2016最高考实战演练数学答案

实战演练•高三数学参考答案与解析

南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试(一)

1.1解析：由NM知1GM,则x=l.本题考查了集合的子集的概念.本题属于容易

题.

a+i

2.-1解析：z=-=l-ai的实部与虚部相等，则1=-a.本题主要考查复数的实部

与虚部的概念及除法运算等基础知识.本题属于容易题.

3.1解析:环数9,10,9,7,10的平均数为9,S2=2岁一⑺？+2(*―9)-+(7-9)2

=2本题考查了方差的概念及计算公式.本题属于容易题.

4.0.3解析：P(乙获胜)=1-P(甲获胜)一P(甲、乙和棋)=1-0.2—05=0.3.本题考查了

对立事件和互斥事件的概率.本题属于容易题.

5.坐解析：抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则双曲线X?—y2=a2(a>0)的右焦点为(1,

0),即c=l,则a?+a2=l.而a>0,则a=^.本题考查抛物线与双曲线方程与及其焦点等基

础知识.本题属于容易题.

6.42解析：由题设可知，循环体执行3次，从而有S=0+8+14+20=42.本题考查了

算法语句的基本概念.本题属于容易题.

7.8解析：由题设可知线性规划的可行域的四个顶点坐标分别为(0,0),(0,1.5),(1,

2).从而(x+y)ma、=1+2=3.则2*+丫的最大值为8.本题考查了线性规划的应用.本题属于容

易题.

8...解析：圆锥的底面面积为口，侧面积是2n=；1X2n,则1=2,又底面半径

为1,可得h=,,则丫=卜卜=殍.本题考查圆锥的基本概念，侧面与底面的关系及面积

与体积的计算.本题属于容易题.

5nnT2n(nAJI

9.解析：/=5，则T=冗=—,得o)=2,sin(2xo+%J=O,则2乂()+不=n,

xo=".本题考查三角函数图象的周期性以及对称性，属于容易题.

,3x2+y2x2-2xy+y2+2xy(x-y)2+4

10.4角窣析：由log2x+log2y=],得xy=2,=----------------=------------=

4x2+y2

x-y+—^4,则一匕的最小值为4.本题考查对数的运算以及基本不等式的运用.本题属

JX—yx-y

于中等题.

11.必要不充分解析：a〃b可得sin2。=cos2。=2sin。cos。，则cos。=0,或cos

0=2sin0,即cos0=0(tan0不存在)，或tan。=]；由tan。=；,得cos。=2sin。,cos2

o=2sinocoso,则4%.因此“a〃b”是“tan0必要不充分条件.本题考查必要不充

分的概念、向量共线的坐标运算以及同角三角函数的关系及正弦的二倍角公式运用.本题属

于中等题.

12.y[\0解析：6C2=(^|OA+^OB^=y1dA2+2-^OA•1dB+^dB2,即/=磊2+学

r2cosZAOB+，整理化简得cosNAOB=一5，过点O作AB的垂线交AB于D,则cos

ZAOB=2cos2ZAOD-l=-g,得cos2/AOD=g.又圆心到直线的距离为OD=g=[L所

icr)27

以cos2/AOD=：=翠=f,所以*=10,r=E.本题考查了直线与圆、向量的数量积、二

倍角公式，点到直线的距离公式等内容.本题属于难题.

13.[-5,-2]解析：xG(O,2]时，f(x)=2*-l为增函数，值域为(0,3],因为f(x)是

定义在[-2,2]上的奇函数,所以f(x)在[-2,2]上的值域为[-3,3],函数g(x)=x2—2x+m

在xG[—2,2]上的值域为[m—1,m+8].因为对任意的X]G[—2,2],都存在X2d[—2,2],

使得g(X2)=f(xi),所以f(x)在[-2,2]上的值域是g(x)=x2—2x+m在xG[—2,2]上的值域

的子集，所以，m-lW—3且m+823,即[-5,-2].本题主要考查函数的单调性、奇偶

性、最值、值域，以及任意性，存在性等内容.本题属于难题.

(—2,)11—1

14.j解析：(方法1)先采用列举法得a1=-1,a2=l,a?=-3,a4=5,

n+ln

=-11,a6=21,…，然后从数字的变化上找规律，得an+1-an=(-l)2,再利用累加法

即可.

