建筑力学 第四章

第4章平面一般力系[内容提要]本章介绍了平面一般力系向一点的简化；分析了平面一般力系平衡条件；详细叙述了平面一般力系平衡条件的应用。4.1平面一般力系的概念和实例平面一般力系是各力的作用线在同一平面内，既不全部汇交于一点也不全部互相平行的力系。图4-1在实际工程中，有些结构的某一尺寸比其它两个方向的尺寸小的多或大得多。忽略次要因素后，我们可把这种结构看成为平面结构。例如图4-1(a)所示的三角形屋架，它受到屋面传来的竖向荷载P、风荷载Q以及两端支座的约束反力FXA、FYA、RB，这些力组成平面一般力系，如图4-1(b)所示。如图4-2(a)所示的挡土墙，考虑到它沿长度方向受力情况大致相同，通常取1M长度的墙身作为研究对象，它所受到的重力G、土压力P和地基反力R也都可简化到1M长墙身的对称面上，组成平面力系，如图4-2(b)所示。在平面结构上作用的力系，可以看成为平面一般力系。还有些结构虽然明显不是受平面力系作用，但如果本身（包括支座）及其所承受的荷载有一个共同的对称面，那么，作用在结构上的力系就可以简化为在对称面内的平面力系，例如图4-3所示沿直线行驶的汽车，车受到的重力G、空气阻力F以及地面对左右轮的约束反力的合力RA、RB，都可简化到汽车的对称面内，组成平面一般力系。总之，在工程中，许多结构的力学问题，可以简化为平面一般力系的问题来处理。本章将讨论平面一般力系的简化和平衡问题。图4-3图4-24.2力的平移定理

有一个力F作用在某刚体的A点，如图4-4a所示。若在刚体的Ｏ点加上两个共线、反向、等值的力F＇和F＂，且作用线与力F平行，大小与力F的大小相等，如图4—4ｂ所示，并不影响力F对刚体单独作用时产生的运动效果。进一步分析可以看出，力F与F＂构成一个力偶，其力偶矩为M=F·ｄ=MＯ(F)而作用在点Ｏ的力F＇，其大小和方向与原力F相同，即相当于把原来的力F从点A平移到点Ｏ，如图4-4(ｃ)所示。（a）（b）（c）图4-4于是，得到力的平移定理：作用于刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点Ｏ，同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对于新作用点O的矩。

4.3平面一般力系向一点的简化4.3.1简化方法和结果设在物体上作用有平面一般力系F1、F2、…、Fn，如图4-5(a)所示。为了将这力系简化，在其作用面内取任意一点Ｏ，根据力的平移定理，将力系中各力都平移到O点，就得到平面汇交力系F1＇、F2＇、…、Fn＇和附加的各力偶矩分别为m1、m2、…、mn的平面力偶系，如图4-5(b)所示。平面汇交力系可合成为作用在O点的一个力，附加的平面力偶系可合成为一个力偶，如图4-5(c)所示。任选的O点，称为简化中心。平面一般力系向任一点简化，就是将平面一般力系中各力向简化中心平移，同时附加上一个力偶系。(a)(b)(c)图4-54.3.2主矢和主矩平面一般力系简化为作用于简化中心的一个力和一个力偶。这个力R＇称为原力系的主矢，这个力偶的力偶矩MO，称为原力系对简化中心的主矩。主矢R＇等于汇交力系F1＇、F2＇、…Fn＇的矢量和（4-5b）,因为，各力F1＇、F2＇、…、Fn＇分别与各力F1、F2、…、Fn大小相等、方向相同，所以，主矢就等于原力系各力的矢量和，即

R＇=F1+F2+…+Fn=∑F

求主矢R＇的大小和方向，可应用解析法。通过Ｏ点取直角坐标系xoy，图4--6所示，主矢R＇在x轴和y轴上的投影为

RX＇=FX1＇+FX2＇+…FXn＇=FX1+FX2+…FXn=∑FX和RY＇=FY1＇+FY2＇+…FYn＇=FY1+FY2+…FYn=∑FY

