2021-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团九年级(下)期中数学试卷 解析版

2021-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷解析版2021-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共小题共分）1分）下列运算正确的是（）A．a﹣2aB（﹣a2＝﹣a6C．x6÷x3D（x+y）2＝x2+y22分）若式子在实数范围内有意义则取值范围是（）A．xB．x＞2C≤2D≥23分）截止年日全球新冠肺炎感染累计确诊人数大约为3940000人用科学记数法可表示为（）ABCD4分）已知点P（a﹣1﹣a在平面直角坐标系的第四象限则取值范围在数轴上可表示为（）ABCD第1页共32页

5分）从等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段中随机抽取两个得到的都是中心对称图形的概率是（）ABCD．6分）下面四个几何体中主视图与其它几何体的主视图不同的是（）ABCD7分）有一圆锥它的高为8cm底面半径为则这个圆锥的侧面积是（）ABCDπ8分）如图是⊙O直径若∠BAC＝36°则∠ADC的度数为（）ABCD9分）下列命题中正确的是（）A平行四边形的对角线相等B矩形的对角线互相垂直C菱形的对角线互相垂直且平分D对角线相等的四边形是正方形10．（3分）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊人出六不足四十五；人出八不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊每人出6则差元；第2页共32页

每人出则差．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为人则根据题意可列方程为（）A．6x+45＝8x+3D﹣45＝8x﹣3

C﹣45＝8x+311．（3分）如图在已知的△ABC按以下步骤：）分别以B为圆心大于的长为半径作弧两弧相交、N（2）作直线交于D结CDCD＝AD∠B＝25°则下列结论中错误的是（）A直MN是线段BC垂直平分线B点△外心C∠ACB＝90°D点△内心12．（3分）如图在矩形中E边的中点BE⊥AC垂足为点接有下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF③DF＝DC；④tan∠CAD＝；⑤S△ABF四边形BCDF＝1：4其中正确结论的个数是（）AB．2．3．4二、填空题（本大题共小题每小题共18分）13．（3分）分解因式：＝．14．（3分）已知一组数据55x9的平均数是8么这组数据的中位数是．第3页共32页

15．（3分）如果关于x一元二次方程x2﹣3x＝0有两个不相等的实数根那么k取值范围是．16．（3分）当前国内疫情防控阶段性成效进一步巩固为了全面推进复工复产促进消费五一期间百货大楼推出全场打八折的优惠活动持贵宾卡可在八折基础上继续打折小明妈妈持贵宾卡买了标价为元的商品共节省280元则用贵宾卡又享受了惠？

折优17．（3分）如图已知Rt斜边的长为m∠B＝40°则直角边的长是．18．（3分）如图在平面直角坐标系中边在轴上在上反比例函数y（k≠0）与斜边交于点、D连接若AC：CD：2S△OBD＝则值为．三、解答题（本大题共小题共分）19．（6分）计算：（﹣）﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）020．（6分）解不等式组并写出它的所有整数解．21．（8分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动活动后就活动的5主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个）根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：(1）这次调查的学生共有多少名？第4页共32页

(2）请将条形统计图补充完整并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．(3）如果要在这主题中任选两个进行调查根据（）中调查结果用树状图或列表法求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、E．22．（8分）如图菱形的对角线AC相交于点点D作∥ACDE＝AC连接AEOD于点F接CE、OE．(1）求证：四边形为矩形；(2）若菱形的边长为6∠ABC＝60°求的长．23．（9分）2021年日是第个世界读书日这一天世界各地都会举办诸多与阅读有关的活动．某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划以下是活动计划书的部分信息．“读书节”活动计划书书本类别A类B类进价（单位：元）1812备注第5页共32页

用不超过16800元购进两类图书共本；A图书不少于600本；(1）陈经理查看计划书发现：A图书的标价是图书标价的1.5倍若顾客用660元购买图书能单独购买A图书的数量恰好比单独购买图书的数量少10本．请求出A两类图书的标价．(2）经市场调查后陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响便调整了销售方案：A图书每本按标价降价a（0）销售B图书价格不变．那么书店应如何进货才能获得最大利润？24．（9分）如图点P反比例函数＜0上PA⊥x轴于点B在正半轴上、OB的长是方程t2＝0的两个实数根且点线段延长线上的一个动点△ABC的外接圆⊙M的另一个交点是．(1）求点点坐标；(2）求反比例函数的解析式；(3）连接求tan∠PMB值．25．（10分）如图们知道若点线段分成两部分且＝则称点线段的黄金分割点．类似的我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形如图是⊙O的直径点C在⊙O上∠BOC＝108°过点C直线分别交直线和⊙O于D连接．第6页共32页

