湖南省郴州2022届高三第一次诊断性考试数学模拟试题解析

湖南省郴州2022届高三第一次诊断性考试数学（理）试题解析【试题总体说明】本套试题覆盖知识面较广，题型新颖，难度不大，内容紧扣大纲，是一轮复习中难得的一套好题。本试卷分第一部分试题卷和第二部分答题卷两部分，共150分。考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回，并分别密封装订，试题卷由学生自己保留。第I卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号，不能答在试题卷上。3．第II卷必须用毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写一新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（k=0，1，2，…，n）球的表面积公式其中R表示球的半径球的体积公式其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合A={1，2}，则满足的集合的个数是 （） A．1 B．3 C．4 D．8答案：C解析：由题意可得集合B中一定有元素3,1和2不确定，故满足题意的集合B的个数为4.2．已知等于 （） A． B．3 C．0 D．—3答案：B解析：.3．“”是“对任意的正数x，均有”的 （） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件答案：A的角为由正弦定理可得，解得，所以与的夹角为，所以.6．已知函数的值为 （） A．10 B．—10 C．—20 D．20答案：C解析：由导数的定义可知,又，所以.7．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0，5，10三种数字，每人则可喊0，5，10，15，20五种数字，当两人所出数字之和等于某人所喊时为胜，若甲喊10，乙喊15时，则（） A．甲胜的概率大 B．乙胜的概率大 C．甲、乙胜的概率一样大 D．不能确定答案：A解析：两人共有9种岀数方法，和为10的方法数有3种，和为15的方法数有2种，故甲胜的概率大.8．下列图像中，有且只有一个是函数的导数的图象，则的值为 （）答案：B解析：由知，，由的图象可得，所以.9．已知函数，下列结论正确的个数为 （） ①图像关于对称； ②函数在区间上的最大值为1； ③函数图像按向量平移后所得图像关于原点对称。 A．0 B．1 C．2 D．3答案：D解析：当时，，所以①正确；时，，所以②正确；函数图像按向量平移后所得的解析式为，所以③正确.10．已知函数，则函数的图像可能是 （）答案：C解析：做出的像，再将x轴下方的做关于x轴对称图像即可得函数的图像.11．从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事A种工作，则不同的选派方案共有 （） A．280种 B．240种 C．180种 D．96种答案：B解析：从事A种工作有4种选择，从事B，C，D工作的由5×4×3=60种选择，故共有4×60=240.12．设表示不超过x的最大整数（如），对于给定的，定义时，函数的值域是 （） A． B． C． D．答案：C解析：当时，，当时，，所以故的值域是.第II卷（非选择题，共90分）考生注意事项： 请用毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答，在试题卷上书写作答无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。16．在实数集R上定义一种运算“*”，该运算具有性质： ①对任意； ②对任意； ③对任意则=；函数的最小值是。答案：5,2解析：1*2=(1*2)*0=0*1*2+(1*0)+(2*0)-2*0=0+1+2-0=3f(x)=*=(*)*0=0**+*0+*0-2*0=+.三、解答题：共6小题，满分74分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）已知向量（I）求的最小正周期与单调递增区间；（II）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若的面积，求a的值。答案：解析：(Ⅰ)………（3分）∴的最小正周期为＝，……（4分）由得∴的单调递增区间为…（6分）(Ⅱ)＝4得即∵∴，即A＝…（8分）又∴∴…（10分）在△ABC中由余弦定理有∴…………（12分）18．（本小题满分12分）某中学在高二开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，对于该年级的甲、乙、丙3名学生。（I）求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；（II）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（III）求某一选修课被这3名学生选择的人数的数学期望。答案：解析：(Ⅰ)3名学生选择了3门不同的选修课的概率：则……文（6分）理（3分）(Ⅱ)恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率：…文（12分）理（6分）(Ⅲ)设某一选修课被这3名学生选择的人数为，则＝0,1,2,3……（7分）P(＝0)＝P(＝1)＝P(＝2)＝P(＝3)＝010123P……（11分）……（12分）19．（本小题满分12分）已知数列（I）求数列的通项公式；（II）记答案：解析：(Ⅰ)由得…（3分）∴数列{}是首项为1，公差为3的等差数列∴即…（6分）(Ⅱ)∵…（9分）∴＝………文（12分）∴………（12分）20．（本小题满分12分）已知在区间[0，1]上的最小值。答案：解析：：当即时，在[0，1]上递减∴……（2分）当即时，为二次函数（3分）若即时，的开口向上，其对称轴为…（4分）当即时…（6分）当即时，…（8分）若即时，的开口向下，其对称轴为…（9分）（10分）综上可得：…（12分）21．（本小题满分12分）已知函数上的奇函数，当（I）求的解析式；（II）是否存在实数a，使得当的最小值是3，如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由。答案：解析：(Ⅰ)设∴又为奇函数，＝－∴函数的解析式为……（4分）(Ⅱ)假设存在实数符合题意，先求导①当，由于，则∴是上的增函数，∴则（舍去）