2016年广西桂林市中考数学试卷

2016年广西桂林市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分

1.（3分）下列实数中小于0的数是（）

A.2016B.-2016C.D.

2.（3分）如图，直线a〃b,c是截线，N1的度数是（）

A.55°B.75°C.110°D.125°

3.（3分）一组数据7,8,10,12,13的平均数是（）

A.7B.9C.10D.12

4.（3分）下列几何体的三视图相同的是（）

圆柱B.

长方体

5.（3分）下列图形一定是轴对称图形的是（）

A.直角三角形B.平行四边形C.直角梯形D.正方形

6.（3分）计算3-2的结果是（）

A.B.2C.3D.6

7.（3分）下列计算正确的是（)

A.(xy)3=xy3B.x5-rx5=x

C.3X2»5X3=15X5D.5x2y3+2x2y3=10x4y9

8.(3分)如图，直线y=ax+b过点A(0,2)和点B(-3,0),则方程ax+b=0

的解是()

9.（3分）当x=6,y=3时，代数式（）•的值是（）

A.2B.3C.6D.9

10.（3分）若关于x的一元二次方程（k-1）X2+4X+1=0有两个不相等的实数根，

则k的取值范围是（）

A.k<5B.k<5,且kWlC.kW5,且kWlD.k>5

11.（3分）如图，在RtZXAOB中，NAOB=90。，0A=3,0B=2,将Rt/XAOB绕点

0顺时针旋转90。后得RtAFOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90。后得线段ED,

分别以0，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影

部分面积是（）

A.71B.C.3+nD.8-n

12.（3分）已知直线y=-x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-（x

-）2+4上，能使4ABP为等腰三角形的点P的个数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分

13.（3分）分解因式：X2-36=.

14.（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是—.

15.（3分）把一副普通扑克牌中的数字2,3,4,5,6,7,8,9,10的9张牌

洗均匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的数恰为3的倍

数的概率是—.

16.（3分）正六边形的每个外角是度.

17.（3分）如图，在Rt^ACB中，ZACB=90°,AC=BC=3,CD=1,CH_LBD于H,

点。是AB中点，连接OH,则0H=.

18.（3分）如图，正方形OABC的边长为2,以。为圆心，EF为直径的半圆经

过点A,连接AE,CF相交于点P,将正方形OABC从0A与OF重合的位置开始，

绕着点0逆时针旋转90°,交点P运动的路径长是—.

三、解答题：本大题共8小题，共66分

19.（6分）计算：-（-4）+|-5|+-4tan45。.

20.（6分）解不等式组:.

21.（8分）如图，国ABCD的对角线AC,BD相交于点0,E,F分别是0A,0C

的中点，连接BE,DF

（1）根据题意，补全图形；

（2）求证：BE=DF.

22.（8分）某校为了解本校九年级男生"引体向上"项目的训练情况，随机抽取该

年级部分男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），并按测试成绩

（单位：分）分成四类：A类（12WmW15）,B类（9WmWll）,C类（6WmW

8）,D类（mW5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列

问题：

（1）本次抽取样本容量为—，扇形统计图中A类所对的圆心角是一度；

（2）请补全统计图；

（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上"项目成绩

为C类的有多少名？

23.（8分）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计

算公式--海伦公式S=（其中a,b,c是三角形的三边长，p=,S为三角形的面

积），并给出了证明

例如：在AABC中，a=3,b=4,c=5,那么它的面积可以这样计算：

Va=3,b=4,c=5

p==6

，S===6

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数

学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.

如图，在AABC中，BC=5,AC=6,AB=9

（1）用海伦公式求△ABC的面积；

（2）求^ABC的内切圆半径r.

24.（8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出

现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物

品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10

元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同

（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？

（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心

组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？

25.（10分）如图,在四边形ABCD中，AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,ZB=90°,

以AD为直径作圆。，过点D作DE〃AB交圆O于点E

（1）证明点C在圆。上；

（2）求tan/CDE的值；

（3）求圆心O到弦ED的距离.

26.（12分）如图1,已知开口向下的抛物线y1=ax2-2ax+l过点A（m,1）,与

y轴交于点C,顶点为B,将抛物线yi绕点C旋转180。后得到抛物线丫2,点A,B

的对应点分别为点D,E.

（1）直接写出点A,C,D的坐标；

（2）当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线丫2的解析式；

（3）在（2）的条件下，连接DC,线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1

个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线llx

轴，将矩形ABDE沿直线I折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，

点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系.