(方法2)因为a2n+|-a2n=±22n,a2n-a2n-l=±22nT,所以两式相加，得a2n+1—22「1二士??”

±22n-1,而卜2广|｝递减，所以a2n+l-a2n-l<0，故a2n+|-a2n=-22%同理，由｛a2n｝递增，得

a2n-a2n-i=22nT及a2>a”所以斯+1_诙=(_1)-+时,以下同上.本题主要考查数列的单调

性、列举法和累加法.本题属于难题.

15.解：(1)由题意，得yi=sina,y2=sin(a+/~)=cosa,(4分)

所以f(a)=sina+cosa=gsin(a+w).(6分)

因为aG(0,9，所以a+：-G传，

故f(a)6(l,烟.(8分)

(2)因为QC)=6sin仔+。=卜,又Ce(0,yj,所以C=?.(10分)

解得b=1.(14分)

(说明：第(2)小题用正弦定理处理的，类似给分)

16.证明：⑴连结BC”设BC|DB|C=F,连结OF,(2分)

因为0、F分别是BQ与B|C的中点，所以OF〃DC,5.OF=|DC.

又E为AB中点，所以EB〃DC,且EB=；DC,

。二

从而OF〃EB,OF=EB,即四边形OEBF是平行四边形，

所以OE〃BF.（6分）

又OE平面BCC|B|,BF平面BCC|B|,所以OE〃平面BCC1B].（8分）

（2）因为DC_L平面BCCIBI，BC,平面BCQB”

所以BCi_LDC.（10分）

XBC1±B,C,且DC,B,C平面B|DC,DCCIB|C=C,

所以BG，平面BQC.（12分）

而BCi〃OE,所以OE_L平面BiDC.

又0E平面BQE,所以平面BQC_L平面BQE.(14分)

17.解：(1)由题意知，直线1的方程为y=2(x—a),即2x—y—2a=0,(2分)

右焦点F到直线1的距离为国^=乎，a—c=1.(4分)

2V2

又椭圆C的右准线为x=4,即氏=4,・・・c=亍，将此代入上式解得a=2,c=l,b2

=3,b=小.

22

椭圆C的方程为亍+3=1.(6分)

(2)由(1)知B(0,小)，F(l,0),

，直线BF的方程为丫=一小(x-l),(8分)

y=一正(X—1),

联立方程组，孑_]

智,（12分）

直线1的斜率k=.（14分）

18.解：(1)因为CD=50-t=30,解得t=20.(2分)

此时圆E：x2+(y-20)2=302,令y=0,得人0=1帖，

所以OD=AD-AO=24小一1附=14小，将点C(14小，30)代入y=-ax2+50(a>0)

中，

解得a=49.(4分)

(2)因为圆E的半径为50-t,所以CD=50-t,在丫=-a*2+50中令y=50—t,得OD

=yjl，则由题意知FD=50—1+也W75对tG(0,25]恒成立，(8分)

所以+新成立，而当g关，即t=25时，/+,取最小值10,

故、gw10,解得a2焉.(10分)

(3)当a==时，OD=5，i,又圆E的方程为x2+(y-t)2=(50—tR令y=0,得x=±

叭25-t,所以AO=10\/25—t.

从而AD=f(t)=l"25—t+5Vi(0vtW25).(12分)

因为「⑴=5.告+龙=”第字)，

令f(t)=O,得t=5,(14分)

当te(o,5)时,f'(t)>0,f(t)单调递增；当te(5,25)时,f'(t)vo,f(t)单调递减,从而

当t=5时，f(t)取最大值为25小.

答：当t=5m时，AD的最大值为25小m.(16分)

(说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法来解决，类似给分)

19.(1)解:，：数列｛aj是各项均为正数的等比数列，

••a]a5=a：=64,■•a?=8.

2

S5-S3=48,a4+a5=8q+8q=48,q=2,

an=8-2n3=214分)

(2)证明：(i)必要性：设5a”am，为这三项经适当排序后能构成等差数列，

①若2-5ak=am+a”则102k=2m+2l,

10=2m-k+2Hk,5=2m-k_l+2|_|!~,,

k-i=],]m=k+l,

••♦1.k-j♦.•]l=k+3.母分)

②若2am=5ak+a“则2・2m=5-2k+*；.2m+,-k-21-k=5,左边为偶数，等式不成立.

