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）

目标

的三视图，并能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料（如纸板）制

作模型，提高学生识图和画图的能力，培养其探究精神和意识.

教学

教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图和直观图，还原或想象

重、出原实际图的结构特征.

教学难点：识别三视图所表示的几何体.

难点

教学

多媒体课件

准备

一、导入新课：

“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不

教学过同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这

程堂课我们主要学习空间几何体的三视图.在初中，我们已经学习了正方体、

长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画

出空间几何体的三视图吗？教师点出课题：投影和三视图.

二、讲授新课：

提出问题

13

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①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同

学们考虑它们是怎样得到的？

图1

②通过观察和自己的认识，你是怎样来理解投影的含义的？

③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？

图2

④图2(2)(3)都是平行投影，它们有什么区别？

⑤观察图3,与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的

影子和原图形的形状、大小有什么区别？

I正投影I［定是；角鹿||•:角形・定相似］

图3

活动：①教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片.

②从投影的形成过程来定义.

③从投影方向上来区别这三种投影.

④根据投影线与投影面是否垂直来区别.

⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点.

14

2017-2018学年高一数学人教A版必修2教案

讨论结果：①这种现象我们把它称为是投影.

②由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，

这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏

幕叫做投影幕.

③图2(1)的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为

中心投影；图2(2)和(3)的投影线平行，我们把在一束平行光线照射

下形成投影称为平行投影.

④图2(2)中，投影线正对着投影面，这种平行投影称为正投影；图2(3)

中，投影线不是正对着投影面，这种平行投影称为斜投影.

⑤在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是全

等的平面图形；在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原

平面图形是相似的平面图形.以后我们用正投影的方法来画出空间几何体

的三视图和直观图.

知识归纳：投影的分类如图4所示.

pH中心投影I

|投影卜.正投影|

U平行投影］

T斜投影I

图4

提出问题

①在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视

图，请你回忆三视图包含哪些部分？

②正视图、侧视图和俯视图各是如何得到的？

③一般地，怎样排列三视图？

④正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上

方观察到的几何体的正投影图，它们都是平面图形.观察长方体的三视图，

你能得出同一个几何体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关

系吗？

讨论结果：①三视图包含正视图、侧视图和俯视图.

②光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的正视图

(又称主视图)；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该

15

2017-2018学年高一数学人教A版必修2教案

几何体的侧视图（又称左视图）；光线从几何体的上面向下面正投影，得

到的投影图叫该几何体的俯视图.

③三视图的位置关系：一般地，侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图

的下边.如图5所示.

口

正视图侧视图

俯视图

图5

④投影规律：

（1）正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和

长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽

度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽

度.

（2）一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，

侧视图和俯视图宽度一样，即正、俯视图一一长对正；主、侧视图一一高

平齐：俯、侧视图一一宽相等.

画组合体的三视图时要注意的问题：

（1）要确定好主视、侧视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所

画的三视图可能不同.

（2）判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们

的生成方式，特别是它们的交线位置.

（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图

中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出.

（4）要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本

特征，即正、俯视图长对正；正、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等，前

后对应.

由三视图还原为实物图时要注意的问题：

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我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图

加工零件，需要由三视图还原成实物图，这要求我们能由三视图想象它的

空间实物形状，主要通过主、俯、左视图的轮廓线(或补充后的轮廓线)

还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合

体的组成，然后利用轮廓线(特别要注意虚线)逐步作出实物图.

应用示例

例1画出圆柱和圆锥的三视图.

活动：学生回顾正投影和三视图的画法，教师引导学生自己完成.

解：图6(1)是圆柱的三视图，图6(2)是圆锥的三视图.

(1)(2)

图6

点评：本题主要考查简单几何体的三视图和空间想象能力.有关三视图的

题目往往依赖于丰富的空间想象能力.要做到边想着几何体的实物图边画

着三视图，做到想图(几何体的实物图)和画图(三视图)相结合.

变式训练

说出下列图7中两个三视图分别表示的几何体.

答案：图7(1)是正六棱锥；图7(2)是两个相同的圆台组成的组合体.

例2试画出图8所示的矿泉水瓶的三视图.

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活动：引导学生认识这种容器的结构特征.矿泉水瓶是我们熟悉的一种容

器，这种容器是简单的组合体,其主要结构特征是从上往下分别是圆柱、

圆台和圆柱.

正视图侧视图

俯视图

图8图9

解：三视图如图9所示.

点评：本题主要考查简单组合体的三视图.对于简单空间几何体的组合体,

一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图.

变式训练

画出图10所示的几何体的三视图.

正视图侧视图

俯视图

图10图11

答案：三视图如图11所示.

课堂小结：

本节课学习了：

1.中心投影和平行投影.

2.简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律.

3.由三视图判断原几何体的结构特征.

布置作业：

习题1.2A组第1、2题.

