30°、45°、60°角三角函数值

§1.2°45°、°的角函数值课时安排1课时从容说课本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、°60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、°60°角的三角函数值的计算因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°45°、°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、4560°角的三角函数值的计.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°°些特殊角的三角函数.三角尺是学生非常熟悉的学习用具中应胆地鼓励学生用所学的数学知识角三角形中，°所对的边等斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能.第三课时课题§1.230°，45°，60°角的角函数值教案目标(一)教案知识点1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推.进一步体会三角函数的意.2.能够进行30°、45°、60°的三角函数值的计.3.能够根据30°、45°、60°三角函数值说明相应的锐角的大.(二)思维训练要求1.经历探索30°、45°、60°的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.2.培养学生把实际问题转化为数问题的能.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产好奇.培养学生独立思考问题的习.2.在数学活动中获得成功的体验锻炼克服困难的意志，建立自信.教具重点1.探索30°、45°、°的角函数值2.能够进行含30°、45°、°的三角函数值的计算3.比较锐角三角函数值的大.教案难点进一步体会三角函数的意.教案方法自主探索法教案准备一副三角尺多媒体演示教案过程Ⅰ创问题情境，引入新课[问题为了测量一棵大树的高度准备了如下测量工具：①含30°60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个量方案，能测出一棵大树的高.1/7

(用多媒体演示上面的问题，并学生交流各自的想[生]我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B这位同学拿起三角尺的视线恰好和斜边重合且过树梢C点30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出A的度BE的度，因为DE=AB，以只需在eq\o\ac(△,Rt)CDA中求CD的长即.[生在eq\o\ac(△,Rt)ACD中∠＝°ADBEBE是已知的，设BE=aM，则＝，何求呢?[生含30°角的直角三角形有一非常重要的性质30的角所对的边等于斜边的一半，即AC＝2CD，据勾股定理(2CD)＝+a.CD＝

33

a.则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30的正切值，在上图中，°atan30°岂不简单.你能求出30°角的三个三角函值?Ⅱ讲新课

CDCD

，则CD=1.探索30°、45°、°的角函数值[师]观察一副三角尺，其中有几锐它们分别等于多少?[生]一副三角尺中有四个锐角，们分别是30、60、45、°[师]sin30°等于多少?你是怎得到?同伴交流[生]sin30°＝

12

.sin30°示在直角三角形中，°的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无我们不妨设30角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中°所对的等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a，以sin30°＝[师]cos30°等于多少?tan30°?

a12a

.[生]cos30°＝

2a2

./

tan30°

33[师我们求出了30°角的三个角函数值，还有两个特殊角——°60°，它们的三角函数值分别是多?你是如何得到?[生求60°的三角函数值可以利用求30角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对利用上图，很容易求得sin60°

2a2

,cos60°

a12a

,tan60°

3aa

3

.[生]也可以利用上节课我们得出结论锐的正弦等于它余角的余弦锐的余弦等于它余角的正弦可sin60＝cos(90-60)＝cos30=

32

cos60°=sin(90°-60°)=sin30°

12

.[师生共析我一同来求45°角的三角函数.含45°的直角三角形是等腰直角三角形(如图设中一条直角边为a，则另一条直角边也为，斜边2a.此可求得sin45°

12

,cos45°

12

,tan45°

aa

[师]下面请同学们完成下(用媒体演)30°、45°、°的三角函数三角函数角sinα

co

tan30°

12

/

45°60°

22

2212

13这个表格中的30°45°60°的三角函数值需熟记另一方面，要能够根据30°、45°、°的三角函数值，说出相应的锐角的大.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特先看第一列30°、45°60°的正弦值，你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦分母都为，分子从小到大分别为

1

，

2

，

3

，随着角度的增大，正弦值在逐渐增.[师]再来看第二列函数值，有何点?[生]第二列是30°45°60°的余弦值，它们的分母也都是2而子从大到小分别为

3

，

2

，

1

，余弦值随角度的增大而减小.[师]第三列?[生]第三列是°、°、°角的正切值，首先°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°比较特.[师]很好，掌握了上述规律，记就方便多.面同桌之间可互相检查一下对°45°、°的三角函数值的记忆情相信同学们一定做得很棒.2.例题讲(多媒体演)[例1]计：(1)sin30°°(2)sin60°+cos60°-tan45°分析本题旨在帮助学生巩固特角的三角函数值今后若无特别说明用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin60表示sin60°)，60°表示(cos60°.解：(1)sin30°+cos45°

121222

,(2)sin60°+cos60°-tan45°=(

31)+()-122=

3+-14＝[例一小孩荡秋千，秋千链的长度为2.5m当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°两的摆动角度相同它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之.(结果精确到0.01m)分析学自己根据题意画示意图学生把实际问题转化为数学问题的能.解：根据题意(如图)/

可知，∠°OB=OA＝OD=2.5，∠AOD＝

12

×60°＝30°，∴OC=OD·cos30°=2.5×

32

≈2.165(m).∴＝2.5-2.165≈0.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34m.Ⅲ随练习多媒体演示1.计算：(1)sin60°°(2)cos60°°(3)

22

sin45°+sin60°-2cos45°解：(1)原式＝

3-1=；2(2)原式(3)原式

11+=22232+；22=

1222.某商场有一自动扶梯，其倾斜为30.高为7，扶梯的长度是多?解：扶梯的长度为

7=14(m)1所以扶梯的长度为14m.Ⅳ课小结本节课总结如下：(1)探索°、°、60°角的角函数值sin30°

12

23，sin45，sin60°＝；22cos30°

3，cos45°2

1，cos60°；2/

tan30°

33

，tan45°＝，tan60°.(2)能进行含30°、°60°角的三角函数值的计.(3)能根据°、45°、°的三角函数值，说出相应锐角的大.Ⅴ课作业习题第1、题Ⅵ活与探究(2003年甘)如图为住宅区内的幢楼，它们的高ABCD=30m，楼问的距离AC=24m，现需了解甲楼对乙楼的采光响情.太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多?(精确到0.1m，

≈，

3

≈1.73)[过程根据题意，将实际问题转为数学问题，当光线从楼顶E，直射到乙楼D点，D点向下便接受不到光线，过D作DBAE(楼.在eq\o\ac(△,Rt)BDE中BD=AC＝24m，∠＝30°可求出BE，于甲、乙楼一样高，所以[结果在eq\o\ac(△,Kt)中，BE=DB·tan30°24∵＝，

33

=83m.∴DF=8

3

≈×1.73＝13.84(m).甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m).板书设计§1.230°、45°、60°角的角函数值一、探索30°、45°°三角函数值1.备知识：含30的直角三角形中30°角的对边等于斜边的一.含45°的直角三角形是等腰直角角.2.30°，45°，°的三角函数值列表如下：三角函数角角

sinα

co

tan30°

12

/

45°60°

22

2212

13二、含30°45°、°的角函数值的计.三、实际应用