(1）求∠CDB度数并证明△ODC黄金三角形；(2）求证：点线段的黄金分割点；(3）对于实数：a1＜a2＜a3＜a4如果满足（a3（a4﹣a3）（a4﹣a1）（a4﹣a2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称为的黄金数a2a1a4的白银数．①实数0＜a＜1且的黄金数01的白银数求b﹣a的值；②实数k＜n＜tt＝2|k|mn分别为的黄金数和白银数求的值．26．（10分）在平面直角坐标系中坐标原点抛物线＝ax2﹣2ax﹣3分别交x正半轴于点Bx负半轴于点A与负半轴交于点AB＝4．(1）如图值；(2）如图是第一象限抛物线上的点连过点DM∥y轴交的延长线于点接BD于点若S△ABN＝S△DMN求点坐标以及∠DAB的值；(3）如图（）的条件下连接ADP是第一象限抛物线上的点（点点D重合）过点AD垂线交于点F点x轴上（点点F的左侧）EF＝13点直线FP上连接EP、OG．若＝OG∠PEF+∠G＝45°求点坐标．2021-2021学年湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团九年级（下）期中数学试卷第7页共32页

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共小题共分）1分）下列运算正确的是（）A．a﹣2aB（﹣a2＝﹣a6C．x6÷x3D（x+y）2＝x2+y2【分析】根据合并同类项的法则积的乘方运算性质同底数幂的除法法则完全平方公式分别计算然后比较即可．【解答】解：、应该得﹣本选项错误；B正确；C、x6÷x3本选项错误；D（x+y）2＝x2+y2+2xy本选项错误．故选：．2分）若式子在实数范围内有意义则取值范围是（）A．xB．x＞2C≤2D≥2【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数即可求解．【解答】解：根据题意得：﹣2≥0解得：x≥2．故选：．3分）截止年日全球新冠肺炎感染累计确诊人数大约为3940000人用科学记数法可表示为（）第8页共32页

ABCD【分析】科学记数法的表示形式为的形式其中1≤|a|＜10n为整数．确定n值时要看把原数变成a小数点移动了多少位绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10n是正整数；当原数的绝对值时n是负整数．【解答】解：＝3.94×106故选：．4分）已知点P（a﹣1﹣a在平面直角坐标系的第四象限则取值范围在数轴上可表示为（）ABCD【分析】根据第四象限点的特征确定出a的范围表示在数轴上即可．【解答】解：∵点﹣1）在平面直角坐标系的第四象限内∴解得：＞1则范围在数轴上可表示为：故选：．5分）从等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段中随机抽取两个得到的都是中心对称图形的概率是（）第9页共32页

ABCD．【分析】将等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段分别记作ABCDE再列表根据所得的结果进行计算即可．【解答】解：五种图形中属于中心对称图形的有：平行四边形、菱形、线段将等腰三角形、平行四边形、菱形、角、线段分别记作ABCDE列表可得：总共有种等可能的情况其中抽取的两个都是中心对称图形的有∴P（抽取的两个都是中心对称图形）＝＝故选：．6分）下面四个几何体中主视图与其它几何体的主视图不同的是（）ABCD【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可．【解答】解：、主视图为长方形；B主视图为长方形；C主视图为两个相邻的三角形；D主视图为长方形；故选：．第10页共32页

7分）有一圆锥它的高为8cm底面半径为则这个圆锥的侧面积是（）ABCDπ【分析】先根据圆锥的底面半径和高求出母线长圆锥的侧面积是展开后扇形的面积计算可得．【解答】解：圆锥的母线＝圆锥的底面周长πr＝12π（cm）圆锥的侧面积＝lR＝×12π×10＝60π）．故选：．8分）如图是⊙O直径若∠BAC＝36°则∠ADC的度数为（）ABCD【分析】如图连接BC．求出∠ABC可解决问题．【解答】解：如图连接BC．∵AB是直径∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°∴∠ADC＝∠ABC＝54°故选：．9分）下列命题中正确的是（）A平行四边形的对角线相等B矩形的对角线互相垂直第11页共32页