备用图

2016年广西桂林市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分

1.（3分）（2016•桂林）下列实数中小于0的数是（）

A.2016B.-2016C.D.

【考点】实数大小比较.

【分析】根据正数大于负数0,0大于负数进行选择即可.

【解答】解：•••-2016是负数,

-2016<0,

故选B.

【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握在数轴上右边的数总大于左边的数.

2.（3分）（2016•桂林）如图，直线a〃b,c是截线，N1的度数是（）

A.55°B.75°C.110°D.125°

【考点】平行线的性质.

【分析】根据平行线的性质即可得到结论.

【解答】解：•.•直线a〃b,

AZ1=55°,

故选A.

【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键,

即①两直线平行0同位角相等，②两直线平行㈡内错角相等，③两直线平行㈡同

旁内角互补，@a〃b,b〃c=>a〃c.

3.（3分）（2016•桂林）一组数据7,8,10,12,13的平均数是（）

A.7B.9C.10D.12

【考点】算术平均数.

【分析】根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据

的个数进行计算即可.

【解答】解：（7+8+10+12+13）4-5

=504-5

=10

答：一组数据7,8,10,12,13的平均数是10.

故选：C.

【点评】本题考查了平均数的知识，掌握一组数据平均数的求解方法是解题关键.

4.（3分）（2016•桂林）下列几何体的三视图相同的是（）

长方体

【考点】简单几何体的三视图.

【专题】投影与视图.

【分析】找出圆柱，球，圆锥，以及长方体的三视图，即可做出判断.

【解答】解：A、圆柱的三视图，如图所示，不合题意；

B、球的三视图，如图所示，符合题意;

的视图左视图

C、圆锥的三视图，如图所示，不合题意;

便视图左视图

D、长方体的三视图，如图所示,不合题意;

仰视图左视图

O□

故选B

【点评】此题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解本题的关

键.

5.（3分）（2016•桂林）下列图形一定是轴对称图形的是（）

A.直角三角形B.平行四边形C.直角梯形D.正方形

【考点】轴对称图形.

【分析】根据轴对称图形的概念，结合选项求解即可.

【解答】解：A、直角三角形中只有等腰直角三角形为轴对称图形，本选项错误；

B、平行四边形不是轴对称图形，本选项错误；

C、直角梯形不是轴对称图形，本选项错误；

D、正方形是轴对称图形，本选项正确.

故选D.

【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形

两部分折叠后可重合.

6.（3分）（2016•桂林）计算3-2的结果是（）

A.B.2C.3D.6

【考点】二次根式的加减法.

【分析】直接利用二次根式的加减运算法则求出答案.

【解答】解：原式=（3-2）=.

故选:A.

【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键.

7.（3分）（2016•桂林）下列计算正确的是（）

A.（xy）3=xy3B.x5-rx5=x

C.3X2*5X3=15X5D.5x2y3+2x2y3=10x4y9

【考点】单项式乘单项式；合并同类项；事的乘方与积的乘方；同底数嘉的除法.

【专题】计算题；整式.

【分析】A、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；

B、原式利用同底数累的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；

C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；

D、原式合并同类项得到结果，即可作出判断.

【解答】解：A、原式=x3y3,错误；

B、原式=1,错误；

C、原式=15x）正确；

D、原式=7x2y3,错误，

故选C

【点评】此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幕的乘方与积的乘方，以及

同底数累的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

8.（3分）（2016•桂林）如图，直线y=ax+b过点A（0,2）和点B（-3,0）,

则方程ax+b=0的解是（）

V

A.x=2B.x=0C.x=-1D.x=-3

【考点】一次函数与一元一次方程.

【专题】应用题；一次函数及其应用.

【分析】所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即

可.

【解答】解：方程ax+b=0的解，即为函数丫=2*+13图象与x轴交点的横坐标，

,直线y=ax+b过B（-3,0）,

方程ax+b=0的解是x=-3>

故选D

【点评】此题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为

ax+b=0（a,b为常数，aWO）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某

个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线

y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

9.（3分）（2016•桂林）当x=6,y=3时，代数式。•的值是（）

A.2B.3C.6D.9

【考点】分式的化简求值.

【专题】探究型.

【分析】先对所求的式子化简，然后将x=6,y=3代入化简后的式子即可解答本

题.