③若2ai=5ak+am，同理也不成立.

综合①②③，得01=1<+1,l=k+3,必要性成立.(8分)

(ii)充分性：设m=k+l,l=k+3,

则由这三项为即调整顺序后易知

5ak，am,5ak，ak+i，ak+3，5ak，2ak,8ak,2ak，5ak,

8ak成等差数列，所以充分性也成立.

综合(i)(ii),原命题成立.(10分)

(3)解：因为aibn+a2bn-i+a3bn-2+…+2加1=3,2""-4n—6,

即23nn+l

2'bn+2bn-|+2bn-2^----F2bi=3,2—4n-6,(*)

当时，23nn

n222'bn-I+2bn^+2bn-3H------F2^b,=3-2-4n-2,(**)

则(**)式两边同乘以234nn+1

2,2bn-1+2bn-2+2bn-34------l-2b,=3-2-8n-4,(***)

(*)-(***),得2bn=4n—2,即bn=2n—l(n)2).

又当时,即适合

n=l2b1=322—10=2,5=],bn=2n-l(n22),bn=2n-1.(14

分)

・bn2n-1.bn_bn-i2n-12n—35—2n

•,.=2n，•,.―京=2n_=2n'

bn]

/.n=2时,->0,即黔;

An3n-l32a1

...n)3时，<0,此时单调递减,

a113n-lldnj

又近—L坛—3£也—Z_•_L<1ziz-/k\

X-,-,-,-,<<A(16

a12a24a38a416**16^2-

20.(1)解：①由题意,得h(x)=(f(x)—g(x)y=(e、-mx—ny=eX—m,

所以函数h(x)在x=0处的切线斜率k=1—m.(2分)

又h(0)=l—n,所以函数h(x)在x=0处的切线方程y—(1—n)=(l—m)x,

将点(1,0)代入，得m+n=2.(4分)

②当n=0,可得h<x)=(eX—mx)，=eX—m,

因为x>—l,所以

当mW、时,hr(x)=ex—m>0,函数h(x)在(一1,+8)上单调递增，而h(0)=L

所以只需h(—l)=1+meo,解得m2一

从而-FwmW±(6分)

当m>：时，由h，(x)=eX—m=0,解得x=lnm£(—1,+°°),

当x£(—1,Inm)时，h'(x)<0,h(x)单调递减;当x£(lnm,+°°)0'1,hr(x)>0,h(x)

单调递增.

所以函数11依)在(一1,+8)上有最小值为h(lnm)=m—mlnm,

令m-mlnm>0,解得m〈e,所以9Vm<e.

综上所述，me—I，e).(10分)

n

⑵证明：由题意,《)=合+曲=/+受=%+岛,

ox+-

m

14x

而r(x)=6+《3》l等价于ex(3x-4)+x+4^0,

令F(x)=e、(3x—4)+x+4,(12分)

则F(0)=0,且F(x)=eX(3x—l)+l,F'(0)=0,

令G(x)=F/(x),则G'(x)=ex(3x+2),

因为x20,所以G，(x)>0,

所以导数F(x)在［0,+8)上单调递增,于是F(x)2F(0)=0,(14分)

从而函数F(x)在［0,+8)上单调递增，即F(x)》F(0)=0.

从而，当x》0时，r(x)2l.(16分)

南通市2015届高三第一次调研测试(二)

1.{-1}解析：本题主要考查集合的交集运算，属于容易题.

113—4i3—4iI

2.2解析：2=出=c仆=次，z的模为"本题主要考查复数的概

,3十41(3十41)(3-41)2D3

念及四则运算等基础知识.本题属于容易题.

3.93解析：高二年级应抽取的学生人数为930X盗=93.本题主要考查了分层抽样的

ZoUU

概念，属于容易题.

4.(-1,3)解析：由一X2+2X+320,得定义域为(-1,3).本题主要考查了对数函数

的定义域和一元二次不等式的解法，属于容易题.

