线性代数各章知识点及脉络图(含例题)-预习必备

nnnn一、行列式知识结构网络图概念性质

不同行、不同列的n元素之积的代数和经转置行列式的值不变；某行有公因数，可把k提行列式；某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和；两行互换行列式变号；某行的加至另一行．行列式的值不；DAnikik

（按i行）

余子式余式展开式行列式

DAnkjkj给定（,j元的值

（j行）化三角形－加边法、爪型行列式；公式法－特殊行列式、范德蒙德行列式；递推、数学归纳法；等计算未给定（,）元的值

用行列式性质计算；用矩阵性质计算；用方阵的特征值；等应用

克拉默法则；判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵；线性相关性的判定；求矩阵的秩，并判断线性方程组的解存在情况；求方阵的特征值。R

；证明

方阵A的征值；A-1-

解答：设k解答：设k行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计行列式．行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法，计算方法多，技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．行列式性质【例知531，252，234都9的数，利用行列式的性质（而不是展开明

3

也是9的数。2

22

2解答：

5r2r,rr314234

r3

3【例果除最后一行外，从一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？原行列式为新行列式为detAdetB

，detB

0ri2,3,ni

特殊行式（主对行式上下三行式

iii

（次对行式上下三行式a

a

a

aa

aa

aa

a

iia

a

a

a

a

i、分三行式形式简记为：

AB

A

A

，

B

A

AB

AB-2-

121iji、范蒙行式121ijif,12

xn

x11

x2x22

xnxn

x1nx2n

x1x2

x1x22

xn1x2f2

x1

xn2ij

xn

xn

n

xnxn

xnxn

xnnxnnf,2

x

j

j

j

j

j

nn

21

x

x

x

x

x2x1

认范蒙行式可以将n阶范蒙德行列式看成关于n个量

x,12

,xn

的函数，即

Dfx,2

。此种类型行列式具有如下三个特点：eq\o\ac(○,1)从列的角度看：第列元素从上到下依次为同一个变量j1,2,n；

j

的零次幂、1次、…、n－次，eq\o\ac(○,2)行的角度看：第i行素是从左往右依次为

x,12

,xn

的－1幂，

i

,neq\o\ac(○,3)结果看：fx2且该齐次函数可以分解为

x,x,x的nijnj，脚大者与脚2标小者之差明i可以取为

,2,,n

，例当i取值4时只以取值为321，即区间）当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值。参见“范德蒙德行列式专辑”认识余式（Minor）代数余子式Algebraic，及其间的关ij

的

的余子式M和数余子式A，与位置ijijij

有关，的取值如何并不影响ij其余子式

M

ij

和代数余子式

ij

的取值。

Aij

M

ij

，代数余子式即为带符号的余子式。利用教材P21例13深入解余子式和代数余子式及其关系。【例知4阶行式D中第一行元素分别为，2，，-4；第三行的4个元的余子分别为：6,M31

32

33

,M

34

2

。求x

的值。解答：

aAA113233

，所以有

31

32

34

，x，所以。【例-3-

1、设行列式

det的元素为

ij

，行列式试证：

detD

AAij

，其中A为在detijij

中的代数余子式。i,j证明：把det升得到A

A

AdetAA2、设

A

jnjijjjij，A是在det中的代余子式，求证ijijij

-4-

1AA

aaa11aAAA

11a11A

计算技：eq\o\ac(○,1)利用殊列计，用式【例算列式

ABB

求列值令

D

CC

，C

00b000

1

,nDB,n1b,n12eq\o\ac(○,2)

加法辑加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单特殊，从而实现计算的简化。此种方法其实是反向利用Laplace展定理似复杂化实阶数的增加反倒可以将行列式简单，更易发现规律。同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变。【例eq\o\ac(○,1)

11112

11

，其中

a

i

i

n.1解答：

1n1

边

112

n

n-5-

jinknknjinknknr1ii2,

1a

cj

c

j,

1

1aii00

1a0

10a

100

1aaiii

0

0

0

a

eq\o\ac(○,2)