【解答】解：（）•

当x=6,y=3时，原式=,

故选C.

【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是对所求式子进行灵活变化.然

后对分式进行化简.

10.（3分）（2016•桂林）若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+l=0有两个不

相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k<5B.k<5,且kWlC.kW5,且kWlD.k>5

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义.

【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程

的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得

出结论.

【解答】解：••・关于x的一元二次方程（k-1）X2+4X+1=0有两个不相等的实数

根，

即，

解得：k<5且kfl.

故选B.

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是得出关

于k的一元一次不等式组.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根

据方程根的个数结合一元二次方程的定义以及根的判别式得出不等式组是关键.

11.（3分）（2016•桂林）如图，在RtaAOB中，ZAOB=90°,0A=3,0B=2,将

RtAAOB绕点。顺时针旋转90。后得RtAFOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°

后得线段ED,分别以0,E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,

则图中阴影部分面积是（）

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质.

【分析】作DHLAE于H,根据勾股定理求出AB,根据阴影部分面积=△ADE的

面积+4E0F的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算

即可.

【解答】解：作DH1AE于H,

VZAOB=90°,0A=3,0B=2,

.二AB二二，

由旋转的性质可知，0E=0B=2,DE=EF=AB=,ADHE^ABOA,

ADH=OB=2,

阴影部分面积二Z^ADE的面积+4EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积

=X5X2+X2X3+-

=8-n,

故选：D.

【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握

扇形的面积公式$=和旋转的性质是解题的关键.

12.（3分）（2016•桂林）已知直线y=-x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在

抛物线y=-（x-）2+4上，能使4ABP为等腰三角形的点P的个数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三

角形的判定.

【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连

接AC、BC,由直线y=-x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出

△ABC等边三角形,再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标,

发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究4ABP为等腰三角形，由此

即可得出结论.

【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，

连接AC、BC,如图所示.

令一次函数y=-x+3中x=0,则y=3,

.•.点A的坐标为（0,3）；

令一次函数y=-x+3中y=0,则-x+3=0,

解得:x=,

.•.点B的坐标为（,0）.

，AB=2.

•.•抛物线的对称轴为x=,

.•.点C的坐标为（2,3）,

；.AC=2=AB=BC,

...△ABC为等边三角形.

令y=-（x-）2+4中y=0,贝U-（x-）2+4=0?

解得：x=-,或x=3.

.•.点E的坐标为（-,0）,点F的坐标为（3,0）.

△ABP为等腰三角形分三种情况：

①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N

二占.

--*八、、，

②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；

③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；

能使4ABP为等腰三角形的点P的个数有3个.

故选A.

【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函

数与坐标轴的交点坐标以及等边三角形的判定定理，解题的关键是依照题意画出

图形，利用数形结合来解决问题.本题属于中档题，难度不小，本题不需要求出

P点坐标，但在寻找点P的过程中会出现多次点的重合问题，由此给解题带来了

难度.

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分

13.(3分)(2016•桂林)分解因式：X2-36=(X+6)(X-6).

【考点】因式分解-运用公式法.

【专题】计算题；因式分解.

【分析】原式利用平方差公式分解即可.

【解答】解:原式=(x+6)(x-6),

故答案为：(x+6)(x-6)

【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关

键.

14.(3分)(2016•桂林)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是X2

1.

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于X的不等式，求出X的取值范围

即可.

【解答】解：•.♦式子在实数范围内有意义，

.,.X-120,

解得x》l.

故答案为：x2l.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0.

15.（3分）（2016•桂林）把一副普通扑克牌中的数字2,3,4,5,6,7,8,9,

10的9张牌洗均匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取一张，抽出的牌上的

数恰为3的倍数的概率是—.

【考点】概率公式.

【分析】先确定9张扑克牌上的数字为3的倍数的张数，再根据随机事件A的概

率P（A）=,求解即可.

【解答】解：•.•数字为3的倍数的扑克牌一共有3张，且共有9张扑克牌，

・'・p==.

故答案为：.

【点评】本题考查了概率公式的知识点，正确找出数字为3的倍数的扑克牌的张

数是解答本题的关键.

16.（3分）（2016•桂林）正六边形的每个外角是60度.

【考点】多边形内角与外角.

【分析】正多边形的外角和是360度，且每个外角都相等，据此即可求解.

【解答】解：正六边形的一个外角度数是：360-6=60°.