5.59解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环x=3,y=7,第2次循环x

=13,y=33,第3次循环x=59,y=151,则输出的x=59.本题考查流程图基础知识，关键

把握每一次循环体执行情况.本题属于容易题.

31

6.法解析：基本事件数共36种，两个点数之积小于4的基本事件有(1,1),(1,2),

(1,3),(2,1),(3,1)五种，不小于4的有31种，两个点数之积不小于4的概率为H.本题

考查了古典概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数.本题属于容易题.

7.4啦解析：底面边长为2,高为1,则侧棱长为小，侧面的上斜高为小，一个侧面

的面积为啦，则正四棱锥的侧面积为4啦.本题考查了正四棱锥的侧面积，边长，高，侧棱，

斜高.本题属于容易题.

8.x2-^=l解析：设双曲线的方程为4x2—y2=入，经过抛物线焦点(1,0),则

入=4,所以双曲线的方程为x2-1=l.本题考查了抛物线焦点坐标，双曲线渐近线、双曲线

方程.本题属于容易题.

9.-3或一4解析：y=2x一/(mGR,m¥-2)在x=1处的切线斜率为m+2,切点为

(1.2-m),切线方程为(m+2)x—y—2m=0,在两坐标轴上的截距为、粗-2m=12,化简得

m2+7m+12=0,m的值为一3或一4.本题考查了导数的几何意义，直线方程，直线在两坐标

轴上的截距等概念.本题属于中等题.

Jr(nA,nJi

10.j解析：f(x—(P)=sin(2x—2(p+司是偶函数，则一2中+不=5+1<n,而<p是锐角，

则q)=T>.本题考查了三角函数的奇偶性，诱导公式等内容.本题属于中等题.

11.200解析：由ai+a2W60,az+asWlOO得2ai+dW60,2ai+3d<100,ai>0,d>0.由

线性规划的知识得5a】+a5=6ai+4d,过点(20,20)时，取最大值为200.本题考查了等差数

列的通项公式，线性规划等内容.本题属于中等题.

9

12.解析：函数y=aX+b(b>0)的图象经过点P(l,3),得a+b=3,即a—l+b=2,

411A41A1「4b1~|1Q

1+b)=]4+1+UJ+H(a—1)2](5+4)=2.本题考查了函数

的图象，1的代换，基本不等式等内容.本题属于中等题.

13.币解析:取AC的中点N,则最)=4而+R6,ONXAC,则最)«AC=(AN+Nd)AC

=；|京|•同理n.AB—2)AB|-XAO,AM=4,则Ab,AM^^AO,(AB+AC)=||XB|2+

||AC|2=4.得AB=，^.本题考查了向量的分解、垂径定理、数量积等内容•本题属于中等

题.

lWx<2,

14.11解析：作出函数f（x）=的图象，函数y=2xf（x）—3的零

3.3

点为方程f（x）=A的解，即零点个数为函数y=f（x）与函数y=公图象交点个数，通过图象可

得零点为尹2口nWN",令015,得IWnWIL本题考查了分段函数、函数的

图象、零点、指数等内容的综合运用，体现了数形结合思想.本题属于难题.

-4-rt----------------------------------------------------——

15.解：（1）（解法1）在AABC中，由正弦定理，及bcosC+ccosB=2acosA,

得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,即sinA=2sinAcosA,（3分）

因为A£（0,n），所以sinAWO,所以cosA=g,（6分）

所以A=].（8分）

（解法2）在AABC中，由余弦定理，及bcosC+ccosB=2acosA,

卜2+2—2.

所以a2=b2+c2—be,所以cosA=----诋-=》（6分）

因为AW（0,冗）,所以A=4（8分）

（2）由AB•AC=ebeosA=y[3,得bc=25,（11分）

所以4ABC的面积为S=/bcsinA=/X2"\/5sin60°=,（14分）

16.（1）证明：因为ABCAiBiCi是直三棱柱,

所以CC」平面ABC.

因为BC平面ABC,所以CC』BC.（2分）

因为AC_LBC,CC|CAC=C,CCpAC平面ACGA1，

所以BC，平面ACC1A1.（4分）

因为AM平面ACC1A1，所以BC_LAM.（6分）

（2）解：（解法1）如图1,取AB1的中点P,连结NP,PM.

