2019-2020学年黑龙江省大庆实验高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省大庆实验高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点到原点的距离为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据空间中两点间的距离公式求解.【详解】故选：B【点睛】本题主要考查了空间中两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据导数公式及法则求解.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题主要考查了导数的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据空间点的对称性求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称，把x变为-x，z变为-z，y不变，所以点关于轴的对称点为故选：C【点睛】本题主要考查了空间中两点间的对称，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4．已知命题，﹔命题，，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先判断命题，命题的真假，再利用复合命题的结论判断.【详解】由指数函数的值域知，命题是真命题，因为，所以，命题是假命题，则是真命题，所以是真命题.故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5．是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用不等式的性质可知能推出,利用取特殊值法可知推不出,从而得到结论.【详解】解:当时,由不等式的性质知成立;当时,取,则不成立,所以是成立的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题考查了不等式的基本性质和四种条件的判定,属基础题.6．曲线和围成的封闭面积是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意画出直线与曲线所围成的封闭图形，利用定积分求出面积.【详解】直线与曲线所围成的封闭图形如图阴影部分,两个交点坐标分别为，其面积为：故选：A【点睛】本题主要考查了利用定积分求曲边梯形的面积，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于基础题.7．已知空间向量，，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据，则求解【详解】因为向量，，又因为，所以.解得=.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8．命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】根据命题的否定的定义判断，要注意既要否定结论，也要转化量词.【详解】因为命题“，”根据命题的否定的定义所以命题“，”的否定是，故选：B【点睛】本题主要考查了命题的否定，还考查了理解辨析的的能力，属于基础题.9．如图所示，在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，从而得到相应向量的坐标，再利用线线角的向量法求解.【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DD1，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=1则B(1,1,0)，C(0,1,0)，M(,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，所以，与，设异面直线与所成角为，.故选：A【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．已知双曲线的标准方程为，过双曲线的左焦点作斜率为的直线，恰好与圆相切，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先通过焦点设出直线方程，再利用直线恰好与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】设左焦点为，则直线方程，即，因为直线恰好与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以，所以.所以双曲线的渐近线方程为故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11．函数，当时，恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】将当时，恒成立，转化为时恒成立，再令，用导数法求最小值即可.【详解】因为函数，当时，恒成立，所以时，恒成立，令，，当时，，当时，，所以当时取得最小值e.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.12．椭圆与双曲线的焦点相同，，分别为左焦点和右焦点，椭圆和双曲线在第一象限的交点为，若，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列选项中正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】先根据椭圆与双曲线的定义求得，再在中，利用余弦定理，化简变形求解.【详解】设，根据题意，，解得，在中，设，由余弦定理得，所以，，，，所以.故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的定义和余弦定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．已知抛物线方程为，则其准线方程为__________．【答案】【解析】因为抛物线的标准方程为，即，且开口向上，焦点在轴的正半轴上，所以其准线方程为，应填答案．14．已知，满足线性约束条件，则的最小值为________.【答案】；【解析】根据约束条件画出可行域，平移目标函数所在的直线，找到最优点，将最优点的坐标代入目标函数求解.【详解】根据约束条件画出可行域，如图所示：平移目标函数所在的直线，最优点A()，所以故答案为：1【点睛】本题主要考查了线性规划，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于基础题.15．计算__________．【答案】【解析】分析：根据定积分的几何意义，将定积分化为两个区域的面积求解．详解：令，可得，表示以原点为圆心，半径为2的圆的上半部分．结合图形可得所求定积分为和扇形的面积之和（如图），且中，，扇形中，．故．点睛：求定积分的方法有两种，一是根据微积分基本定理求解；二是根据定积分的几何意义求解，特别是对于被积函数中含有根号形式的定积分，一般要根据几何意义转化为图形的面积求解．16．已知函数，且对于任意的，，，恒成立，则的取值范围是________.【答案】【解析】先求导，确定函数的单调性，然后不妨设，且，将恒成立，去绝对值转化为恒成立，令，转化为是减函数，通过恒成立求解.【详解】因为函数，所以，因为，所以，所以，所以在是增函数，不妨设，且，因为恒成立，所以恒成立，所以恒成立，令，因为是减函数，所以，恒成立，所以恒成立，因为所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了导数法研究不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值.【答案】（1）单调递增区间是和；单调递减区间是（2）最大值为，最小值为.【解析】（1）先求导，，则的解集对应的是增区间，的解集对应的是减区间.（2）根据（1）知，当时，，当时，，当时，，求出极值点，再加上端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值.【详解】（1），当或时，，当时，，所以函数单调递增区间是和，函数单调递减区间是.（2）由（1）知，当时，，当时，，当时，，所以，，，，当时，函数的最大值为，当时，函数的最小值为.【点睛】本题主要考查了导数法研究函数的单调性与最值问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.18．（1）证明不等式.（2）证明：当时，不等式恒成立.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）构造函数，若证不等式成立，则，用导数法求的最小值即可.（2）构造函数，若证时，不等式恒成立，则，用导数法求最小值即可.【详解】（1）因为不等式成立，所以成立，令，所以，当时，，当时，，所以是函数的极小值点，即，所以.（2）要证时，不等式恒成立，只需时，不等式恒成立，令，，由（1）可知，，所以函数在单调递增，即，所以.【点睛】本题主要考查了导数法证明不等式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．已知抛物线上一点到焦点的距离.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线与，两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得，如果存在，请求出定点的坐标，如果不存在请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】（1）根据，求得，得到点，再代入抛物线方程求解.（2）设过点的直线方程为，与联立抛物线得：，设点，，，根据，则两直线的斜率互为相反数，即，再由求解.【详解】（1）因为，所以，点，代入抛物线方程得，，解得，所以抛物线方程是.（2）设过点的直线方程为，与抛物线方程联立得：，，，设点，，，，，因为，所以，即，，所以，所以，由于具有任意性，所以，即.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20．如图所示在四棱锥中，下底面为正方形，平面平面，为以为斜边的等腰直角三角形，，若点是线段上的中点.（1）证明平面.（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据为的中点，为的中点，有，再根据线面平行的判定理证明.（2）取中点，由平面平面，得平面，即，，俩俩垂直，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，再利用面面角的向量法求解.【详解】（1）连结，相交于点，连结，，为的中点，为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）取中点，中点，连结，，，，因为平面平面，所以平面，即，，两两垂直.以，，为，，轴建立空间直角坐标系如图所示：，，，，，，设平面的法向量为，则，即，令z1=1，，，，设平面的法向量为，则，即，令z2=1，所以.二面角的平面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理，二面角的求法，还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数.（1）求函数的最小值；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先求导，再求极小值点，从而求得最小值.（2）先将恒成立，转化为，恒成立，令，用导数法求的最大值即可.【详解】（1）因为.所以，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值为.（2）因为恒成立，所以，恒成立，所以，恒成立，令，，令，，当时，，当时，所以当时，取得最大值，所以，所以当时，，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当为函数取得最大值，所以，所以取值范围是.【点睛】本题主要考查了导数法求函数最值，证明不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.22．已知椭圆的左右焦点分别为，，该椭圆与轴正半轴交于点，且是边长为的等边三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点任作一直线交椭圆于，两点，平面上有一动点，设直线，，的斜率分别为，，，且满足，求动点的轨迹方程.【答案】（1）（2）点的轨迹的方程为【解析】（1）根据焦点，得到的关系求椭圆的方程.（2）当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，与椭圆方程联立，