二次根式化简的方法与技巧

二次根式化简的方法与技15二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的糖念与性质后，进行二次眼式的化简与运算时，一般遵循以下做法：①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参限多项式乘法进行，运算中要运用公式4a-4b=>[ab(4/>0,Z?>0)③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，热后通过分段有理化进行运算.④二次板式的加清法与多项式的加减法类做，即在化简的基硝上去括号与合并同类⑤运算结果一般要化成量筒二次根式.化筒二次根式的常用技耳与方法所谓转化：解教学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我力在解千变万亿的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的施径。二次根式的化简是二次根式教学的一个量要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本收念和运算法妙外，还要掌握一些特殊的方法和技15,会收到事半功倍的效果，为分、合并是化简二次根式的两个I要手段，因此我ri在化筒二次根式时应想办法把题目转化为可以为分和和可以合并的同类根式。现举恻说明一些常见二次根式的转化策略。一、四用公式法a-2y1ba+〃+〃一〃例1,计算&-屈 &+亚舄原式（3+2右）—（0+湍）~~ 1+V2-V3_（1+7^）2—仆（1+应）― 1+V2-V3=1+V2三、正■设元化筒法。2屈例3:化简72+75+^分析：本例主要说明it数字根式转化成字母的代替效字化筒法，通过化简替代，便其变为简单的运算，再运用有理效四J8运算法国的化简分式的方法化筒，倒如：J5=4,JS=c,J，=A，必=J6,正好与分子明合。对于分子，我f］发现/+〃=。2所以a2+b2-c2=Ot于是在分子上可加/+〃一。2=0,因此可能能使分子也有望化为含有4+/2+C因式的积，这样便于为分化简。解：议a=（1,后=b*息=C,H2ab=2瓜且a2+b2-c2=0

_2aba+b+c2ab+a2+一a+b+c_(a+ —c2a+b+c(a+Z?+cX4+b—c)a+Z7+c=a+b—c=V2+V3-V5四、拆91变形法例4,计算W+2-76+>/5(x/5+y/b^Jb例4,计算分析：本倒通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过为分化简，如转化成：4=1+:再化筒，便可知其答案。ababR：原式(•x/^+ )-t-(V6-+- )(V5-fV6X-x/6-fV7)V5+V6,V6+V7(V5+V6/V6+V7)(V5+76^76+V7)

11 I- -V5+V6V6+V7=V6-V5+V7-V6=V7-a/5五、整体倒数法。(a/5+ +1)倒5、计算、底+2后+1分析：本倒主要运用了变倒数后，再运用有关公式：4」+；，化简但还要abab(a/5+a/3)(a/3+1)(a/5+a/3)(a/3+1)V5+2V3+1解：SA=JJ_= 4+2/+1五一(Vs-hV3XV3-Hl)_ + (V^'+i)5 3+]J-_11-V3-+-1Vs-f-V3V3—1V5—V3= + 2 2一2所以A=2所以A=2V5-1公+12^借用整教ar处理法。+3及-26倒6、计算夜+再+、后分析：本用运用很多方面的知识如：1=/+啦)(行一行)和.(〃一〃)x(a+b)=cr-b\然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再为分化筒。解：原式_(遥+⑸遥-⑸+3上-26―V2+V3+V6二(6+行)(遥-⑸+闹&-⑸―V2+V3+V6_(V3—V2)(V3—V2+V6)\13+-\^2,+yfG=V3-V2A.恒等变形整体代入结合法»7：Bflx=；("+括)，y=l(V7-V5),求下列各式的值。乙 乙(1)x2-xy+y2；⑵二十工)，x分析：本根运用整伙代入｝Ux+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法符x+y与刈代入例题中，但一定要拈府求多项式进行恒等变形便通中含有x+y与xy的因式，如/一封+V=(x+ —30，热后再到分化简。解：X=—(V7+>/5),y=—(y/l—yf5),所以：A+y=V7,Ay=^o乙ok—xy+y=(x+y)2—3王y=(V7)2-3xl工+工2V”工一+_(x+y)2—2ty(VT)2—2x；七、择次收易法：倒8、己虬1=2+6,求三二t2的值。2x-7分析：本倒运用了使题中2次届项转化成1次方的项再化简。如倒题中犯多项式V+4X-1转化为4X-1,这样进行低次易运算就容易了。解：由x=2+白，得..2=/。（x—2尸=3整理得：x2=4x-1e