因为N是AB的中点，所以NP〃BB|.（8分）

因为CM〃BB”所以NP〃CM,

所以NP与CM共面.（10分）

因为CN〃平面AB|M,平面CNPMC1平面AB|M=MP,

所以CN〃MP.（12分）

所以四边形CNPM为平行四边形，

所以CM=NP=%G=2.（14分）

（解法2）如图2,设NC与CG确定的平面交AB|于点P,

连结NP,PM.

因为CN〃平面ABjM,CN平面CNPM,平面AB|MCl平面CNPM=PM,

所以CN〃MP.（8分）

因为BBi〃CM,BB|平面CNPM,CM平面CNPM,

所以BB|〃平面CNPM.（10分）

又BB|平面ABB”平面ABB〕C平面CNPM=NP,

所以BBi〃NP,所以CM〃NP,所以四边形CNPM为平行四边形.（12分）

因为N是AB的中点，

所以CM=NP=；BB|=1CG=2.（14分）

（解法3）如图3,取BBI的中点Q,连结NQ,CQ.

因为N是AB的中点，

所以NQ〃AB1.

因为NQ平面AB|M,AB,平面AB|M,

所以NQ〃平面AB）M.（8分）

因为CN〃平面AB〕M,NQDNC=N,NQ,NC平面NQC,

所以平面NQC〃平面AB|M.（10分）

因为平面BCCBC平面NQC=QC,平面BCCBH平面AB1M=MB1,所以

CQ〃MB|.（12分）

因为BBi〃CG，所以四边形CQB|M是平行四边形，

所以CM=B,Q=1CC1=2.（14分）

（解法4）如图4,分别延长BC,B|M,设交点为S,连结AC.

图4

因为CN〃平面AB]M,CN平面ABS,

平面ABSC平面AB|M=AS,

所以CN〃AS.（IO分）

由于AN=NB,所以BC=CS.

又CM〃BB1,同理可得SM=MB”

所以CM=；BBi=；CC|=2.（14分）

2

17.解：（1）由题意，得a=2c=2,b2=a2-c2=3,所求椭圆的方程为点+、v=1.（4分）

（2）设B到直线AC的距离为h,由于S|=2S2,

所以料2•h=2X；F2c•h,即AF2=2FZC,

所以AF2=2F2c.（6分）

（解法1）设A（x「y,）,CM，y2））又F2（l,0）,

X|=3—2x2,

则（1—X|,—yi）=2（X2_1,ya）,即（8分）

yi^—2y2.

=1,

由22解得,

（3-2X2）（~2y2）

1,

4「3

±3—

所以直线1的斜率1<=卢=±坐.（14分）

4-

（解法2）由⑴知，xi=3—2x2.（8分）

22

设点A（xi，y）到椭圆于+、=1右准线x=4的距离为d,

则4所以AF2=2—gxi，同理CFz=2一支.

由AF2=2F2C,得2-1XI=2（2一1X2），

即X2=2+1XI.（10分）

所以X2=：7（以下同解法1）.（12分）

（解法3）椭圆的右准线为直线x=4,

分别过A,C作准线的垂线，

过C作CHLAA，，垂足为H.（如图）

CFAF

由于•22（10分）

CC'一AA

又AF2=2F2C,在RtACAH中，

AC=3F2C,AH=2F2C,所以CH=V5F2C,

所以tanZCAH=^.（12分）

18.解：（1）（解法1）如图1,过B作圆C的切线BE,切点为E,设圆C所在平面上入口

中点为A,连结CA,CE,CB,则CE_LBE,CA±AB,则摄像水平视角为NABE时、水平

4

摄像视角最小，在RtZkABC中，AB=10,AC=8,tanNABC=：（2分）

在RtZ\BCE中，CE=2A/LBE=NCB2—CE2=12,

tan/CBE=乎，(4分)

所以tanZABE=tan(ZABC+ZCBE)=

=1+童

—1十10'

所以最小摄像视角的正切值为1+嗜.（8分）

（解法2）如图2,过B作圆C的切线BE,切点为E,设圆C所在平面上入口中点为A,

连结CA,CE,CB,贝l」CE_LBE,CA±AB,

则摄像视角为/ABE时，摄像视角最小.