故答案为：60.

【点评】本题考查了正多边形的外角的计算，理解外角和是360度，且每个外角

都相等是关键.

17.（3分）（2016•桂林）如图，在RtAACB中，ZACB=90°,AC=BC=3,CD=1,

CH_LBD于H,点。是AB中点，连接OH,则0H=.

C

D//\

B

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.

【分析】在BD上截取BE=CH,连接CO,0E,根据相似三角形的性质得到，求

得CH=,根据等腰直角三角形的性质得到AO=OB=OC,ZA=ZACO=ZBCO=Z

ABC=45。，等量代换得到/OCH=NABD,根据全等三角形的性质得到OE=OH,Z

BOE=ZHOC推出aHOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得

到结论.

【解答】解：在BD上截取BE=CH,连接C。，0E,

VZACB=90°,CH1BD,

VAC=BC=3,CD=1,

；.BD=,

.,.△CDH^ABDC,

••，

，CH=,

•••△ACB是等腰直角三角形，点。是AB中点，

.*.AO=OB=OC,ZA=ZACO=ZBCO=ZABC=45°,

/.ZOCH+ZDCH=45°,ZABD+ZDBC=45°,

VZDCH=ZCBD,，NOCH=NABD,

在△CHO与△BEO中，，

.'.△CHO四△BEO,

，OE=OH,ZBOE=ZHOC,

VOC±BO,

.,.ZEOH=90°,

即△HOE是等腰直角三角形，

VEH=BD-DH-CH=--=,

；.OH=EHX=,

故答案为：.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三

角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

18.（3分）（2016•桂林）如图，正方形OABC的边长为2,以。为圆心，EF为

直径的半圆经过点A,连接AE,CF相交于点P,将正方形OABC从OA与OF重

合的位置开始，绕着点。逆时针旋转90。，交点P运动的路径长是兀.

【考点】轨迹；正方形的性质；旋转的性质.

【分析】如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在。G上取一点H,连接EH、

FH,只要证明NEGF=90。，求出GE的长即可解决问题.

【解答】解：如图点P运动的路径是以G为圆心的弧，在OG上取一点H,连接

EH、FH.

•••四边形AOCB是正方形，

ZAOC=90°,

.,.ZAFP=ZAOC=45°,

；EF是。0直径,

/.ZEAF=90",

NAPF=NAFP=45°,

.*.ZH=ZAPF=45°,

.•.ZEGF=2ZH=90°,

VEF=4,GE=GF,

，EG=GF=2,

/.的长==H.

故答案为九

H

【点评】本题考查正方形的性质、旋转的性质、轨迹、圆等知识，解题的关键是

正确发现轨迹的位置，学会添加辅助线，利用圆的有关性质解决问题，属于中考

填空题中的压轴题.

三、解答题：本大题共8小题，共66分

19.（6分）（2016•桂林）计算：-（-4）+|-5|+-4tan45。.

【考点】零指数幕；特殊角的三角函数值.

【分析】先去括号、计算绝对值、零指数累、三角函数值，再计算乘法、减法即

可.

【解答】解：原式=4+5+1-4X1=6.

【点评】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握相反数、绝对值的性质及零指

数累、三角函数值的计算是关键.

20.（6分）（2016•桂林）解不等式组:.

【考点】解一元一次不等式组.

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集.

【解答】解：，

解①得：x>2,

解②得x<5.

则不等式组的解集是：2<xW5.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先

求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表

示不等式组的解集.方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数

轴求公共部分.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小

找不到.

21.(8分)(2016•桂林)如图，I3ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E,F分

别是OA,OC的中点，连接BE,DF

(1)根据题意，补全图形；

(2)求证:BE=DF.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】(1)如图所示；

(2)由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO乌△DFO,得出全等三角形的对应

边相等即可.

【解答】(1)解：如图所示：

(2)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点0,

，0B=0D,0A=0C.

又YE,F分别是OA、0C的中点，

，OE=OA,OF=OC,

.\OE=OF.

•.•在△BEO与△DFO中，,

.,.△BEO^ADFO(SAS),

，BE=DF.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质的运用;

熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

22.（8分）（2016•桂林）某校为了解本校九年级男生"引体向上”项目的训练情

况,随机抽取该年级部分男生进行了一次测试（满分15分，成绩均记为整数分），

并按测试成绩（单位：分）分成四类：A类（12WmW15）,B类（9WmWll）,

C类（6WmW8）,D类（mW5）绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据图中

信息解答下列问题：

（1）本次抽取样本容量为50，扇形统计图中A类所对的圆心角是72度:

（2）请补全统计图；

（3）若该校九年级男生有300名，请估计该校九年级男生“引体向上"项目成绩

为C类的有多少名？

【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统

计图.