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板书设

计

教学反

思

课题1.2.3空间几何体的直观图修改与创新

通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高

教学

学生识图和画图的能力，培养探究精神和意识，以及转化与化归的数学

目标

思想方法.

教学教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图.

重、教学难点：直观图和三视图的互化.

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难点

教学

多媒体课件

准备

一、导入新课：

正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图

的直观性较差，因此绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心

投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复杂，又不易

度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.

把空间图形画在纸上，是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的

不是空间图形的真实形状，而是它的直观图.

二、讲授新课：

提出问题

①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？

教学过②上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤.

③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别

程

是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD—A'B'C'D'的直观图.

④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不

同？并总结画几何体的直观图的步骤.

活动：①和③教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤，

让学生发表自己的见解，教师及时给予点评.

②根据上述画法来归纳.

③让学生比较两种画法的步骤.

讨论结果：①画法：1°如图1(1),在正六边形ABCDEF中，取AD所在

直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点0.在图1(2)中，

画相应的x'轴与y'轴，两轴相交于点0',使Nx，0,y'=45°.

2°在图1(2)中，以0'为中点，在x'轴上取A'D'=AD,在y'轴

上取M'N'=，MN.以点N'为中点画B'C'平行于x'轴，并且等于BC；

2

再以M'为中点画E'F'平行于x'轴，并且等于EF.

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3°连接A'B',C'D',D'E',F'A',并擦去辅助线x'轴和

y'轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A'B'C'D'E'P'

（图1⑶）.

②步骤是：1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点0.

画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点0',且使

Nx'O'y，=45°（或135。），它们确定的平面表示水平面.

2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'

轴或y'轴的线段.

3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于

y轴的线段，长度为原来的一半.

③画法：1°画轴.如图2,画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点0,使

Zx0y=45°,Zx0z=90°.

图2

2°画底面.以点0为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取

3

线段PQ,使PQ=-cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x

2

轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D,四边形ABCD就是长方体

的底面ABCD.

3°画侧棱.过A、B、C、1）各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上

分别截取2cm长的线段AA'、BB'、CC'、DD,.

4°成图.顺次连接A'、B'、C'、D',并加以整理（去掉辅助线，将

被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图.

点评：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选

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取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但是要求图形具有一定的立

体感.

④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐

标系，而画水平放置平面图形的直观图实际上建立的是平面直角坐标系.

画几何体的直观图的步骤是：

10在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴0x、Oy,

再作0z轴,使Nx0y=90°,Zy0z=90°.

2°画出与0x、Oy、0z对应的轴O'x'、O'y'、O'z',使

Zxz0,y'=45°,Zy<0,z'=90°,x'O'y'所确定的平面表示

水平平面.

3°已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别

画成平行于x'轴、y'轴和z'轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的

位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.

4°已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变，

平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.

斜二测画法的作图技巧：

1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都

行，但实际作图时，-一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为

坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂

直正交的直线为坐标轴等.

2。在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与X，轴或X

轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，

画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些

关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而

画出.

3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们

只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平

平面的直观图.

应用示例

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例1用斜二测画法画水平放置的圆的直观图.

活动：学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流.教师

适当点评.

解：(1)如图3(1),在。0上取互相垂直的直径AB、CD,分别以它们所

在的直线为x轴与y轴，将线段ABn等分.过各分点分别作y轴的平行

线，交。。于E,F,G,H,…，画对应的x'轴和y'轴，使Nx'O'y,=45°.

图3

(2)如图3(2),以0'为中点，在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取

C;D,=-CD,将卜B，n等分，分别以这些分点为中点，画与y'轴平

2

行的线段E'F',G'H',…，使E'F'==EF,G，H'=%”,•••.

22

(3)用光滑曲线顺次连接A',D',F',H',…，B',G',E',C',

A'并擦去辅助线，得到圆的水平放置的直观图(图3(3)).

点评：本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.

变式训练

1.画水平放置的等边三角形的直观图.

答案：略.

2.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是()

A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x'轴，长度不变

B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y'轴，长度变为原来

的一

2

C.在画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时，Nx'O'y'必须是45°

D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

分析：在画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时，/x'O'y'也可以

是135°,所以C不正确.

答案：C

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例2如图4,已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征.教师

分析：

由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部

是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我

们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥.

解：画法：

(1)画轴.如图5(1),画x轴、y轴、z轴，使/x0y=45°,Zx0z=90°.

图5

(2)画圆柱的两底面，仿照例2画法，画出底面00.在z轴上截取0',

使00'等于三视图中相应高度，过0'作Ox的平行线O'x',Oy的平行

线O'y',利用O'x'与0,y'画出底面。0，(与画。。一样).

(3)画圆锥的顶点.在0z上截取点P,使P0'等于三视图中相应的高度.

(4)成图.连接PA',PB',NA,B'B,整理得到三视图表示的几何

体的直观图(图5(2)).

点评：空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间

几何体的三视图得到它的直观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得

到它的三视图.

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