在平面ABC内，以B为原点，BA为x轴建立直角坐标系，则C（10,8）,设直线BE的

方程为y=kx,

由圆C与直线BE相切，得2小=耳胃k（4分）

y/k+1

解得k=l土靖（其中k=l-嗜不合题意，舍去）.

答：所以最小摄像视角的正切值为1+需.（8分）

（2）（解法1）当NABE=60。时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大.

在平面ABC内，以B为坐标原点，BA为x轴建立平面直角坐标系，

所以直线BE的方程为y=45x,（12分）

所以CE=f^£]=5S-4,则圆C的最大半径为5小一4m.（16分）

（解法2）设圆盘的最大半径为r,当NABE=60。时，若直线BE与圆C相切，则圆C的

半径最大.

4

在RtZXABC中，AB=10,AC=8,tan/ABC=§.

在RtZiBCE中，CE=r,BE=^CB2-CE2=Ay164-r2,

3/08£=而鼻.（10分）

164—rr-

由tan/ABE=tan(/ABC+/CBE),得-------------=小，(12分)

1-TX

5J164-?

即164—r2+5r=y[3(5\]164—r2—4r),

所以(54§-4)\164—*=(5+4小)1',即”=91一4丽=(5小一4)2,

所以r=5小一4.(15分)

答：圆C的最大半径为5小一4m.(16分)

19.解：(1)当a=0时,f(x)=3xlnx,所以P(x)=3(lnx+1).(2分)

令股)=0,得x=:，

当xG((),§时，f((x)<0；当xcg，+8)时，f'(x)>0,

所以f(x)在(0,§上单调递减，在Q，+8)上单调递增.(4分)

所以，当x=：时，*x)有极小值0=一誉(6分)

(2)(解法1)设g(x)=P(x)=3(ax2+l+lnx),D=(；,e)

由题意，g(x)在D上有且只有一个零点Xo，且Xo两侧g(x)异号.

①当a20时，g(x)在D上单调递增，且g(x)>gQ)》O,

所以g(x)在D上无零点；(8分)

②当aVO时，在(0,+8)上考察g(x)：

6alx+

gz(x)=^—，令g(x)=0,得xi=

g(x)在(0,X1)上单调递增，在(X1，+8)上单调递减.(10分)

(i)当g(e)-gQ)<0,即画+2)看<0，即一"a<0时，g(x)在D上有且只有一个零点

Xo,且在Xo两侧异号.(13分)

(ii)令g(：)=0,得||=0,不可能.

(iii)令g(e)=O,得a=一1所以\^^=养口，

g(V-S)=g©=3H+1+ln8

=咆+啮)>0.

又g(E)=寻所以g(x)在D上有且只有一个零点x(p且在xo两侧g(x)异号.

综上所述，实数a的取值范围是［一10).(16分)

(解法2)令f(x)=3(ax2+1+lnx)=0,得一”.(8分)

1+lnx,1+21nx./口1(\\

设h(x)=x?，由h，(x)=——?—,令h<x)=O,得x()=e—ej,

当x£(xo,e),h'(x)V0,所以h(x)在(x(),e)上为减函数；

当xeg,Xo),h'(x)>0,所以h(x)在Q,Xo)上为增函数，所以Xo为h(x)的极大值点.(11

又h⑥=0,h(e)=1,h(x0)=1e,

2121

所以0V—aW最或一a=/e,即一/WaVO或a=1]e.(13分)

当a=—ge时，F(x)=3(—；ex?+1+lnx).

1、

设m(x)=—/ex.+l+lnx,

令m，(x)=O,得x=e一

当xe(±,e—g),m'(x)>0,所以m(x)在g,e?)上为增函数；

当xG(e—e),m,(x)<0,所以m(x)在(e—/e)上为减函数.

所以m(x)Wm(e—：)=0,即f(x)W0在g,e)上恒成立，

所以f(x)在Q,e)上单调递减.

所以当a=—；e时;f(x)在(%e)上不存在极值点.

