人教新课标太阳与行星间的引力精讲精练

庖丁巧解牛知识·巧学一、发现万有引力定律的历史过程1.从哥白尼建立日心说到开普勒提出行星运动三定律，行星的基本运动规律已被发现，给人们进一步从动力学方面研究行星的运动提供了条件.世纪后半期，胡克、哈雷等人对天体间的引力作用作了进一步的猜测.包括胡克在内的一些学者认为，天体之间存在着相互作用的引力，行星的运动是由太阳对它们的引力引起的.胡克等人甚至推测到太阳对行星的引力的大小跟行星与太阳之间的距离的平方成反比.但是他们都不能证明行星所做的椭圆运动是平方反比律的结果，对引力大小的数量级也一无所知.3.牛顿利用他的运动定律把行星的向心加速度与太阳对它的引力联系起来，并且把这种引力扩展到所有物体之间，阐述了普遍意义下的万有引力定律.牛顿于1684年12月写出了《论运动》一文，阐明了他在地面物体动力学和天体力学方面获得的成就.1687年，他又发表了著名的《自然哲学的数学原理》，全面地总结了他的研究成果.他所发现的万有引力定律，也在这部著作中得到了系统而深刻的论证.深化升华牛顿在前人研究惯性的基础上，发现以任何方式改变速度都需要力.这就是说，使行星沿圆或椭圆轨道运动，需要有指向圆心或椭圆焦点的力，这个力应该就是太阳对它的引力.并且把这种引力扩展到所有物体之间，阐述了普遍意义下的万有引力定律.牛顿发现万有引力定律，也是在前人研究的基础上发展而来的.实践是检验真理的唯一标准，人们的“猜想”是否正确，还须实验来检验.二、太阳对行星的引力根据开普勒行星运动第一、第二定律，行星以太阳为圆心做匀速圆周运动.太阳对行星的引力，就等于行星做匀速圆周运动的向心力.1.设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r，则行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力F=.2.天文观测难以直接得到行星运动的速度v，但可得到行星公转的周期T，它们之间的关系为v=.把这个结果代入上面向心力的表达式，整理后得到F=.3.不同行星的公转周期是不同的，F跟r关系的表达式中不应出现周期T，所以要设法消去上式中的T.为此，可以把开普勒第三定律变形为T2=，代入上式便得到F=4π2k·.方法点拨在推导引力与距离的平方成反比时，巧妙地利用开普勒第三定律把周期消去（因为不同行星的公转周期不同），使之仅与m、r有关，因此，引力与距离的关系得以证明.4.在这个公式中可以看到，等号右边除了m、r以外，其余都是常量，对任何行星来说都是相同的.因而可以说太阳对行星的引力F与成正比，也就是F∝.这表明：太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比.三、行星对太阳的引力就太阳对行星的引力来说，行星是受力星体，因而可以说，上述引力是与受力星体的质量成正比的.根据牛顿第三定律，既然太阳吸引行星，行星也必然吸引太阳.就行星对太阳的引力F′来说，太阳是受力星体.因此，F′的大小应该与太阳质量M成正比，与行星、太阳距离的二次方成反比.也就是F′∝.四、太阳与行星间的引力由以上讨论可以看出，若行星的轨道半径一定，行星所受引力随行星质量的增大而增大;另一方面，如果太阳的质量改变，行星所受引力也必将随之改变.也就是说，如果行星与太阳的距离不变，引力既与行星质量成正比，也与太阳质量成正比.方法点拨这种限制一个量的变化，研究另两个量的变化的方法，称为控制变量法.这是研究物理问题很常用的一种方法.把以上讨论的各个结果概括起来，就有F∝，即太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比.写成等式就是F=，式中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系.太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线.深化升华①G是比例系数，与行星和太阳均没有关系.②太阳与行星间的引力规律，也适合于地球和卫星间的引力.③该引力规律普遍适用于任何有质量的物体.问题·探究问题1教材是如何追寻牛顿的足迹，一步步得出太阳与行星间的引力规律的？探究：教材在寻求太阳与行星间的引力规律时，大体经历了以下步骤:提出猜想：行星围绕太阳的运动可能是太阳的引力作用造成的，太阳对行星的引力F应该与行星到太阳的距离r有关.建立模型：行星轨道按照圆来处理.理论论证：应用开普勒运动定律和牛顿运动定律，分三步进行推证：（1）根据开普勒第一、第二定律和牛顿第二定律进行计算，得到太阳对行星的引力F∝；（2）根据牛顿第三定律，得到行星对太阳的引力也存在与上述关系对称的结果，即F′∝；（3）根据上述两个关系式和F=F′，得到太阳与行星间的引力F∝，写成等式即F=.得出结论：太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线.问题2如果要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星，我们需要观测这些卫星运动时的哪些数据?观测前你对这些数据的规律有什么假设?探究：首先明确推测和分析太阳与行星之间引力规律的思路，知道推理过程应用了开普勒行星运动定律和牛顿运动定律，那么要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星，就必须首先观测证明卫星围绕行星运转是否遵循.要学会逆向思维寻找思路，类比推理获取结果.我们知道，在推测和分析太阳与行星之间引力规律的过程中，应用了开普勒行星运动定律和牛顿运动定律，而开普勒行星运动定律是开普勒根据研究天文学家第谷的行星观测记录发现的.因此，要验证太阳与行星之间引力的规律是否适用于行星与它的卫星，必须验证开普勒行星运动定律是否适用于围绕行星运转的卫星.这就需要观测卫星的运动，测出这些卫星围绕行星运转的轨道半径r和公转周期T，看看是否符合，并假设卫星围绕行星的运动是匀速圆周运动（限于我们目前的数学基础，作这样的简化假设是必要的）.经过类似的分析过程，即可得出公式同样适用于行星与卫星间的引力.典题·热题例1火星的半径是地球半径的一半，火星的质量约是地球质量的，那么地球表面50kg的物体受到地球的吸引力约是火星表面同质量的物体受到火星吸引力的（）A.2.25倍B.倍倍解析：分别列出物体在两星球表面受力的表达式，用比例法求解.设火星与地球的半径、质量分别为R火、R地、M火、M地，则两星球对同一物体的吸引力分别为F火=，F地==.答案：A方法归纳本题考查比例法在万有引力定律中的应用，这种方法在本章中经常使用，解决问题简捷明了、思路清晰，要注意运用这种方法.例2行星绕太阳运行的轨道是椭圆，但这些椭圆都不太“扁平”，因此在一般情况下常近似当作圆周运动.试用万有引力和向心力公式计算说明，对所有绕太阳运转的行星，其运行半径的三次方与周期平方的比值是一个常量，并说明此常量与哪些因素有关.若卫星绕地球运行也当作圆周运动，此结论是否也适用?解析：万有引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，依此切入推理论证即可.行星绕太阳运行的向心力为万有引力，设太阳质量为M，行星的质量为m，运行半径为R，周期为T，则=，所以=.太阳质量M一定，此比值为常量，仅与太阳质量有关且对所有行星均适用.此结论也适用于卫星绕地球运行，只是常量应与地球质量有关.方法归纳天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，要理解表达式中各量的物理意义，并能根据题目中的已知条件和待求量之间的关系进行相关的推导.例3质量为m的物体在离地某高处的重力是它在地表附近所受重力的一半，求物