11a22aann

a1na21nn

。解答：

a12加边2a2

nn

ri1in

1a111a12

n12

加边

0021a12

n

n

n

n

n

j1j3,

n

10

jj

i

i

1

1

1

1ccjjj3,,n

biii00

1ii00

1

1

1

k

1

k

k

kk0

01eq\o\ac(○,3)

爪行式辑

爪型行列式形如：-6-

nini方法：将第i+1列乘

iai

,

都加到第1列得有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。【例

xDxx

xxx

xxx

xxx

化为爪型行列式的方法：eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)D

rii

xxxa02x03x

xaii

an1x1i

xxi

naii

xai

eq\o\ac(○,2)

先采用加边法-7-

iji1xxiji

x

x

1xx

xD

00x0x

xax

xxa

xxrixi

0a,n

00a

0000

x

x

x

a

0

0

0

a

i

xxx

xccj0j2,00a000加边法与爪型行列式结合可以计算如下行列式值：

nxaiii

eq\o\ac(○,4)

范德蒙德列式专辑2

2

cc2

2

，此4阶列式并非范德蒙德行式，并非个元的零次至3次构成。

4

4

c

4

4解法一：采用降阶法，即利用行列式展开定理，逐步展开行列式。

10

24

24

cc2c4

24

ccc

24

24

cc22c44

24-8-

或者

1

c

r

c

2

2

c

2

2

rr

22

c

4

4

c

4

4

rr

4

4

c

4

4

4

4c

按1行展开

24

24

24

24

24

24＝

b＋

cc

b＋

2

dy

xadab

cxy

122acab

解法二：利用范德蒙德行列式。但是首先对原行列式增加一行一列，使之成为5阶德蒙德行列式fc,dx

c

xf,x

23

23

cc

23

23

xx

23

，其中（4，）元素

3

的余子式即是所求

4

。

4

4

c

4

4

x

4按第5列开

f,AA254555

(1)，即D445根据范德蒙德行列式得fc,x其中

(2)

(1)式与2)式是

的4次项式

fc,,

的两种表示方式较两者

3

的系数于是得到

3

的系数为

所以

D45

-9-

11112222nnnD11112222nnn【例算列式n

an1an2

a11an22

ab1abn2

bn1b2

annnn

abnnnn

11

2

2Dn

ni

ni

22

2

2

aii1

biai

ba

jj

1

bjiij

nn

n

2

n

2【例算

Dn

x1x21

x2x2

xnxnxn1

1

x2

n

2

n

xn

n

n

n解答：将第1行－倍到第行，将第2行－倍加第行…，最后将第n－行的－1倍加到第n，于是原行列式变换为

D

r,r,,r22nn

xx

xx

xx

ij

x

x

x

【例算D

xxxx

xxxx

xxxx2xn

x

x

解答：依次对每一行提出因子

jj

j2,-10

xx

D

xcc,,1x

c

j

xjxj

xx

xx22

xx2nxn

n

x

x

r,r,,r2nn

j

xjxj

xx2

xx2

xx2

jxjj

i

j

【例

xnx，用范德蒙德行列式证明

x

aDb3c

222

解答：给定行列式并非范德蒙德行列式，因此需要对其进行变换化为范德蒙德行列式。aa

2

aabcaa

2

abDc3

cb1cc

22

bc

22

abb3abc

22

ababa21

a

2

bc

22

c,ccbb32

22cbDbb3c

222

eq\o\ac(○,5)

三形行列利用性质将行列式化为三角形行列式进行计算。注意通常化为以下几类三角形行列式：eq\o\ac(○,1)

1121

22

1112a22

n2n

11

nn

；1

n

nn

nn-11

eq\o\ac(○,2)