3x2—2x+5=3(4x—l)—2x+5=10(2+73)+2=22+10。2x-7=2(2+V3)-7=2V3-3所以原式_22—―2V3—374-V3=42+ 3二次根式的化简与计算的策略与方法.公式法ab一/，十一十2ab一/，十一十2而【例1】计算①瓜*行;【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便..观察特征法

2♦+--3企【例2】计算：2+废-森【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，级要进行两次分号有理化，计算相当麻短，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项司乘以后，苏得分子，于是可以简解如下:【解】原式2+茂-逐一【解】原式2+茂-逐一73［«3］先下列各式的分母有理伍n-、b 、/.+1+2/x—1（1）〔而一加），@_&）；（2），兀+1+以-1（无>1）【方法导引】①式分母中有两个因式，哥它有理化要乘以两个有理化因或那样分子符有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即将分子，这僦启示我力可以用如下解法：=（声一，同：卜历-次）=1+1盛卡厩石+府= + =b盛卡厩石+府= + =b-ca-b二Kt+7一TT7-一7.历+一一•而~b[a-b)[a-c)b-c【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简.但是，不难发现②式分子中反与的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：…—i/El_【解】②原式、1+行彳=1a.; 7x-i（7x-i-7x-i）（Vi+1+Va- +1-six-1）=1+

=1+3,运用配方法[«4]]简,3一2、年【解】原式=72-272+1=7(a/2)2-2x72x1+12【解】原式=萩-1丫=72-1【解后评注】注意这时是算术根，开方后必系是非负数，显然不能等于“1一，5”Jb-反+16+Jb-反+16+存【倒5】化筒[解](斤荐+«+府1二6一.国+246-席)(6十席卜6十735=12+2读-35=旧.J6一席+J6+*=./14••【解后评注】对于这类共匏根#一痣与"心的有关呵%一般用平方法，可以进行化简.恒等变形公式法[»6]化简[»6]化简[42.+#-在，+(招一、巨+,而y【方法导弓I】若直接展开，计算数案，如利用公式("“+("-')2=2公"),H便运算筒伍【解】原式=国+/一⑹卜居-伊♦=2上门j+(72=2x(3+8-473)=22-8后.常值换元法［例7】化简。9%乂1999乂2000乂2001+1[解]令1998=%小原式=^la[a+I)[a+2)[a+3)+1原式=i/(“2+ +5+2)+]= +3°丫+zQ"+3」)+1=^[a1+3a+1)2=>+%+1=1998?+3x1998+1=3997999.裂顶法111A1［倒8］化简1+应短4、月正』J? 祗0441。。【解】原式各项分母有理化得原式=卜口-1）+1回-何+A+（,颂一屈）+（阿］阿）=闹-1=10-1=9【例9】化筒2+2币+际4+2岳+振曲+M［2+、/7）（713+^/10^+713）【方法导弓I】这个分数如果直接有理化分母招十分繁锁，但我f］不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是IS有如下简解：_（＞"）+（?呵\#+而）"+何［解］原式（行+凯0）2+"） .厄+J10；（4+V13）= -十 + + 77+a/IO2+近a/13+TW4十、厄氏一币币-2岳-排4-713= + 4- + 3 3 3 3斤+/-2+而一加+4-、间=|.枸造对偶式法«+2+J炉-4+2+J/—4, 十・ I［倒］0】化筒与十2一J笳-4双十2十-4【解】构造对解式，于是没«=«+2+a/«2-4i=«+2-Jr2-4

9则。+方=24+4,q&=4h+8,ab=2［*b)abC3+b)］ca'b=一十一= =' -2= 2原式方q a8ah2=h+2-2=h.由里向外，9层化筒J199邸997M6J1995X1993+1十1十1十1［解］..71995x1993+1=7(1994+1)(1994-1)+1J1994?=1994而71996x1994+1=J(1995+1)(1995—1)+1=后卧=199571997x1995+1=J0996+1)(1996-1)+1=依婚=1996,后才J1998%1996+1=J(1997+1)(1997-1)+1 ］997【解后评注】对多重根式的化筒问题，应采用由里向外，由同邮到整体，逐层化简的方法处理..由右到左，逐源化简【例11】化简《2+道■也十也十用•,2+^2+