系统校正和控制器相关设计方案

系统校正和控制器相关设计方案运算规律也叫控制规律.本章的内容仅涉及如何设计控制规律以满足人们对控制系统的性能要求.

5.1

状态反馈与极点配置用古典控制理论只能对输出进行反馈,而输出所包含的系统的信息量较少,当被控对象本身的特性较差或人们对控制系统的要求较高时,输出反馈就现得力不从心.而在现代控制理论中往往采用状态反馈来任意配置极点从而达到目的.

假设单输入单输出系统开环传递函数为:且假定无零﹑极点对消,则可证明开环系统既状态完全能控又状态完全能观.还可证明能使闭环系统的极点任意配置的充要条件是受控系统状态完全能控.若受控系统G0(s)用动态方程描述,则:其结构图如下:现对上图系统通过阵实施状态反馈,可得下图:由上面闭环系统的结构图,可得:,代入原动态方程得:其中叫状态反馈阵,分别为状态的反馈系数,下面讨论如何确定使闭环系统的极点配置在s平面的期望位置上.设受控系统状态完全能控,则一定能找到一非奇异线性变换阵Q,使受控系统的动态方程变换为能控标准型,即:其中:而:若上面变换为能控标准型的动态方程经状态反馈阵进行状态反馈,则闭环系统的动态方程为:由于:所以闭环系统的特征多项式为:若闭环系统的极点配置在s平面上的期望位置为:则期望的特征多项式应为:令上两式相应s前的系数分别相等,则闭环系统的极点就在所期望的位置上.从而由:(1)得到状态反馈阵而能控标准型变换前的,上面推导过程可得求状态反馈阵的步骤应为:(1)判受控系统状态是否能控.(2)若受控系统状态能控,将其动态方程用Q阵变换为能控标准型.(3)由期望的闭环极点求出(4)由式(1)求出在能控标准型下的状态反馈阵(5)令得变换系统的状态反馈阵当受控系统G0(s)无零﹑极点对消时,可直接写出受控系统的能控标准型动态方程,则可由上述步骤中的第(3)﹑(4)步求出

当受控系统直接由非能控标准型动态方程给出时,也可直接由求得阵的各元素值,只是式(1)变为由n个分别为关于的代数方程组成的代数方程组,求解稍为麻烦些.例1:受控系统无零﹑极点对消的传递函数为:求状态反馈阵,使闭环系统的极点为-2,-1+j和-1-j解:由于受控系统G0(s)无零﹑极点对消,可直接写出其能控标准型动态方程.由得:设反馈阵则闭环特征方程为:而期望的闭环特征方程为:由式(1)和式(2)得:即:例2:受控系统状态方程为:可否用状态反馈任意配置闭环极点?如可以,求状态反馈阵,使闭环极点位于解:因为所以受控系统状态能控,可用状态反馈任意配置闭环极点由:得:即:

以上均以单输入单输出受控系统为例讨论了利用状态反馈任意配置闭环极点的问题,所的结论,对多输入多输出受控系统也是适用的.进一步的讨论,请参见书上P.239~P.250的有关内容.

课外习题:P.317第5.1题,第5.2题,第5.5题,第5.9题(1)﹑(2)5.7状态估计与状态观测器

采用状态反馈任意配置闭环极点比用输出反馈更容易获得性能指标高的控制系统.为实现状态反馈,就需得到X(t),但在工程实际中,有的状态变量并无实际的物理含意,有的既使有实际物理含意,受现有技术的限制,也不一定能量测到.这就引出了状态估计与状态观测器的问题.

所谓状态估计是指利用系统的已知信息,如已知或能量测得到的系统输入及能量测得到的系统输出,通过一个模型重构系统的状态变量.这种重构状态的方法叫状态估计.

重构状态的装置在确定性系统中称为状态观测器.设实际系统结构图如下所示:最简单的观测器是由上面给出的实际系统的动态方程用计算机模拟,如下示意图:

图中下半部分即为用计算机模拟实际系统,并得到实际系统状态变量X(t)的估计值.因为是估计值,所以与X(t)一般情况下总存在误差,误差用下式表示:如果将上图改成下图:图中,实际系统的输出Y与模型的估计输出实际系统模型之差为,即:由于模型对实际系统状态变量的估计值通过反映到,即:,而实际系统的状态变量X通过反映到可量测的Y,即:,因此式(2)也反映了模型对实际系统状态变量的估计误差将式(2)通过线性反馈阵G反馈到模型的端,对模型进行校正.由上图及式(1),可得:式(3)的解为:如果的特征值可任意配置,则状态估计误差可以任意快的速度趋向于零,即模型对实际系统状态变量的估计值可以任意快的速度趋向于实际系统的状态变量值.再由上图及式(2)得:由式(5)可得下面结构图:这一观测器可对实际系统的所有状态进行观测,叫全维观测器,式(5)叫全维观测器方程.如将观测器观测到的实际系统状态变量估计值通过状态反馈阵反馈到实际系统的输入端,只要实际系统状态能控,则构成的闭环系统的极点就可任配置,使实际系统获得较高的控制质量.实际系统观测器图中带观测器的闭环系统的结构图如下所示:

当然,对于带观测器的闭环系统,还可深入地讨论许多问题,有些问题请参阅第五章第5.8节.

