2023年高考数学二轮复习试题（全国通用）专题15圆锥曲线中的定点与定值问题Word版

专题15圆锥曲线中的定点与定值问题一、一、核心先导二、考点再现二、考点再现【考点1】、【直线过定点的解题策略】如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.【重要结论】1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定点．4.只要任意一个限定AP与BP条件（如定值，定值），直线AB依然会过定点【考点2】、【定值问题的常见类型及解题策略】(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【知识拓展】1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；2.设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；3.设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；三、三、解法解密圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数时，轨迹为双曲线，如果时，轨迹为椭圆。圆锥曲线的第三定义的有关结论：1.椭圆方程中有关的经典结论(1).AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.(2).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有(3).椭圆的方程为（a＞b＞0），为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有(4).椭圆的方程为（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于两点，P点是椭圆上异于两点的任一点，则有2.双曲线方程中有关的经典结论(1)AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。(2)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有(3)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），为双曲线的虚轴端点，P点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有(4)双曲线的方程为（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于两点，P点是双曲线上异于两点的任一点，则有四、四、考点解密题型一:定点问题例1、（2022·浙江台州·模拟预测）已知点是双曲线与椭圆的公共点，直线与双曲线交于不同的两点，，设直线与的倾斜角分别为，，且满足.(1)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；(2)记（1）中直线恒过定点为，若直线与椭圆交于不同两点，，求的取值范围.【变式训练1-1】、（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线过点(1)求双曲线的方程；(2)已知点，斜率为的直线与双曲线交于两点（不同于点），且，求证直线过定点.【变式训练1-2】、（2022·湖南永州·一模）点在双曲线上，离心率.(1)求双曲线的方程；(2)是双曲线上的两个动点（异于点），分别表示直线的斜率，满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.题型二:定值问题例2．（2022·江西宜春·模拟预测（理））双曲线与椭圆的焦点相同，且渐近线方程为，双曲线的上下顶点分别为A，B．过椭圆上顶点R的直线l与双曲线交于点P，Q（P，Q不与A，B重合），记直线的斜率为，直线的斜率为．(1)求双曲线的方程；(2)证明为定值，并求出该定值．【变式训练2-1】、（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C的一条渐近线方程为，，分别为双曲线的左､右焦点.(1)求双曲线C的标准方程；(2)P为双曲线C上任意一点，连接直线PM，PN分别交C于点A，B，且，，求证：为定值，并求出该定值.【变式训练2-2】、（2021·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，分别为双曲线Г：的左､右焦点，点D为线段的中点，直线MN过点且与双曲线右支交于两点，延长MD､ND，分别与双曲线Г交于P､Q两点.(1)已知点，求点D到直线MN的距离；(2)求证：；(3)若直线MN､PQ的斜率都存在，且依次设为k1､k2.试判断是否为定值，如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由.五、五、分层训练A组基础巩固1、（2021·全国）已知椭圆，，分别为椭圆的左､右顶点，若在椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．2、（2021·全国高二课时练习）已知，，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．（中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学年高三上学期11月测试文科数学试题）已知点，在椭圆上，为坐标原点，记直线，的斜率分别为，，若，则（）A．2B．3C．4D．54．（2021·河南高二期中（理））已知平行四边形内接于椭圆：（），且，斜率之积的取值范围为，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．5.（百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考）已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（）A.B.C.D.6．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知椭圆：的两个顶点在直线上，，分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点作椭圆的切线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，，则的值为（）A．-B．C．-D．-7．（2022·新疆实验高二期中）已知椭圆为椭圆的右顶点，直线交于两点，且，则恒过除点以外的定点（）A．B．C．D．8．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知椭圆，两条直线：；：，过椭圆上一点P作，的平行线，分别交，于M，N，若为定值，则（）A．9B．4C．3D．29．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知直线l：与双曲线C：交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则（）A．B．C．1D．210．（2021·江西省丰城中学高三阶段练习（理））已知是双曲线上任意一点，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率分别为()，若的最小值为1，则实数的值为（）A．16B．2C．1或16D．2或811．（2022·江苏泰州·高二期中）已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点_______．12．（2022·全国·高三专题练习）定义：若点在椭圆上，则以为切点的切线方程为：，已知椭圆，点为直线上一个动点，过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______.13．（2022·全国·高三专题练习）因为正三角形内角余弦值为，所以有人将离心率为的椭圆称为“正椭圆”.已知“正椭圆”C：的上下顶点分别为，且“正椭圆”C上有一动点P（异于椭圆的上下顶点），若直线的斜率分别为，则为______.14．（2022·河北南宫中学高三阶段练习）已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为__________.15．（2021·湖南师大附中高二阶段练习）设直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，P为C上不同于A，B的一点，直线，的斜率分别为，，若C的离心率为2，则__________.16．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知圆M：上动点Q，若，线段QN的中垂线与直线QM交点为P．(1)求交点P的轨迹C的方程；(2)若A，B分别轨C与x轴的两个交点，D为直线上一动点，DA，DB与曲线C的另一个交点分别是E、F、证明：直线EF过一定点．17．（2021·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点分别为、，其图象经过点，渐近线方程为．（1）求双曲线的方程；（2）设点、是双曲线上位于第一象限的任意两点，求证：．B组能力提升18、（2022·山东·青岛二中高三期中）已知椭圆过椭圆中心的一条直线与椭圆相交于A，B两点，P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当取最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．19．（2022·全国·高三专题练习）已知，，为曲线的左、右焦点，点为曲线与曲线在第一象限的交点，直线为曲线在点处的切线，若三角形的内心为点，直线与直线交于点，则点，横坐标之差为_______．20．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，的右焦点与点的连线与的一条渐近线垂直．(1)求的标准方程．(2)经过点且斜率不为零的直线与的两支分别交于点，．①若为坐标原点，求的取值范围；②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点．21．（2022·重庆·三模）平面直角坐标系xOy中，点（－，0），（，0），点M满足，点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)已知A（1，0），过点A的直线AP，AQ与曲线C分别交于点P和Q（点P和Q都异于点A），若满足AP⊥AQ，求证：直线PQ过定点.22．（2022·山西朔州·三模（理））已知双曲线经过点，，，，中的3个点.(1)求双曲线C的方程；(2)已知点M，N是双曲线C上与其顶点不重合的两个动点，过点M，N的直线，都经过双曲线C的右顶点，若直线，的斜率分别为，，且，判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由23．（2021·广东汕头·二模）已知双曲线方程为1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足·0，|PF1||PF2|＝6．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作直线交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．24．（2021·江苏徐州·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在C上，且.（1）求C的方程；（2）斜率为的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线的斜率存在且分别为，证明：为定值.25．（2020·上海杨浦·二模）已知双曲线，经过点的直线与该双曲线交于两点.（1）若与轴垂直，且，求的值；（2）若，且的横坐标之和为，证明：.（3）设直线与轴交于点，求证：为定值.C组真题实战练26．（2020·全国·高考真题（理））已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.27．（2020·山东·高考真题）已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．28．（2015·全国·高考真题（文））已知椭圆的离心率为，点在上