类比法在数学解题中的应用 类比法在概念教学和解题教学中的运用

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类比，是抓住事物间的好像特征举行对比、对照的一种思维方法。类比与分类有着确定的联系。它是一种从特殊到一般的思维方式。利用类比方法可以简化对好像问题的研究，也有利于察觉，推广某些性质，它是获得察觉或研发的重要方法。九年义务教导全日制初级中学数学教学大纲中规定：初中数学教学中进展学生的规律才能主要是逐步培养学生，会用归纳、演纤和类比法举行推理，形成良好的思维品质。因些在课堂教学中结合某些内容恰当地应用类比方法，对于启迪学生的思维培养学生的才能具有重要的作用。

下面从概念教学和解题教学两个方面来谈类比法在课堂教学中的作用。

一、运用类比法，强化概念教学

1.如在一元一次不等式的教学中，由于一元一次不等式与学生已学过的一元一次方程在形式上特别好像，因而可以从一元一次方程的解法及其步骤类比得到一元一次不等式的解法和步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）把未知数的系数化为1，同时教师亦应引导学生留神（1）、（5）两步中不等号的方向是否变更。

2.如在弦切角定理的教学中，由于弦切角是由圆周角的一边旋转到特殊的位置（一边和圆相切），所以弦切角与圆周角有着特别好像之处，因而可以从圆周角定理的证明方法中类比得到弦切角定理的证明方法，这样可以从圆周角与圆心的三种不同位置关系类比联想到弦切角与圆心的三种位置关系，同时结合从特殊到一般的方法。（先证圆心在弦切角的一条边上，再证圆心在弦切角的内、外部两种处境）得到弦切角定理及其证明。

3.在好像三角形这一片面的教学中，由于好像三角形与全等三角形有大量好像之处，（好像三角形只要求外形一致，大小可以不同），因此在好像三角形判定的教学中，自然就联想到与全等三角形的判定方法（及其它们有关的性质），再对比它们的识别，由于好像三角形要求外形一致而且大小也要完全一致，所以全等三角形中的对应角相等在好像三角形中留存不变，而对应边相等应改为对应边成比例。

值得留神的是（1）一元一次不等式并非就是一元一次方程；（2）弦切角并非就是圆周角；（3）好像三角形并非就是全等三角形，因此在课堂教学中既要考虑到它们的一致性又要留神引导学生掌管它们的相异性，这样才能使学生扎实双基，生动运用类比法。

二、运用类比法，巩固解题教学的启发性

例1作一个正方形，使它的面积等于已知的面积（现行教材初中几何第三册第133页一道习题）。

分析：（1）要作正方形务必要知道正方形的边长（怎么找正方形的边长？）。

（2）正方形的面积与边长有什么关系？（S=X2）矩形面积等于什么？（S=a・b）。

（3）这里a・b是知道。

（4）因此要求的正方形的边长X与已知线段为a・b的关系为X2=a・b。

（5）这是我们前面学过的作ab的比例中项问题。

通过这道题的分析加上运用类比的方法我们就联想到该类似的这样一些问题：

（1）作正方形使它的面积等于已知的三角形面积相等。

（2）作正方形使它的面积等于已知的平行四边形面积相等。

（3）作正方形使它的面积等于已知的菱形面积相等。

（4）作正方形使它的面积等于已知的梯形面积相等。

（5）作正方形使它的面积等于已知的四边形面积相等。

下面就（5）加以说明：

∵S四边形=S△ABD+S△BCD

=BD・AE+BD・CF

=BD（AE+CF）

S四边形=S正方形

∴S2=BD（AE+CF）

因此正方形的边长是BD与（AE+CF）的比例中项。

例2已知：MN是以AB为直径的半圆上的两定点，P为AB

上的一点。求证：不管点在AB上如何移动时，tg∠AMP・tg∠BMP为定值。

分析：（1）由于问题的结论为定值，我们事先并为领会定值是什么，往往问题就难于入手。

（2）若P处于一个特殊位置时，即AB的中点O（如上图），这时∠AMO=∠MAO，∠BNO=∠NBO

∴tg∠AMO・tg∠BNO=tg∠MAO・tg∠NBO

即：tg∠AMP・tg∠BNP=tg∠MAP・tg∠NBP=

由此类比联想对于一般处境是否结论依旧成立呢？由于题目中不管P点在AB上如何移动（P点在AB的中点O时符合条件）所以这个定值都是，这样证明起来就有的放矢了。

例3如图OO1与OO2都经过AB两点，经过点A的直线CD与OO1交于点C，与OO2交于点D，经过点B的直线EF与OO1交于点E，与OO2交于点F。（此题为现行《几何》第三册第98页的一道例题）。

求证：CE∥DF

分析：此题是证明圆内接四边形的性质举行证明，只要连接公共弦AB即可得到：

（1）四边形的ABEC内接于OO1→∠1=C

（2）四边形的ABFC内接于OO2→∠1+∠D=180°

∵∠C+∠D=180°∴CE∥DF

（这道题还可以通过同位角相等，内错角相等来证明）

通过对该题的分析，有没有与它相类似的问题呢？我们自然就会联想到当AB两点逐步靠近合并成一点时，就得到OO1与OO2相切的两种处境：

（1）OO1与OO2外切时（2）OO1与OO2内切时

它们是否都有CE∥DF这个结论呢？证明时只要作这两圆的公切线（这与相交时作公共弦类似）。

从上面的例，我们可以看出在解题教学中，教师擅长引导学生举行查看议论对象本身的特点，从不同对象身上找出它们的好像之处。同时还要擅长联想比较，从一个对象联想类比到与它性质一致或好像的另一个对象，以及从一种方法想到其作用类似的另一种方法。运用过程中教师要留神引导学生察觉不同对象的异同处，这样才能