§7.3.2 复数三角式的乘法、除法运算及其几何意义

我们学习了复数的三角式

z=r(cosθ＋isinθ)那我们自然想知道：它能给复数的运算带来什么便利？情境导入已知z1

=a1＋b1i=r1(cosθ1＋isinθ1

)

z2

=a2＋b2i=r2(cosθ2＋isinθ2

)

那么z1＋z2

=(r1cosθ1＋r2cosθ2)＋

i(r1sin

θ1＋r2sin

θ2)

z1－z2

=(r1cosθ1－r2cosθ2)＋

i(r1sin

θ1－r2sin

θ2)可见，用复数的三角式做加减法并不便利.那么z1×z2=r1(cosθ1＋isinθ1

)×r2(cosθ2＋isinθ2

)

新课讲解已知z1

=a1+b1i=r1(cosθ1＋isinθ1

)

z2

=a2+b2i=r2(cosθ2＋isinθ2

)

=r1r2(cosθ1＋isinθ1

)

(cosθ2＋isinθ2

)

=r1r2[(cosθ1cosθ2－sinθ1

sinθ2

)＋

i(cosθ1sinθ2

＋

sinθ1

cosθ2)

]

=r1r2[cos(θ1＋

θ2)＋isin(θ1

＋θ2)

]

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模之积，积的辐角等于各复数的辐角之和.新课讲解若z1

=r1(cosθ1＋isinθ1

)

z2

=r2(cosθ2＋isinθ2

)

则z1z2=r1r2[cos(θ1＋

θ2)＋isin(θ1

＋θ2)

]

复数三角形乘法法则：两个复数相乘，积的模等于各复数的模之积，积的辐角等于各复数的辐角之和.OxyZ1Z2θ2θ1Z1'Z课本P.87例3课本P.88例4[例2]如图，向量OZ对应的复数为1＋i,把它绕原点O按逆时针方向旋转120°,得到OZ'.求向量OZ'对应的复数（用代数形式表示）.分析：根据复数乘法的几何意义，向量OZ'对应的复数是复数1+i与z0的积，其中复数z0的模是1,辐角的主值是120°.那么z1÷z2=

新课讲解已知z1

=a1+b1i=r1(cosθ1＋isinθ1

)

z2

=a2+b2i=r2(cosθ2＋isinθ2

)≠

0这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.r1(cosθ1＋isinθ1

)r2(cosθ2＋isinθ2

)×

(cosθ2－isinθ2

)×

(cosθ2－isinθ2

)r1[cos(θ1

－θ2)＋isin(θ1

－θ2)]r2[cos(θ2

－θ2)＋isin(θ2

－θ2)]==[cos(θ1－

θ2)＋isin(θ1

－θ2)]

r1r2r1(cosθ1＋isinθ1

)r2(cosθ2＋isinθ2

)×

[cos

(－θ2

)＋isin

(－

θ2

)]×

[cos

(－θ2

)＋isin

(－

θ2

)]=新课讲解若z1

=r1(cosθ1＋isinθ1

)

z2

=r2(cosθ2＋isinθ2

)

复数三角形除法法则：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.OxyZ1Z2θ2θ1Z1'则z1z2=[cos(θ1－

θ2)＋isin(θ1

－θ2)]

r1r2Z课本P.88例5本课小结2复数的三角形式z=r(cosθ＋isinθ)3复数三角形式的乘、除运算公式4复数三角形式乘、除运算的几何意义1复数的辐角θ与辐角主值argz∈[0，2π)复数的三角表示

θ=argz＋2kπ(k∈Z)两个复数相乘(除)，积(商)的模等于各复数的模之积(商)，积(商)的辐角等于各复数的辐角之和(差).作业：课本P.89