aa,n2

,n

2

a2,n

a2n

爪形行列式最终将行列式化为三角形行列式计算。eq\o\ac(○,6)递推法变换行列式为同类型得较低阶行列式来表示，从而建立起递推关系。【例算列式

按第一行展

00

1

n1

1n

n0

n

n

n21ii

i

。【例算三对角线行列式（行列式的非零元素都在对角线上，以及与对角线“平行”的上、下两条斜线上）

Dn解答：将

D

n

按第1列开得，建立递推公式

Dn

n

1

1

即得：

n

，整理得

递推得到：

Dn

1

1

，

D2

-12

n所以：Dnn并依此公式递推：

，即得到递推公式n

n

n

eq\o\ac(○,7)数学纳：教材习题一5（）x

00x

0Dxn0x

n

x1

n

x2

n

xn

nn

n

n

2

x1用数学归纳法证明：1、当＝时，

112、当＝时，

2

xa2

x1

x

2

x123、假设对于－1阶行列式命题成立，即

D

x

x

那么按第一列展D，x

x

00Dn

0

n

n

n

2

x1DAxD111111

n(xD

将1)式带入2)式，即可得

Dx

x

Cramer法线性方程组

axx1112axx2122n2axxn1nn当

b01

时，该线性方程组称为齐次线性方程组；当

bb,b12n

不全为零时，该线性方程组称为非齐次线性方程组-13

注意：eq\o\ac(○,1)法只适用于解决方程个数＝未知量个数且eq\o\ac(○,2)次线性方程组总有解，总是有零解。二、矩阵：1.求

的线性方程组；1.理解矩阵的概.2.了解单位矩阵，纯量矩阵、对矩阵，三角矩阵，对称矩阵以及它们的基本性3.掌握矩阵的线性运算、乘法、置及其运算规.4.理解逆矩阵的概念，掌握矩阵逆的充要条件，掌握可逆矩阵的性.5.掌握矩阵的初等变换及用矩阵初等变换求逆矩阵的方.6.了解矩阵等价的概念7.理解矩阵秩的概念并掌握其求.3.阵运算性矩阵加运算规律

A,

都是同型矩阵）eq\o\ac(○,1)

A

；eq\o\ac(○,2)

A

；eq\o\ac(○,3)

A；eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,)A

-14

0001000010b100n运算性质：eq\o\ac(○,1)

A

；eq\o\ac(○,2)

；eq\o\ac(○,3)

；eq\o\ac(○,4)

A矩阵的法：运算性质设下列运算有意）eq\o\ac(○,1)

；eq\o\ac(○,2)

；eq\o\ac(○,3)

；eq\o\ac(○,4)k注：一般情况下，eq\o\ac(○,1)满足交换律

AB

；eq\o\ac(○,2)有消去律

；（若

A

，则有

ABA

ABA

ACB

）例如：

000AABAC

显然

，但C

。eq\o\ac(○,3)

ABOA或或A,且OO例如：

ab1aa10转置矩运算性质：eq\o\ac(○,1)

A；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)T；eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,)T；eq\o\ac(○,4)eq\o\ac(○,)

方阵的列式运算性质AB均为n阶阵）eq\o\ac(○,1)

T

；eq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)

；eq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,)AB，注意eq\o\ac(○,3)只有当

A,B

均为阶阵时才成立

A,B

分别为

mn

型矩阵时，

AB

未必成立eq\o\ac(○,4)

A

A，时eq\o\ac(○,)AA

；eq\o\ac(○,6)般情况下

AA伴随矩n阶方A与伴随矩阵

时可交换的：

AAAE运算性质AB均为n阶阵）eq\o\ac(○,1)

B

；eq\o\ac(○,2)

A

A

n

；eq\o\ac(○,3)

n

；eq\o\ac(○,4)

R

,RR

；eq\o\ac(○,5)

-15

A121，A121，

；eq\o\ac(○,6)A，

A，则

n

A

，n≥2.逆矩阵运算性质AB均为n阶逆方阵）eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,)若A，则

A

;eq\o\ac(○,2)

；eq\o\ac(○,3)

B

；eq\o\ac(○,4)

n阶方A可的充分必要条件：n阶方A可

A

（即A是非奇异方阵）

R

（即A降秩方阵）

A可以表成若干个初等矩阵的乘积齐线性方程组A

只零解非齐线性方程组

只有唯一解求逆矩阵的方法：以下方、eq\o\ac(○,2)用于给定

元素值的可逆方阵求逆eq\o\ac(○,1)

伴随矩阵求逆法，

A

1

；

eq\o\ac(○,2)等变换法

，或者

Eeq\o\ac(○,3)