【专题】统计与概率.

【分析】（1）根据统计图可以得到抽查的学生数，从而可以求得样本容量，由扇

形统计图可以求得扇形圆心角的度数；

（2）根据统计图可以求得C类学生数和C类与D类所占的百分比，从而可以将

统计图补充完整；

（3）根据统计图可以估计该校九年级男生"引体向上”项目成绩为C类的有多少

名.

【解答】解：（1）由题意可得，

抽取的学生数为：104-20%=50,

扇形统计图中A类所对的圆心角是：360°X20%=72°,

故答案为：50,72；

（2）C类学生数为:50-10-22-3=15,

C类占抽取样本的百分比为：154-50X100%=30%,

D类占抽取样本的百分比为：3+50X100%=6%,

补全的统计图如右图所示，

（3）300X30%=90（名）

即该校九年级男生"引体向上”项目成绩为C类的有90名.

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用本估计总体，解题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

23.（8分）（2016•桂林）已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计

算公式--海伦公式S=（其中a,b,c是三角形的三边长，p=,S为三角形的面

积），并给出了证明

例如：在AABC中，a=3,b=4,c=5,那么它的面积可以这样计算：

Va=3,b=4,c=5

••p=—6

S===6

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数

学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.

如图，在^ABC中，BC=5,AC=6,AB=9

(1)用海伦公式求^ABC的面积；

(2)求aABC的内切圆半径r.

【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用.

【分析】(1)先根据BC、AC、AB的长求出P,再代入到公式$=即可求得S的值；

(2)根据公式S=r(AC+BC+AB),代入可得关于r的方程，解方程得r的值.

【解答】解:(1)VBC=5,AC=6,AB=9,

/.p===10»

.•.s===io；

故AABC的面积10；

(2)VS=r(AC+BC+AB),

A10=r(5+6+9),

解得：r=,

故AABC的内切圆半径r=.

【点评】本题主要三角形的内切圆与内心、二次根式的应用，熟练掌握三角形的

面积与内切圆半径间的公式是解题的关键.

24.(8分)(2016•桂林)五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造

成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、

乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品

的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的

件数相同

(1)求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？

(2)经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心

组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？

【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用.

【分析】（1）设每件乙种物品的价格是X元，则每件甲种物品的价格是（x+10）

元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同

列出方程，求解即可；

（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据该爱心组织按照

此需求的比例购买这2000件物品列出方程，求解即可.

【解答】解：（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）

元，

根据题意得，=,

解得:x=60.

经检验，x=60是原方程的解.

答：甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；

（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，

根据题意得，m+3m=2000,

解得m=500,

即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：70X

500+60X1500=125000（元）.

答：若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000

元.

【点评】本题考查分式方程、一元一次方程的应用，分析题意，找到合适的等量

关系是解决问题的关键.

25.（10分）（2016•桂林）如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=8,CD=24,AD=26,

ZB=90°,以AD为直径作圆0,过点D作DE〃AB交圆。于点E

（1）证明点C在圆。上；

（2）求tanNCDE的值；

（3）求圆心O到弦ED的距离.

BA

【考点】圆的综合题.

【分析】（1）如图1，连结CO.先由勾股定理求出AC=10,再利用勾股定理的逆

定理证明4ACD是直角三角形，NC=90。，那么0C为RtZ^ACD斜边上的中线，

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=AD=r,即点C在圆。上；

（2）如图2,延长BC、DE交于点F,ZBFD=90".根据同角的余角相等得出/

CDE=NACB.在RtaABC中，利用正切函数定义求出tan/ACB==，则tanNCDE=tan

NACB=；

（3）如图3,连结AE,作OG_LED于点G,则。G〃AE,且OG=AE.易证4ABC

-△CFD,根据相似三角形对应边成比例求出CF=,那么BF=BC+CF=.再证明四

边形ABFE是矩形，得出AE=BF=,所以OG=AE=.

【解答】（1）证明：如图1,连结CO.

VAB=6,BC=8,ZB=90°,

.*.AC=10.