式中FX1＇、FY1＇和FX1、FY1分别是力Fi＇、Fi在坐标轴x和y上的投影。由于力Fi＇和Fi大小相等、方向相同，所以它们在同一轴上的投影相等。得主矢R＇的大小和方向为α为主矢R＇与x轴所夹的锐角，R＇指向由∑FX和∑FY的正负号确定。由平面力偶系的合成知，主矩为

α为主矢R＇与x轴所夹的锐角，R＇指向由∑FX和∑FY的正负号确定。由平面力偶系的合成知，主矩为MＯ＇=m1+m2+…+mn因为各附加力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心Ｏ点的矩，即m1=Mｏ（F1）m2=Mｏ（F2）………………mn=Mｏ(Fn)于是可得主矩为MＯ＇=Mｏ（F1）+Mｏ（F2）+…+Mｏ（Fn）=∑MＯ(F)=∑MＯ4.3.3结论综上所述可知：平面一般力系向作用面内任一点简化的结果为一个力和一个力偶。这个力作用在简化中心，称为原力系的主矢，且等于原力系中各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心的力矩的代数和。主矢等于原力系各力的矢量和，它与简化中心的选择无关。主矩等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和，与简化中心的选择有关。这是因为取不同的点为简化中心，各力的力臂将会改变，则各力对简化中心的矩也会改变，从而导致主矩的改变。所以对于主矩，必须标明力系对于哪一点的主矩。主矢描述原力系对物体的平移作用，主矩描述原力系对物体绕简化中心的转动作用，二者的作用总和代表原力系对物体的作用。因此，单独的主矢R＇或主矩MＯ并不与原力系等效，即主矢R＇不是原力系的合力，主矩MＯ也不是原力系的合力偶矩，而主矢R＇与主矩MＯ二者的共同作用才与原力系等效。4.4平面一般力系平衡的条件平面一般力系向任一点Ｏ简化后，如果得到的主矢量R`和主矩Mo。如果该平面一般力系使物体保持平衡，则必然有R＇=0，Mo=0。反之，如果R＇=0，Mo=0，则说明原力系就是平衡力系。因此，平面一般力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢量及力系对任一点的主矩均为零，即R＇=0，Mo=0由于Mo=∑mo(F)故平面一般力系的平衡条件为=0=0（4-1）∑mo(F)=0即，平面一般力系系平衡的必要和充充分条件也可叙述述为：力系中各力力在两个坐标轴上上投影的代数和分分别等于零；力系系中各力对于任一一点的力矩的代数数和等于零。式(4-1)叫做做平面一般力系的的平衡方程，其中中前两个叫做投影影方程，后一个叫叫做力矩方程。可可以把投影方程的的含意理解为物体体在力系作用下沿沿坐标轴FX和FY方向不可能移动；；将力矩方程的含含意理解为物体在在力系作用下绕任任一矩心均不能转转动。当满足平衡衡方程时，物体既既不能移动，也不不能转动，这就保保证了物体处于平平衡状态。当物体体处于平衡状态时时，可应用这三个个平衡方程求解三三个未知量。式(4-1)是平平面一般力系平衡衡方程的基本形式式。除了这种形式式外，还可将平衡衡方程表示为二力力矩形式或三力矩矩形式。1．二力矩形式二力矩形式的平衡衡方程是：∑FX=0∑mA(F)=0（4-2）∑mB(F)=0该平衡方程的限制制条件是：FX轴不能与A、B两两点的连线垂直。。2．三力矩形式三力矩形式的平衡衡方程是：∑mA(F)=0∑mB(F)=0（4-3）∑mＣ(F)=0该平衡方程的限制制条件是：A、B、C三点不在同同一直线上。平面一般力系的平平衡方程虽有三种种形式，但不论采采用哪种形式，都都能够写出、且只只能写出三个独立立的平衡方程。所所以，对于平面一一般力系来说，应应用平衡方程，只只能求解三个未知知量。在实际解题时，所所选的平衡方程形形式应尽可能使计计算简便，力求在在一个方程中只包包含一个未知量，，避免求解联立方方程。【例4-1】一钢筋混凝土刚架受受荷在作用及支承承情况如图4-6(a)所示。