现仅对观测器的设计举几例.实际系统观测器例1.设系统的动态方程为:试设计一状态观测器,使其具有-10的重特征值解:(1)判系统是否能观系统能观(2)设观测器的反馈阵G为:观测器方程为:例2:有一可观系统的动态方程为:试设计一极点为-3,-4,-5的观测器.解:设观测器的反馈阵G为:

因为系统能观,为方便求特征方程,先将原动态方程变换为能观标准型.令:则有:经上述变换后的观测器方程为:其特征多项式为:观测器期望的特征多项式为:由:得:变换前的观测器方程为:

由上两例可见,受控系统是n维的,观测器也是n维的,这叫全维观测器.当维数较高时如例2,求观测器方程较为困难.在工程实际中,希望观测器的结构越简单越好,也就是说,希望在达到同样要求的前提下,使观测器的维数要低于受控系统的维数.

实际中,有的受控系统的有些状态变量例如有q个可由相应的输出直接量测而得,无需对其进行估计,而只需估计(n-q)个状态变量即可,使得观测器的维数降为(n-q)维,这就是下面讨论的龙伯格观测器.

定理:有n个状态变量及q个输出量的受控系统,即:若其状态能观,且行满秩,可定义一种线性变化其中经线性变换后的动态方程为:,而是能使存在的任意矩阵其中:动态方程可表为:上式表明,X2中的q个状态变量可直接由Y中的q个输出量测得到,只需对X1中的(n-q)个状态变量进行估计,其观测器方程为:观测器的结构图如下:

例3:有一可观系统的动态方程为:变换后系统观测器

试设计一极点为-3,-4的龙伯格观测器.解:(1)系统能观,且行满秩,秩q=1,可设计二维龙伯格观测器.(2)确定Q阵,选C1阵为:则:(3)计算,并分块.写出变换后的动态方程.(5)确定G1阵.由观测器方程:得:(6)将所有算得的参数代入观测器方程:

利用上式即可画状态变量图.

课外习题:P.327第5.40题(1)﹑(2)﹑(3),第5.41题(1)﹑(2)﹑(3)5.2输出反馈系统的校正方式与常用校正装置的特性

输出反馈系统的校正方式基本分为两类,一是串联校正,如下图所示:校正装置与系统的广义对象串接在前向通道的校正方式叫串联校正.二是并联校正,如下图所示:校正装置与系统的某个或某几个环节反向并接,构成局部反馈,称为并联校正.在介绍校正的方法前,先介绍常用校正装置的一些特性.5.2.1无源校正网络

一般用阻容四端网络构成无源校正网络.1.领先网络(相位超前网络)其电路如下图所示:其传递函数为:其零﹑极点在s平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图:

超前网络的特点:(1)零点在极点的右边;(2)网络的稳态增益小于1,故对输入信号具有衰减作用;(3)从幅频曲线上看,有一段直线的斜率为正20分贝十倍频程,所以超前网络具有微分作用;(4)网络的最大超前相角发生在处,且显然,越大,也越大,微分作用也越强,但网络克服干扰信号的能力越差,的值一般不大于15.2.滞后网络(相位滞后网络)

滞后网络的电路图,零﹑极点在s平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图:网络传递函数为:

滞后网络的特点:(1)零点在极点的左边;(2)网络的稳态增益等于1,故对输入信号具有低通滤波作用;(3)从幅频曲线上看,有一段直线的斜率为负20分贝十倍频程,所以滞后网络对高频信号或噪声有较强的抑制作用;(4)网络的最大滞后相角发生在处,且显然,越大,也越大,即相角滞后得越利害.使用滞后网络对系统进行校正,应力求避免使滞后网络的最大滞后相角发生在校正后系统开环幅值穿越频率(即截止频率)附近,引起相角裕度的减小,使系统动态性能变坏.因此在确定滞后网络的参数时,一般要求小于校正后系统开环幅值穿越频率(即截止频率)的十分之一.滞后网络在校正后系统开环幅值穿越频率处的滞后相角约等于3.滞后—领先网络(相位滞后—超前网络)

滞后—领先网络的电路图,零﹑极点在s平面上的位置及对数幅频和相频特性曲线见下图:

领先滞后网络传递函数为:式(3)中:

其它常用无源校正网络见书上P.255表5.15.2.2有源调节器无源校正网络有以下几个不足之处:(1)稳态增益小于等于1;(2)级间联接必须考虑负载效应;当所需校正功能较为复杂时,网络的计算和参数调整很不方便.由于上述不足,实际中常用阻容电路和线性集成运放的组合构成校正装置,这种装置叫调节器.例如工业上常用的PID调节器.现仅对有源调节器的基本原理作一简单介绍.

在下面的介绍中,为讨论问题方便起见,均认为运算放大器是理想