所以实数a的取值范围是［—表0).(16分)

2

20.(1)证明：由数列｛aj的前n项和Sn=1(n+3n)(neN,),

1,11=1,

Si,n—1,11*

得an=/+/Q2可+剃6).Q分)

Sn—Sn-i，n、2

4(n+1)

aa22n+2

所以:n+L.Eg分)

20+2

111Q

因为对任意MN*，。<干V，即1<1+EV，

所以1<手=1+±忘,，

ann+12

所以9即㈤｝是“紧密数列”.(6分)

乙an

(2)解：(解法1)由数列｛%｝是公比为q的等比数列,得口=手，

dn

因为｛%｝是“紧密数列"，所以1WqW2.(8分)

①当q=l时，Sn=na1，所以;W1V^ii=^^=l+；W2.

Of|nnNOnnn

故q=l时，数列｛Sn｝为“紧密数列"，故q=l满足题意.(10分)

,ai(1—q11)n|Sn+i1—qn1

②当q*l时，Sn=[_q>则K=]_qn-

因为数列｛S0｝为“紧密数列”，所以:・沪=\冬忘2对于任意nGN*恒成立.

NDn1q

11..[qn(2q—1)Wl,*

(i)当;WqV]时，5(l-qn)<l-qn+l<2(l-qn),即0,八、对于任意nGN

乙乙[q(q—2)£—1

恒成立.

3

因为OVqnWqVl,0^2q-l<l,—1Wq—2V—1,

所以qn(2q—l)<q<l,qn(q—2)>q(q—2)^^X1)=—)

1fqn(2q-l)Wl,*

所以，当太q<l时，n,、、对于任意n£N恒成立.(13分)

/lq(q—2)3―1

1[qn(2q—1)21,*

(ii)当l<qW2时,5(qn-l)^qn+l-l<2(qn-l),即：，八”,对于任意nWN

/lq(q—2)£—1

恒成立.

[q(2q—1)21,

因为qn2q>l,2q-l>l,-Kq-2^0,所以,解得q=l.

[q(zq—2)W—1,

又l<q<2,此时q不存在.

n-i

综上所述，q的取值范围是仁，1](16分)

(解法2)因为｛aj是“紧密数列”，所以;WqW2.(8分)

①当q=l时，Sn=na1，所以1十;W2,

Opnn/Opnri

故q=l时，数列｛Sn｝为“紧密数列"，故q=l满足题意.(10分)

n1

e*HI叶«ai(1—q“),Sn-nl-q

②当q#l时，Sn-———,贝啜-Lq"•

因为数列｛SJ为“紧密数列”，所以寺W寺iu-T*WZ对于任意ndN*恒成立.

乙，1q

11..fq11(2q—1)WL

(i)当；<q<l时，5(l-qn)^l-qn+,^2(l-qn),即_i、一对于任意nGN

//lq(2—q)

q(2q—1)<1,i

恒成立，所以…、1解得/WqVl.(13分)

q(2—q)W1,乙

Ifq(2q—1)21,

(ii)当：Wq<l时，同理可得无解.

乙lq(2—q)

综上所述，q的取值范围是修，1](16分)

苏州市2015届高三调研测试(三)

1.(-2,1］解析：本题考查集合概念及基本运算.本题属于容易题.

2.1解析：2+3i=ai—b,则a=3,b=—2,a+b=l.本题考查复数的基本运算.本题

属于容易题.

3.6解析：丁=牛=?，则k=6.本题主要考查了三角函数周期性求法.本题属于容易

题.

4.3解析：乙组中应抽取的城市数为6Xm=3.本题主要考查了分层抽样的概念，属于

容易题.

5.2解析：S5=5ai+10d=5,a44-a6=10=2ai+8d,则d=2.本题考查了等差数列的通

项公式与前n项和公式，考查了方程(组)的思想.本题属于容易题.

6.9解析：由题设流程图的循环体执行如下：第1次循环a=3,b=2；第2次循环a

=5,b=2；第3次循环a=7,b=2；第4次循环a=9,b=2；本题考查流程图基础知识，

关键把握每一次循环体执行情况.本题属于容易题.

7.x2—4=1解析：a=l,e=£=2,得c=2,则b?=c2—a?=3,双曲线的标准方程为

Da

X2—1=1.本题考查了抛物线的焦点以及双曲线的有关概念和标准方程求法.本题属于容易

题.