已已知P=5kN，m=2kN·m，刚架自重重不计，试求A、、B处的支座反力力。(a)(b)解取刚架为研究对象象，刚架的受力图图如图4-6(b)所示。作用在在刚架上的有已知知的力P和力偶m，未知的的支座反力RA和FXB、FYB，它们组成一个个平面一般力系。。刚架在力系作用用下平衡，可用三三个独立的平衡方方程求解三个未知知力。作用在刚架架上有一个力偶荷荷载。由于力偶在在任一轴上的投影影均为零，因此，，力偶在投影方程程中不出现；由于于力偶对平面内任任一点之矩等于力力偶矩，而与矩心心位置无关，因此此，在力矩方程中中可直接将力偶矩矩列入。取坐标系如图4-6(b)所示，，则由∑FX=0，P-FXB=0得FXB=P=5kN(←)由∑mA(F)=0，-P×3-m+FYB×3=0得FYB=(3P+m)／3=(3×5+2)／3=5.67kN(↑)由∑FY=0，RA+FYB=0得RA=-FYB=-5.67kN(↓)本题中RA值为负，说明RA的实际指向与假设设指向相反，在答答案后面的括号内内应标注出实际指指向；FXB和FYB值为正，说明FXB、FYB的实际指向与假设设指向一致。【例4-2】受受有集度为q的均布荷载，并在在B端作用一集中中力P，如图4-7(a)，设梁长为l，试求固定端A的的约束反力。(a)(b)图4-7解固定端支座A处，，有FXA和FYA两个未知力和一个个约束反力偶mA，如图4.7(b)所示。此时梁梁AB在已知荷载载q、P和未知的约束反力力作用下平衡。列列平衡方程时，均均布荷载q可用其其合力Q表示，Q=ql，方向与均布荷载载方向相同，作用用在AB段的中点点。选取坐标系如如图4.7b所示示。∑FX=0FXA=0；∑FY=0FYA-ql-p=0得得FYA=ql+P(↑)∑mA(F)=0，mA-ql·l／2-Pl=0得mA=ql／2+Pl()建筑工程中的雨篷篷、阳台等，它们们一端牢固地嵌入入墙内，另一端无无约束，这类结构构叫做悬臂结构。。在力学计算时，，它们都作为悬臂臂梁来考虑。悬臂臂结构因其受力情情况的特殊性，比比较容易发生倒塌塌事故。【例4-3】如如图4-8(a)，梁AC在C处受集中力P作用，设P=30kN，试求A、B支座的约束反力力。解以外伸梁为研究对对象，画其受力图图，并选取坐标轴轴，如图4.8(b)所示作用在外伸梁上的的有已知力P，未知的支座反力力FXA、FYA和RB，运用三个独立的的平衡方程可求解解三个未知力。(a)(b)图4.8由∑mA(F)=0，RB×3-Psin30°×4=0得RB=Psin30°×4/3=30×0.5×4/3=20kN(↑)由∑FX=0，FXA-Pcos30°°=0得FXA=Pcos30°=30×0.866=25.98kN(→)由∑mc(F)=0，-FYA×4-RB×1=0得FYA=-RB/4=-20/4=-5kN(↓)力系既然平平衡，则力力系中各力力在任一轴轴上的投影影的代数和和必然等于于零，力系系中各力对对于任一点点的力矩的的代数和也也必然等于于零，因此此可再列出出其它的平平衡方程，，用以校核核计算的正正确与否。。校核：∑FY=FYA+RB-Psin30°=-5+20-30×0.5=0说明求得的的FYA和RB之值是正确确的。【例4-4】图4-9(a)所示示的位置时时平衡。已已知吊杆AB长10m，吊吊杆重G=10kN，重心在吊吊杆AB的的中点，起起吊物重Q=30kN，αα=45°°，β=30°，试计算钢钢丝绳所受受的拉力和和铰链A所所受的反力力。(a)(b)图4.9解取吊杆AB为研究对对象。作用用在吊杆AB上的已已知力有重重物的重力力Q及吊杆的重重力G，未知力有有钢丝绳的的拉力T和铰A的约约束反力FXA、FYA。以上各力力组成了平平衡的平面面一般力系系。吊杆的的受力图及及选取的坐坐标轴如图图4-9(b)所示示。