给学生的概率论与数理统计

11

本22

本：９

例设随

Y

概率

本e f(x

（１）求X与Y的缘概率密度，并判X与Y是否相互独立求

的条件下X的条件概率密度）（３求 X }X1 ，X 解x0f

) xf

x

x

f(x,y)

e

0x

本 fX(x)

e

x yy

fY(y)yfY(y)0 dxy

yefY(y)

ye

y 4f(x,y)4

fX(x)

fYy)－－－－不独y

fY(y)

e

0

fX

(x

y)

f(x,

f(x,y)

1/

fY0x

(y)y

fY(y)y

ye

y

yP{X2Y

f(x,

x2yx2 32 32

eydy 1

2e

5 3e5 fX

(x

y)

f(x,

1/

0x

本

fY

(

y

y1

2e

3e

x2yP{0X0.5|

P{0X0.5,Y

y 12 dxx 12yeydy0

1

0.5e1e1

x6 x6f(x

0 本 |(Yx

f

y

1fX(|Y|x

0 X

X|Y (xX|Y2

1 4 4

0 |(Yx

f(x f y

X

7,,

理

)

,本,8X与Y：条件充要独立0812＊证明：《概率论与数理统 》华东师12大学数学系编，高等教 ９８３年１０月第一版，Ｐ１２８＊▲定义

量的独立性的推

本

,

XiX

i

1,

n分别是n

,n)数何实

对，若布缘分及x

x

n，有,

1

x)

XnX

92机92

X

,n

＊连续型随

量

X

n 相互独立的nx x

2

1

x X2X

2( n意的若对xn

x

,n成立。处处几乎上去面上除平面在：含义是的”立。处成，处合外的集积为

x

,

nX度

率密度的X Xi

xi

1,

n

i

＊离散型随

量

X

n n X

, Xn { P

X2

n n ＊一般变

X

,m

,

,n的对任x

x

,my

y

n有 (x

1x

m;

, n (

x

x)

F(

y,yn 中

x1

,

)

y1

,

x 1x,

m;

,2

n

次是随

X

,mX ，

,

,nY

m;1

n,

＊定理

X

,mX

,

,n互独

X

1,

m

j

j1,

n,独立

x,

y,

,

时(X

,mg

Y

,n

§３．５两个

量函数的分

本在实际应用中，有些 量往往是两或两个以上 量的函数上的人群，用考 在 XY

知且已，并血压ZXY系式数关的函

)Y现希望通(

Y

＊主要

X

Z

ZXY的分

本已知离散型 (

Y

布律为的 ,

iY

ij Z

kx

i

,I I

足为z

xi

j

）标集的P Z

k

i

} PX{zkj

Y P xi

Yk

z i 型随若离散

与Y且独立，相

本 k k

r则 ：布为率分的rP Z

P{

(}

r

P Yi0r

r i0

i P

r

r i i0

－－－卷

Y

如下率分布的概本X X1

. 20.. .10

.15.00

。分布Ｙ的Ｘ＋数Ｚ＝解X

, ZX

}Y.

.20

.15

本X1,Y ZX

XY}

X2,Y

1 ZX

XY 1

0.100

0.00 0.10

0.05

＊一般(

)

型随离散是二g

本 X

,

iY

ij 设

)为取值

能可的所有,z

则Z z

}P

i

}

( jy k若量，

Y

为率密的本f(x

Z

Y ( P{ }

xuf (y

)

uxx y

x:zu:zy )

x y

(y

)

x

yz z

y

)

F

y

)

本 z z

x

yzZ Zz ) Z

z

,y f同z(

x(

, x X与Yz( f z( )

(y －－卷z(

f) x ＊例２：

Y独立Y

N fX(x)

ex2/

xR

(y)

ey2/2y

，求

X

的概率密度解：fZ

(z)

X (x)X

fY(z

ex2/

e(zx)2/2dx 1

z4

(xz)2 fZ(z)

2z1ez

(e

z)2

本txz/

1z1e

et2 z2z 1e

ze4e X~NY~N

ZX

~N＊推广

本)2)2X,Y

相互独

X~N(1,1 )2Y~N(2,)2

ZX

仍然服从正态分布，且

~N

2

,

))12＊进一步))12Xi

~N(i

,

(i1,2,,

，且它们相ia1a2,aninaiXin

~N

2niiaiia nii

＊例３： 设随X与

服从且同，互独立 上 均匀，试求分

X 的分布函。函数与密 F解z }1

YX z 11

1

z

YX(Zz) ( Z

的分

本*

(X,Y

G{(x,

y)|0

x2,0

y

上服从均匀分X和Y

f(s

(x,

解

(x,y)

F(s)

xyxys

(x,

Ds F(s) 2s F(s)f(x,y)

(x,

y)

本

xyF(s)

xys

(x,

DDD0s

2F(s)DG

f(x,f(x,

y)dxdyD

f(x, 2 2

dydx

2

ln

lns) f(x,y)

(x,

y)

yxy1

本 s 222F(s)

ln

ln

0s

sf(s)

F(s)

0.5(ln

ln

0s

max(X,Y

min(X,Y

的分

本

X,Y

相互独立，其分布函数分别

(x)

(

M

max(X,Y

不大于ｚ

X和

FM(z)

z,Y

FX(z)

(z)同理

z}1

1

P{Xz,Y

1

1[1

(z)][1

(z)]

相同且有并，独立的几何分

k}

k

i

2

1

的分)

1n X

{1axX2 n,

22

{P2

X k

pqk1

p2kp2

qqp 21qnp

21

n121q 1

X1

2本2的几何分布P

i

2

1

max(1,

的分布1qn

qn Y

n

p 1q

q)

1

单项选择１．设X服从普哇松分布P(3),则

本19

3

X服

分布D

指

二

2k ３． 量X的概率分布

，