分块对角矩阵求逆法（仅限于方阵的分块矩阵是分块对角矩阵eq\o\ac(○,4)用

s，或者AA得到

2s（习题二的15，19，，，）若给出矩阵A满的关系式，要求与A有的某个矩阵f情况下可以将给定的关系式等价的化简为f出

初等矩阵初等矩阵的逆矩阵仍然为初等矩阵，E

；

；

E

分块矩在对矩阵进行分块运算时，要注意分块的合理，保证分块矩阵运算由意义。eq\o\ac(○,1)般情况下，

ABC

BC-16

12snn1ξ1ξTTaaa12snn1ξ1ξTTaaa1mnξTT1122meq\o\ac(○,2)块对角矩阵

A

n

A1

A

2

AAA

A

s

；

A

若方阵A可

A

A

A

A

s

利用分块矩阵表达方阵的行列式：例常的种块法

α,α,βαα,β,α,β32112

eq\o\ac(○,1)

2

βs1

γ

s

，则AB=Cβ,2eq\o\ac(○,2)Αα12

n

γβjs12jj,γnij1

=α,α

b

γ,2

,

γj1,2,sj2j2jeq\o\ac(○,3)

ξηa,Cijm

，则ΑB

TT2aξTξTξii2对角矩

ij对角矩阵Λdiag,Λ212若Λdiag,212

；,n

，

1

2

n

同阶对角矩阵的和、数乘、乘积结果仍然是对角矩阵。对角矩阵左乘矩阵：

m

m

1

,2

m

，-17

TTTT4TTTT4对角矩阵右乘矩阵：

A

Λ

,

k,k

1

方阵的运算eq\o\ac(○,1)A计算

2A3

,

,

k

找出规律（例，习题二的8题）eq\o\ac(○,2)A可以示成AT其,β均型矩阵可以利用矩阵乘法的结合律计算A的运算A

β

T

是一个数，所以Akαββα

ββααββα

Aeq\o\ac(○,3)

1PΛ

时，

k

PΛ

k

P

，则

（例，习题二的，题）矩阵多式设有的k次项式

，x用n方阵A替时，就成为了矩阵多项式：0

AE0

（注意常数项

0

被替代成

a0

它有如下性质：1)

方阵；2)

n

阶方阵

A

的两个多项式

总是可交换的（尽管矩阵乘法不满足交换律），即式

（因此，普通多项式的乘法规则与因式分解规则也适用于矩阵多项3)若

Λdiag

4)若

时，则

4.用矩阵性计算行式4.1求方阵行式例1：设4阶阵，

A,γ,

,γ,αβ,γγγ4234

均为4维向量，且A

求

2A

B

AA解答：eq\o\ac(○,1)

，注意一般情况下

AB

，因此利用行列式的性质。Aγ,2γ,γA,2γ223

4

，则2

4

,γγ,242AB

（注意此题中矩阵加法与行列式加法的区别）eq\o\ac(○,2)

2A

A

Aeq\o\ac(○,3)

AA

A

5例2：设

αβγ

均为3维向量，

A

βγ,

,γ

，已知

A,求B。解答：解法一、

β,γ

-18

21021ijnnnA1,γαααγα21021ijnnnA1

,γγγ

,

cc,cc9322

,γ

B所以

a9

02

解法二、根据矩阵乘法，

Aαββγ,γαα,β,γ10

102

10所以

A

,γ

210

γ

20B021关方的列值n阶阵A可逆

A

（即是非异方阵）R

（即满秩方阵）

可以达成若干个初等矩阵的乘积齐线性方程组A

只有零解非次线性方程组

只有唯一解A的个征值全不为0n阶阵A不可逆

A

（即A奇异方阵）R

（即降满秩方阵）

不可表达成若干个初等矩阵的乘积

齐次线性方程组

有非零解非次线性方程组

没有解或者有无穷多解A的个征值中至少有一个为04.2有关伴矩n阶方A与伴随矩阵A交的：

AA

AAE.4.3矩阵行相、和等矩各元之相设矩阵

Am

中，各行元素之和相等，即

j

1j

2jj

mjj