用平面面一般力系系的平衡方方程可以求求解三个未未知力，由∑mA(F)=0T×10××sin30°-G×5××cos45°-Q×10××cos45°=0得T=10××5×0.70170+30×10××0.707／10×0.5=49.5kN(↙)由∑FX=0，FXA-T·cosl5°°=0得FXA=T·cosl5°°=49.5×0.966=47.8kN(→→)由∑FY=0，FYA-Tsin15°-G-Q=0得FYA=T·sin15°+G+Q=49.5×0.259+10+30=52.8kN(↑)计算结果中中不带负号号，说明各各约束反力力的假设指指向与实际际指向一致致。校核：∑mB(F)=FXA×10×sin45°+G××5×sin45°°-FYA×10×cos45°=47.8×10×0.707+10×5××0.707-52.8×10×0.707=338+35.3-373.3=0说明求得的的反力大小小FXA和FYA是正确的。。通过以上例例题的分析析，可将求求解平面一一般力系平平衡问题的的解题步骤骤和方法归归纳如下：：(1)根据据题意选取取适当的研研究对象。。(2)对研研究对象进进行受力分分析，画出出受力图。。要根据各各种约束的的性质来画画约束反力力。当反力力的指向不不能确定时时，可以任任意假设其其指向。若若计算结果果为正，则则表示假设设的指向与与实际指向向一致；若若计算结果果为负，则则表示假设设的指向与与实际指向向相反。画画受力图时时，注意不不要遗漏作作用在研究究物体上的的主动力。。(3)选用用适当形式式的平衡方方程，最好好是一个方方程只包含含一个未知知量，这样样可免于解解联立方程程，简化计计算。为此此，要选取取适当的坐坐标轴和矩矩心，当所所选的坐标标轴与未知知力作用线线垂直时，，该未知力力在此轴上上的投影为为零，可使使所建立的的投影方程程中未知量量个数减少少，但也要要照顾到计计算各力投投影的方便便。尽可能能将矩心选选在两个未未知力的交交点上，这这样，通过过矩心的这这两个未知知力的力矩矩等于零，，可使力矩矩方程中含含的未知量量减少；当当然，按上上述做法时时，也应照照顾到计算算各力对所所选矩心的的力臂简便便。(4)求出出所有未知知量后，可可利用其它它形式的平平衡方程对对计算结果果进行校核核。4.5平面面平行力系系平衡的条条件在平面力系系中如各力力的作用线线互相平行行，这样的的力系就是是平面平行行力系。平面平行力力系是平面面一般力系系的特殊情情况，因此此，它的平平衡方程可可由平面一一般力系的的平衡方程程导出。如如果取x轴与平行力力系各力的的作用线垂垂直，y轴轴与各力平平行(图4-10)，则不论论力系是否否平衡，各各力在x轴轴上的投影影恒为零。。于是，∑FX=0成为恒等式式，而不必必再列出。。因此，由平平面一般力力系平衡方方程的基本本形式可得得平面平行行力系的平平衡方程为为∑FY=0∑mo(F)=0因各力与y轴平行，因因此∑FY=0就是各个力力的代数和和等于零。。这样，平平面平行力力系平衡的的必要和充充分条件是是：力系中中所有各力力的代数和和等于零，，力系中各各力对任一一点的力矩矩的代数和和等于零。。同样，由平平面一般力力系平衡方方程的二力力矩形式可可得平面平平行力系平平衡方程的的另一形式式是∑mA(F)=0∑mB(F)=0其中A、B两点的连连线不与力力系平行。。平面平行力力系只有两两个独立的的平衡方程程，因而只只能求解两两个未知量量。图4-10(a)(b)图4-11【例4-5】简支梁AB受荷及尺尺寸如图4-11(a)所示示。已知均均布荷载的的集度q=20kN／m，，试求支座座A、B的的反力。解取梁AB为为研究对象象，画出受受力图如图图4-11(b)所所示。作用用在梁上的的有已知荷荷载q，未未知力有RB、FYA和FXA。除FXA外，以上各各力都互相相平行，显显然在∑FX=0式中，FXA必然为零，，于是，可可按平面平平行力系的的平衡方程程求出FYA和RB。根据合力矩矩定理，均均布荷载对对某矩心力力矩之和，，等于它们们的合力Q对该矩心的的力矩。