C菱形的对角线互相垂直且平分D对角线相等的四边形是正方形【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质和正方形的判定定理判断即可．【解答】解：平行四边形的对角线不一定相等A错误；矩形的对角线不一定互相垂直误；菱形的对角线互相垂直且平分确；对角线相等的四边形不一定是正方形D错误故选：．10．（3分）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊人出六不足四十五；人出八不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊每人出6则差元；每人出则差．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为人则根据题意可列方程为（）A．6x+45＝8x+3D﹣45＝8x﹣3

C﹣45＝8x+3【分析】设买羊人数为根据出资数不变列出方程．【解答】解：设买羊人数为则根据题意可列方程为＝8x+3．故选：．11．（3分）如图在已知的△ABC按以下步骤：）分别以B为圆心大于的长为半径作弧两弧相交、N（2）作直第12页共32页

线交于D结CDCD＝AD∠B＝25°则下列结论中错误的是（）A直MN是线段BC垂直平分线B点△外心C∠ACB＝90°D点△内心【分析】证明DC＝DB＝DA即可决问题．【解答】解：由作图可知垂直平分线段∵DC＝DA∴DC＝DB∴∠ACB＝90°∴点△ACB外心故选项ABC正确故选：．12．（3分）如图在矩形中E边的中点BE⊥AC垂足为点接有下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF③DF＝DC；④tan∠CAD＝；⑤S△ABF四边形：4其中正确结论的个数是（）AB．2．3．4【分析】结合矩形的性质证明∠EAF＝∠ACBAFE＝∠CBA可明①；证明△AEF∽△CBF用相似三角形的性质可证明②；过D第13页共32页

作∥BE∠ACM则DN⊥AC证明的中点可证明③；根据已知条件无法证明④；设S△AEF则△ADF＝2a由相似三角形的性质可求解相关三角形的面积进而可求得S边形＝4a即可证明⑤．【解答】解：在矩形中∠ABC＝90°AD∥BCAD＝BC∴∠EAF＝∠ACB∵BE⊥AC垂足为点∴∠AFE＝90°∴∠AFE＝∠CBA∴△AEF∽△CAB故①正确；∵AD∥BC∴△AEF∽△CBF∴∵E为AD的中点∴∴∴CF＝2AE故②正确；过∥BEACM则DN⊥AC∵AD∥BC∴四边形为平行四边形∴BNN为的中点∴M为CF的中点第14页共32页

∴DF＝DC故③正确；根据已知条件无法判断AD故无法得到∠CAD＝故④错误；设则∵△AEF∽△CBF∴∴S∵S△ABF：S△CBF＝AF：CF：2∴S△ABF∴S△ADC＝S△ABC＝6a∴S四边形BCDF＝8a∴S△ABF四边形BCDF＝2a：8a故⑤正确．综上正确个数有．故选：．二、填空题（本大题共小题每小题共18分）13．（3分）分解因式：＝．【分析】观察原式a3找到公因式a出公因式后发现是完全平方式利用完全平方公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣4a2+4a（a2﹣4a+4）﹣2．故答案为：﹣2）2．第15页共32页

14．（3分）已知一组数据55x9的平均数是8么这组数据的中位数是9．【分析】根据平均数的定义先求出x的值再根据中位数的定义即可得出答案．【解答】解：根据平均数的定义可知（）÷5解得：＝1把这组数据从小到大的顺序排列为处于中间位置的那个数是那么由中位数的定义可知这组数据的中位数是；故答案为：．15．（3分）如果关于x一元二次方程x2﹣3x＝0有两个不相等的实数根那么k取值范围是﹣．【分析】利用判别式的意义得到△＝（（﹣k）然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得△＝（﹣4（）解得k＞﹣．故答案为k＞﹣．16．（3分）当前国内疫情防控阶段性成效进一步巩固为了全面推进复工复产促进消费五一期间百货大楼推出全场打八折的优惠活动持贵宾卡可在八折基础上继续打折小明妈妈持贵宾卡买了第16页共32页