8.1解析：以(x,y)为坐标的点有(-1,-2),(-1,0),(—1,2),(1,-2),(1,0),

(1,2),满足x+2y2l的点有(-1,2),(1,0),(1,2),所以所求的概率为:.本题考查了古典

概型求法，主要是用列举法列出基本事件总数.本题属于容易题.

9.啦解析：由1—去>0,得2、>a,则x>k>ga2，而x>g,则k>ga2=；,得@=也.本题考

查了对数函数的定义域以及对数式与指数式的转化.本题属于容易题.

10.R解析：侧面展开图是半径为2的半圆面，半圆弧长为2n=2nr,则r=l,

圆锥的高为小，圆锥的体积为坐几本题主要考查空间几何体的体积.本题属于容易题.

11.4解析：DE=AE-AD=|AC-|AB,BF=BD+DF=-1AB+|DE=-1AB+1

—1ABj=1AC—^AB,BF*DE=QAC—^ABj*QAC—=^AC2+§AB2-3•辰

=2+6-^X4X6XT=4.本题主要考查平面向量的有关运算以及化简变形的能力.本题属于

中等题.

12.(1,2］解析：函数g(x)=f(x)—2x恰有三个不同的零点，即为f(x)=2x恰有三个不

4,x?m,

同的零点，就是函数f(x)=,、与y=2x的图象恰有三个不同的交点.由图象

x2十4x—3,x<m

可知实数m的取值范围为(1,2］,本题考查函数与方程的关系以及函数图象的交点问题.本

题属于难题.

13.［1,5］解析：圆M：(x-iy+(y-l)2=4上存在两点B,C,使得NBAC=60。，

说明点A(x,y)到M(1,1)的距离小于等于4,即(x—l)2+(y—1)2W16,而y=6—X,得X?

一6x+5W0,即1WXW5.点A横坐标的取值范围为［1,5］,本题考查了直线与圆的位置关系，

一元二次不等式的解法等知识，以及数形结合的数学思想.本题属于难题.

3+2地a2+2b2,2,b2-l+l,2,,1,12,11.2

解析：—+^7=3+-+-^-=3+-+6-1+-=-+—=-(-

14.2

卜dr)(a+b+l)=；［2+l+"^-+岛■］出+也.本题考查了代数式的变形，基本不等

DI1/dDI1乙

式的综合运用（1的代换）.本题属于难题.

15.解：（1）：%,sin0—2cos0=0,即tan0=2.（4分）

（吟1+tan91+2

tan"彳尸厂嬴『厂工3.（7分）

（2）由（1）知tan。=2,又。£（0,

/.sin。=邛^，cos。=乎,（9分）

5cos（9—q））=3小cos小，

5（cos。cos<l>+sin6sin小）=3小cos<b,

即小cose+2小sin6=3^/5cos@,

cos4>=sin4>,即tan©=1.（12分）

itn

又0<（p<-p小=彳.（14分）

16.证明：（1）连结ADi，

,/E,F分别是AD和DD|的中点，，EF〃AD1.（2分）

在正方体ABCDA1B1CQ1中，AB〃D〕C|,AB=D1C1,

四边形ABCQi为平行四边形，即有ADi〃BG，（4分）

，EF〃BG.

又EF平面C|BD,BC|平面C,BD,

EF〃平面C|BD.（7分）

（2）连结AC,则ACJ_BD.

在正方体ABCDAiBiCiD,中，AA|_L平面ABCD,

，AA]±BD.

又AA]DAC=A,

BDJ_平面AAiC,

?.A|C_LBD.（11分）

同理可证A|CJ_BC|.

又BDPBC|=B,A]CJ_平面C|BD.（14分）

17.解：设AP=x米，AQ=y米.

（l）x+y=200,AAPQ的面积S=1xysinl20。=^xy.（3分）

...SW半甘3=250岫.当且仅当x=y=100时取“.（6分）

（注：不写“=”成立条件扣1分）

⑵由题意得100X（1-x+1.5•y）=20000,即x+1.5y=200.（8分）

要使竹篱笆用料最省，只需其长度P