均均布荷载的的合力大小小Q=20×4=80kN，方向与与均布荷载载相同，作作用在BC段的中点点。由∑mB(F)=0，80××2-FYA×6=0得FYA=80×2/6=26.67kN(↑↑)由∑mA(F)=0，RB×6-80×4=0得RB=80×4/6=53.33kN(↑)校核：∑FY=26.67-80+53.33=0经校核说明明计算正确确。【例4-6】一桥梁桁架架受荷载P1，和P2作用，桁架架各杆的自自重不计，，尺寸如图图4-12所示。已已知P1=50kN，P2=30kN，试求求A、B支支座的反力力。图4.12解以整个桁架架为研究对对象，支座座A的反力力应与各力力作用线平平行，因此此作用在桁桁架上的已已知力P1、P2和未知力RA、RB组成了平衡衡的平面平平行力系。。列平衡方方程求解支支座反力RA和RB：由∑mA(F)=0，RB×20-P1×4-P2×12=0得RB=(50××4+30×12)/20=28kN(↑)由∑FY=0，RA+RB-P1-P2=0得RA=P1+P2-RB=50+30-28=52kN(↑)本例也可以以用∑mB(F)=0求RA。现在，我们们用它来校校核：∑mB(F)=P1×16+P2××8-RA×20=50×16+30×8-52×20=0经校核说明明计算正确确。【例4-7】图4-13为某厂房房预制钢筋筋混凝土柱柱的示意图图。根据柱柱的尺寸，，计算出柱柱的自重为为q=4kN／m，求刚起起吊时绳的的拉力及A点的反力力。解刚起吊时，，可将柱近近似地视为为一根水平平放置的外外伸梁。主主动力是均均匀分布的的构件，自自重q；；地面在A点的支承承作用相当当于一个不不动铰支座座，反力是是FYA；绳的拉力力FYB作用于B点。上上述各力构构成了平面面平行力系系。均布荷载q的合力大大小Q=4×6=24kN，，作用于构构件中点，，至A端距距离为3m，至B点距离为为1m。。由∑mA(F)=0，4FYB-24×3=0得FYB=24×3／4=18kN(↑)由∑∑mB(F)=0，24××1-FYA×4=0得FYA=24∕4=6kN(↑)校核：∑FY=-24+18+6=0经校核说明明计算正确确。需要说明的的是柱子在在刚起吊时时，构件处处于加速运运动状态，，实际的反反力FYA及拉力FYB的值要比静静力平衡方方程算出的的数值大，，在设计时时还需要乘乘以动力系系数。图4.13图图4.14【例4-8】图4-14中的塔式式起重机，，机身总重重量W=220kN，最大大起重量P=50kN，平平衡锤重Q=30kN。试试求空载及及满载时，，轨道A、、B的约束束反力。并并问此起重重机在空载载和满载时时会不会翻翻倒。解取起重机为为研究对象象。作用在在起重机上上的主动力力有W、Q、P，它们都是是铅垂向下下的，还有有轨道对轮轮子的约束束反力RA、RB，它们是垂垂直向上的的。以上各各力构成了了平面平行行力系。由由平衡条件件∑mB(F)=0，则Q(6+2)+W×2一P(12—2)-RA××4=0(a)∑mA(F)=0则Q(6-2)-W×2-P(12+2)+RB××4=0(b)解得RA=2Q+0.5W-2.5PRB=-Q+0.5W+3.5P(c)当满载时，，P=50kN，，代入式(c)得RA=2×30+0.5FX220-2.5FX50=45kN(↑)RB=-30+0.5××220+3.5××50=255kN(↑)当空载时，，P=0，，代入式(c)得RA=2×30+0.5×220=170kN(↑↑)RB=-30+110=80kN(↑)满载时，为为了保证起起重机不致致绕B点翻翻倒，要求求轨道对A轮的约束束反力RA大于零；空空载时，为为了保证起起重机不致致绕A点翻翻倒，要求求轨道对B轮的约束束反力RB大于零。。本例计计算结果果表明：：满载时时，RA=45kN>0；空空载时RB=80kN>0。因因此，起起重机在在使用过过程中不不会翻倒倒。