标价为元的商品共节省280元则用贵宾卡又享受了优惠？

九

折【分析】首先设用贵宾卡又享受了x折优惠根据题意可得等量关系：标价﹣实际消费＝元根据等量关系列出方程再解即可．【解答】解：设用贵宾卡又享受了x折优惠由题意得：1000﹣1000×0.8×解得：故答案为：九．17．（3分）如图已知Rt斜边的长为m∠B＝40°则直角边的长是msin40°．【分析】根据正弦的定义计算得到答案．【解答】解：在△ABC中sinB＝∴AC故答案为：msin40°．18．（3分）如图在平面直角坐标系中的边OA在轴上在上反比例函数y（k≠0）与斜边交于点、D连接若AC：CD：2S△OBD＝则值为．【分析】设（mn）过点轴于点点D轴于点F．因此△ACE∽△ADFAC：CD得到AC：AD从而由比例线段用示CE而、n示点坐标进一步得出第17页共32页

直线的表达式得坐标由S求得列出方程求得的值便可求得值．【解答】解：设（mn）过点轴于点E点D作DF⊥y轴于点．则＝mn∴△ACE∽△ADF∵AC：CD：2∴AC：AD：3∴∴CE＝DF当x时∴C（m3n）∵D∴直线的表达式为y＝﹣∴B（0）OB＝∵S△OBD＝∴∴mn＝∴k故答案为．三、解答题（本大题共小题共分）19．（6分）计算：（﹣）﹣|﹣2|﹣2cos45°+（3﹣π）0第18页共32页

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则绝对值的代数意义以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣2+﹣+1．20．（6分）解不等式组并写出它的所有整数解．【分析】分别求出每一个不等式的解集根据口诀：“大小小大中间找“确定不等式组的解集继而可得其整数解．【解答】解：解不等式）＜6x：＞﹣1解不等式≤得：x≤1∴不等式组解集是﹣≤1∴原不等式组的所有整数解为0．21．（8分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动活动后就活动的5主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个）根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息解答下列问题：(1）这次调查的学生共有多少名？(2）请将条形统计图补充完整并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．(3）如果要在这主题中任选两个进行调查根据（）中调查结果用树状图或列表法求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、E．第19页共32页

【分析】）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；(2）求出“互助”与“进取”的学生数补全条形统计图求出“进取”占的圆心角度数即可；(3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数找出恰好选到“C”与“E”的情况数即可求出所求的概率．【解答】解：）56÷20%＝280（名）答：这次调查的学生共有280名；(2）280×15%＝42（名）﹣42﹣56﹣28﹣70＝84（名）补全条形统计图如图所示根据题意得：84÷280＝30%360°×30%＝108°答：“进取”所对应的圆心角是108°；(3）由（）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：ABCDEA(AB(AC第20页共32页

(AD(AEB(BA(BC(BD(BEC(CA(CB(CD(CED(DA(DB(DC(DEE(EA(EB(EC(ED第21页共32页

用树状图为：共20情况恰好选到“C”和“E”有2∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是．22．（8分）如图菱形的对角线AC相交于点点D作且DE＝AC接AEOD于点F接CE、OE．(1）求证：四边形为矩形；(2）若菱形的边长为6∠ABC＝60°求的长．【分析】）由菱形DE∥AC且证得四边形是平行四边形于是得到结论；(2）由菱形的对角线互相垂直可证得四边形是矩形根据菱形的性质得出再根据勾股定理得出的长度即可．【解答】）证明：四边形是菱形∴OA＝OC＝ACAD＝CD∵DE∥ACDE＝AC∴DE＝OA∴四边形OADE、四边形都是平行四边形∵AC⊥BD∴四边形是矩形；(2）解：∵在菱形中∠ABC＝60°∴AC＝AB∴在矩形CE＝OD．∴在△ACE．第22页共32页

23．（9分）2021年日是第个世界读书日这一天世界各地都会举办诸多与阅读有关的活动．某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划以下是活动计划书的部分信息．“读书节”活动计划书书本类别A类B类进价（单位：元）1812备注用不超过16800元购进两类图书共本；A图书不少于600本；(1）陈经理查看计划书发现：A图书的标价是图书标价的1.5倍若顾客用660元购买图书能单独购买A图书的数量恰好比单独购买图书的数量少10本．请求出A两类图书的标价．(2）经市场调查后陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响便调整了销售方案：A图书每本按标价降价a（0）销售B图书价格不变．那么书店应如何进货才能获得最大利润？第23页共32页