XVCD=24,AD=26,102+242=262,

...△ACD是直角三角形，ZC=90".

•••AD为。。的直径，

.*.AO=OD,0C为RtZ\ACD斜边上的中线，

；.OC=AD=r,

...点C在圆。上；

（2）解：如图2,延长BC、DE交于点F,ZBFD=90°.

VZBFD=90°,

.,.ZCDE+ZFCD=90°,

又丁ZACD=90°,

AZACB+ZFCD=90°,

，NCDE=NACB.

在RtZ\ABC中,tanZACB==,

tanZCDE=tanZACB=；

(3)解：如图3,连结AE,作。GJ_ED于点G,则OG〃AE,且OG=AE.

易证△ABCsaCFD,

=,即=,

，CF=,

，BF=BC+CF=8+=.

VZB=ZF=ZAED=90°,

四边形ABFE是矩形，

，AE=BF=,

/.OG=AE=,

即圆心。到弦ED的距离为.

【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质,

余角的性质，锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度

适中.准确作出辅助线，利用数形结合是解题的关键.

26.（12分）（2016•桂林）如图1,已知开口向下的抛物线yi=ax2-2ax+l过点A

（m,1）,与y轴交于点C,顶点为B,将抛物线yi绕点C旋转180。后得到抛物

线丫2，点A,B的对应点分别为点D,E.

（1）直接写出点A,C,D的坐标；

（2）当四边形ABDE是矩形时，求a的值及抛物线丫2的解析式；

（3）在（2）的条件下，连接DC,线段DC上的动点P从点D出发，以每秒1

个单位长度的速度运动到点C停止，在点P运动的过程中，过点P作直线l±x

轴，将矩形ABDE沿直线I折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为S平方单位，

点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系.

【考点】二次函数综合题.

【分析】（1）直接将点A的坐标代入yi=ax2-2ax+l得出m的值，因为由图象可

知点A在第一象限，所以mWO,则m=2,写出A,C的坐标，点D与点A关于

点C对称，由此写出点D的坐标；

（2）根据顶点坐标公式得出抛物线yi的顶点B的坐标，再由矩形对角线相等且

平分得：BC=CD,在直角ABMC中，由勾股定理列方程求出a的值得出抛物线力

的解析式，由旋转的性质得出抛物线丫2的解析式；

（3）分两种情况讨论：①当OWtWl时，S=SMHD=SAPDH+SAPDG，作辅助线构建直

AHMD

角三角形，求出PG和PH,利用面积公式计算；②当l<t^2时，S=S--SA

GE，F-SMFM，利用30。角和60。角的直角三角形的性质进行计算得出结论.

【解答】解：（1）由题意得:

将A(m,1)代入yi=ax?-2ax+l得：am2-2am+l=l,

解得：(舍)，

mi=2,m2=0

AA(2,1)、C(0,1)、D(-2,1)；

(2)如图1,由(1)知：B(1,1-a),过点B作BM_Ly轴，

若四边形ABDE为矩形，则BC=CD,

.".BM2+CM2=BC2=CD2,

/.12+(-a)2=22,

••a二，

•♦•y】抛物线开口向下，

••a=",

由"绕点旋转。得到，则顶点

Vy2C180E(-1,1-),

•,•设y2=a(x+1)2+1-,则a=,

2

y2=x+2x+l；

(3)如图1,当OWtWl时，则DP=t,构建直角△BQD,

得BQ=,DQ=3,贝BD=2,

，NBDQ=30。，

；.PH=,PG=t,

/.S=(PG+PH)XDP=t2,

如图2,当lVtW2时，

因为矩形ABDE沿直线I折叠，所以延长DE和DF交直线I于同一点，设这一点

为M,

D(-2,1),E(-1,1-),

，DE==2,

AEM=DM-DE=2t-2,

VZEMG=30°,

.•.EG=E'G=(t-1),

在RtAFEM中，ZEMF=2X30°=60°,

，NEFM=30°,

/.FM=2EM=4t-4,

AEZF=FM-E'M=FM-EM=4t-4-(2t-2)=2t-2=2(t-1),

SAGE'F=(t-1)2,

S=SAHMDZ-SAGET-SAGEZM二XtX2t-(t-1)2-X(t-1)X(2t-2),

二一♦•

综上所述：S=t2(OWtWl)或s=-(lVtW2).