4.6平平面一般般力系平平衡方程程的应用用在工程中中，常常常遇到由由多个物物体通过过一定的的约束联联系在一一起的系系统，这这种系统统称为物物体系统统。例如如图4-15(a)所所示的组组合梁，，就是由由梁AB和粱BC′通通过铰B连接，，并支承承在A、、C支座座而组成成的一个个物体系系统。所所谓物体体系统的的平衡是是指组成成系统的的每一物物体及系系统整体体都处于于平衡状状态。研究物体体系统的的平衡问问题，不不仅要求求解支座座反力，，而且还还需要计计算系统统内各物物体之间间的相互互作用力力。(a)(b)(c)(d)图4-15我们把作作用在物物体系统统上的力力分为外外力和内内力。所所谓外力力，就是是系统以以外的物物体作用用在这系系统上的的力；所所谓内力力，就是是在系统统内各物物体之间间相互作作用的力力。例如如组合梁梁所受的的荷载与与A、C支座的的反力就就是外力力(图4-15(b))，而而在B铰铰处左右右两段梁梁相互作作用的力力就是组组合梁的的内力。。要暴露露内力必必须将物物体系统统拆开，，将各物物体在它它们相互互联系的的地方拆拆开，分分别分析析单个物物体的受受力情况况，画出出它们的的受力图图，如将将组合梁梁在铰B处拆开开为两段段梁，分分别画出出这两段段梁的受受力图(图4-15(c)、、(d))。外外力和内内力的概概念是相相对的，，决定于于所选取取的研究究对象。。例如图图4-15组合合梁在B铰处两两段梁的的相互作作用力，，对组合合梁整体体来说，，就是内内力；而而对左段段梁或右右段梁来来说，就就成为外外力了。。求解物体体系统的的平衡问问题，就就是计算算出物体体系统的的内、外外约束反反力。解解决问题题的关键键在于恰恰当地选选取研究究对象，，一般有有两种选选取的方方法：1．先取取整个物物体系统统作为研研究对象象，求得得某些未未知量；；再取其其中某部部分物体体(一个个物体或或几个物物体的组组合)作作为研究究对象，，求出其其他未知知量。2．先取取某部分分物体作作为研究究对象，，再取其其他部分分物体或或整体作作为研究究对象，，逐步求求得所有有的未知知量。不论取整整个物体体系统或或是系统统中某一一部分作作为研究究对象。。都可根根据研究究对象所所受的力力系的类类别列出出相应的的平衡方方程去求求解未知知量。例例如要求求图4-15a所示组组合粱在在A、B、C处处的约束束反力，，可先取取BC梁梁作为研研究对象象，画其其受力图图(图4-15c)，，所受各各力组成成平面一一般力系系，列出出三个平平衡方程程，求得得RC、FXB、FYB三个未知知力；再再取AB梁作为为研究对对象，由由其受力力图(图图4-15d)可见所所受各力力也组成成平面一一般力系系，而且且FXB′、FYB′和FXB、FYB是作用与与反作用用关系已已经求得得，这样样，余下下三个未未知量FXA、FYA、mA可由三个个平衡方方程求解解。一般般说；系系统由n个物体体组成，，而每个个物体又又都是受受平面一一般力系系作用，，则共可可列出3n个独独立的平平衡方程程，从而而可以求求解3n个未知知量。如如果系统统中的物物体受的的是平面面汇交力力系或平平面平行行力系作作用，则则独立的的平衡方方程的个个数将相相应减少少，而所所能求的的未知量量的个数数也相应应减少。。下面举例例说明求求解物体体系统平平衡问题题的方法法。【例4-9】组合梁受受荷载如如图4-16(a)所所示。已已知q=5kN／m，P=30kN，梁自重重不计，，求支座座A、B、D的的反力。。解组合梁由由两段AC、CD在C处用铰铰链连接接并支承承于三个个支座上上而构成成；若取整个个梁为研研究对象象，画其其受力图图如图4-16(d)所示。。由受力力图可知知，它在在平面平平行力系系作用下下平衡，，有RA、RB和RD三个未知知量，而而独立的的平衡方方程只有有两个，，不能求求解。因因而需要要将梁从从铰C处处拆开，，分别考考虑CD段和AC段的的平衡，，画出它它们的受受力图如如图4-21(b)、、(c)所示。。