【分析】）先设图书的标价为则由题意可知A图书的标价为元然后根据题意列出方程求解即可．(2）先设购进图书t总利润为则购进B图书为（1000）本根据题目中所给的信息列出不等式组求出取值范围然后根据总利润＝总售价﹣总成本求出最佳的进货方案．【解答】解：）设图书的标价为则A图书的标价为元根据题意可得：解得：＝22经检验：＝22是原分式方程的解且符合题意则图书的标价为：＝1.5×22（元）答：图书的标价为元图书的标价为元；(2）设购进图书t总利润为A图书的标价为（33）元（0＜a＜8）由题意得w＝﹣a﹣18）t+（22﹣12）（1000﹣t＝）t+10000根据题意得：解得：600≤t≤800∵0＜a∴①当5﹣a＞0即时增大而增大∴当t＝800即A类图书购进800本图书购进本时总利润最大；第24页共32页

②当5﹣a＞0即时t取值无关购进图书600～800书店应能获得最大利润；③当5﹣a＜0即＜8时w随t增大而减小∴当t＝600图书购进本图书购进本时总利润最大；答：当图书每本降价少于时图书购进本B类图书购进200本时利润最大；当A图书每本降价大于等于元小于时A图书购进600本图书购进400本时利润最大．24．（9分）如图点P反比例函数＜0上PA⊥x轴于点B在正半轴上、OB的长是方程t2＝0的两个实数根且点线段延长线上的一个动点△ABC的外接圆⊙M的另一个交点是．(1）求点点坐标；(2）求反比例函数的解析式；(3）连接求tan∠PMB值．【分析】）解方程即可得到结论；(2）设点P（﹣6）由得到36+（2+）2＝（）2方程即可得到结论；(3）连接半径为直角三角形即可得到结论．【解答】解：）t2＝0解得：＝2或6第25页共32页

∵OA、OB的长是方程t2＝0的两个实数根OA＞OB即OA＝6OB即点A的坐标为（﹣60）、（02）；(2）设点P（﹣6）由得：36+（2+）2＝（解得：＝﹣60故反比例函数的解析式为＝﹣；(3）连接∵OA＝6OB＝2设半径为在△AOM∴62+（r＝r2解得：＝10∴BM＝AM＝10BH＝2过轴与∴tan∠PMB＝＝＝．25．（10分）如图们知道若点线段分成两部分且＝则称点线段的黄金分割点．类似的我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形如图是⊙O的直径点C第26页共32页

在⊙O上∠BOC＝108°过点C直线分别交直线和⊙O于D连接．(1）求∠CDB度数并证明△ODC黄金三角形；(2）求证：点线段的黄金分割点；(3）对于实数：a1＜a2＜a3＜a4如果满足（a3（a4﹣a3）（a4﹣a1）（a4﹣a2＝（a2﹣a1）（a4﹣a1）则称为的黄金数a2a1a4的白银数．①实数且的黄金数01的白银数求b﹣a的值；②实数k＜n＜m＜tt＝2|k|mn分别为的黄金数和白银数求的值．【分析】）根据已知条件和等边对等角的性质即可求解；(2）根据已知条件先求出相应角度得出相似三角形从而得出边之间的比例关系即可；(3）根据黄金数、白银数的定义联立相应的方程式即可求解．【解答】解：）∵AB⊙O的直径∴OA＝OC＝OE＝DE∴∠EOD＝∠CDB∠OCE＝∠OEC设∠CDB＝x∵∠BOC＝108°第27页共32页

∴∠CDB+∠OCD＝108°∴x+2x＝108°∴x＝36°∴∠CDB＝36°∠EOD＝∠CDB＝36°∠OCE＝∠OEC＝72°∵∠COD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣108°＝72°∴∠OCE＝∠COD∴DO＝DC又∵∠CDB＝36°∴△COD是黄金三角形；(2）由（）得∠EOD＝∠CDB＝36°∠OCE＝∠OEC＝72°∴∠COE＝36°∵∠COE＝∠CDB∵∠OCD＝∠ECO∴△EOC∽△ODC∴＝∵OC＝DE∴＝∴点线段的黄金分割点；(3）①实数＜a＜b＜1且b为01的黄金数∴＝）﹣0）∴b2+b＝0∴b1＝（舍去）b2＝第28页共32页

∵实数0＜a＜1a01的白银数∴＝）﹣0）∴a2﹣3a+1（舍去）a2∴b﹣a＝﹣＝；