【点评】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质和矩形对角线的性质，以及三

角函数及特殊角的应用，综合性较强;善于从已知中挖掘隐藏条件是本题的关键:

如此题可以计算矩形的边长及对角线与边的夹角，得出30。，以此为突破口，将

需要的边长用t表示，得出函数关系式；另外本题还运用了分类讨论的思想，这

在二次函数中运用较多，应熟练掌握.

考点卡片

1.实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数

大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小.

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，

右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

2.合并同类项

（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项.

（2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字

母的指数不变.

（3）合并同类项时要注意以下三点：

①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准:

带有相同系数的代数项；字母和字母指数；

②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项,

式的项数会减少，达到化简多项式的目的；

③"合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类

项的字母和字母的指数不变.

3.塞的乘方与积的乘方

（1）幕的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（am）n=amn（m,n是正整数）

注意：①基的乘方的底数指的是基的底数；②性质中"指数相乘"指的是累的指数

与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幕的乘法中"指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.

（ab）n=a%n（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘

方应根据乘方的意义，计算出最后的结果.

4.同底数嘉的除法

同底数基的除法法则：底数不变，指数相减.

am4-an=am-n(a^O,m,n是正整数，m>n)

①底数a#0,因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数累除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明

确底数是什么，指数是什么.

5.单项式乘单项式

运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在

一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意

按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个

单项式相乘仍然成立.

6.因式分解-运用公式法

1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法.

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2；

2、概括整合：

①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形

式，且符号相反.

②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个

数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止.

7.分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进

行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1.化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度

太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为"当…时，原式=，'.

2.代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的

具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值

必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0.

8.零指数幕

零指数寨:a°=l(aWO)

由am+am=l,am+am=amm=a°可推出a°=l(aWO)

注意：oVi.

9.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

(1)二次根式的概念.形如a(a20)的式子叫做二次根式.

(2)二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

(3)二次根式具有非负性.a(a20)是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值

范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根

式中的被开方数都必须是非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分

母不为零.

10.二次根式的加减法

（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开

方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.

（2）步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号.

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简.

③合并被开方数相同的二次根式.

（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：

二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并.合并时，只合

并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.

11.二次根式的应用

把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知

识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.

二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质

和运算的方法.

12.一元一次方程的应用

（一）一元一次方程解应用题的类型有：

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=利润进价义100%）;（4）工程问题

（①工作量=人均效率X人数X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各

阶段的工作量的和=工作总量）；

（5）行程问题（路程=速度X时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差,倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水

流速度）.

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所

有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为X,然后用含x的

式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹h解、

答.

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.

2.设：设未知数（x）,根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可

设间接未知数.

3.歹U：根据等量关系列出方程.

4.解：解方程，求得未知数的值.

5.答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.

13.一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

（2）概念解析:

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数;

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面："化简后"；"一个

未知数"；"未知数的最高次数是2"；"二次项的系数不等于0"；"整式方程".

14.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（442-4ac）判断方程的根的情况.

一元二次方程ax?+bx+c=0（aWO）的根与△山？-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=（）时，方程有两个相等的两个实数根;

③当avo时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

15.分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、歹U、解、验、答.

必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答

叙述要完整，要写出单位等.

2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题:

工作效率=工作量工作时间

等等.

列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意,

提高理解能力.

16.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做

由它们所组成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不

等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的

解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

17.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数丫=10<+13,（kWO,且k,b为常数）的图象是一条直线.它与X轴的交点

坐标是（-,0）；与y轴的交点坐标是（0,b）.

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.

18.一次函数与一元一次方程

一次函数与一元一次方程.

19.二次函数图象上点的坐标特征

二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的图象是抛物线，顶点坐标是（-,

①抛物线是关于对称轴x=-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且

都满足函数函数关系式.顶点是抛物线的最高点或最低点.

②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值.

③抛物线与X轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（X】，0）,（X2,

0）,则其对称轴为x=.

20.二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新

的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则

符合所有特征的图象即为正确选项.

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这

类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、

定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件.

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、

创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注

意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.

21.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平

行，同位角相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线

平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平

行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

22.全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工

具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时

添加适当辅助线构造三角形.

23.等腰三角形的判定

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.【简

称：等边对等角】

说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办

法.

②等腰三角形的判定和性质互逆；

③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线,

但不能作未来底边的中线；

④判定定理在同一个三角形中才能适用.

24.等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等

腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是45。，斜边上中线、角平

分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,

而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为