在梁CD段上上，作用用着平面面平行力力系，只只有两个个未知量量，应用用平衡方方程可求求得RD,RD求出后，，再考虑虑整体平平衡(图图4-15(d))，，RA、RB也可求出出。(a)(b)(c)(d)图4-16综上分析析，求法法如下：：(1)取取梁CD段为为研究对对象(图图4-15(b)),∑MC=0，RD×4-P×2=0RD=2P/4=2×30/4=15kN(↑)(2)取取整个个组合梁梁为研究究对象(图4-15(d))∑MA=0RB×6+RD×12-q×4×2一一P×10=0RB=（8q+10P-12RD）/6=（8××5+10×30-12×15）/6=26.7kN(↑)∑MB=0q××4×4-P××4-RA×6+RD×6=0RA=（16q-4p+6RD）/6=（16×5-4×30+6×15）/6=8.33kN(↑)校核：对对整个组组合梁，，列出∑FY=RA+RB+RD-q×4-P=8.33+26.7+15-5××4-30≈0可见计算算正确。。本题还可可先取梁梁CD段段为研究究对象，，求解RC和RD；再取梁梁AC段段为研究究对象，，求解RA和RB。但这一一种解法法不如上上述解法法简单。。【例4-10】钢筋混凝凝土三铰铰刚架受受荷载如如图4-17(a)所所示，已已知P=12kN，q=8kN／m，求支座座A、B及顶铰铰C处的的约束反反力。解：三铰拱拱由左、、右两半半拱组成成。分别别分析整整个三铰铰拱和左左、右两两半拱的的受力，，画出它它们的受受力图，，如图4-17(b)、(c)、(d)所所示。由由图可见见，不论论是整个个三铰拱拱或是左左、右半半拱都各各有四个个未知数数，不过过总的未未知数个个数只有有六个。。因而分分别选取取整体和和左(或或右)半半拱为研研究对象象，列出出六个平平衡方程程，可以以求解六六个未知知数；也也可以分分别选取取左、右右两半拱拱为研究究对象，，求解六六个未知知数。但但是，这这样解法法计算较较繁。我我们注意意到整个个三铰拱拱虽有四四个未知知力，但但若分别别以A和和B为矩矩心，列列出力矩矩方程，，可以方方便地求求出FYB和FYA。然后，再考考虑一个半拱拱的平衡，这这时，每个半半拱都只剩下下三个未知力力，问题就迎迎刃而解了。。图4-17综上分析；计计算如下：(1)取整个个三铰拱为研研究对象(图图4-17(b))由∑MA=0，-q××6×3-P×8+FYB×12=0得FYB=（18q+8p）/12=（18×8+8××12）/12=20kN(↑)由∑MB=0q×6×9+p×4-FYA×12=0得FYA=（54q+4p）/12=40kN(↑)由∑FX=0FXA-FXB=0得FXA=FXB(2)取左半半拱为研究对对象(图4-17(c))，由∑MC=0FXA×8-FYA×6+q×6×3=0得FXA=（6FYA-18q）/8=（6×40-18××8）/8=12kN(→)由∑FX=0FXA-FXC=0得FXC=FXA=12kN由∑FY=0FYA+FYC-q×6=0得FYC=6q-FYA=6×8-40=8kN将FXA的值代入式(a)，可得得FXB=FXA=12kN(←)校核：考虑右半拱的的平衡，由于于∑FX=FXC′-FXB=FXC-FXB=12-12=0∑FY=FYB-FYC′-P=FYB-FYC-P=20-8-12=0∑MC=-p×2-FXB×8+FYB×6=-12×2-12×8+20×6=0可见计算正确确。通过以上实例例的分析，可可见物体系统统平衡问题的的解题步骤与与单个物体的的平衡问题基基本相同。现现将物体系统统平衡问题的的解题特点归归纳如下：．．1．适当选取取研究对象。。如整个系统的的外约束力未未知量不超过过三个，或者者虽然超过三三个但不拆开开也能求出一一部分未知量量时，可先选选择整个系统统为研究对象象。如整个系统的的外约束力未未知量超过三三个，必须