2021年湖北省荆州市数学中考试题含详解

试卷主标题

姓名：班级：考号：

一、选择题（共10题）

1、在实数-1,0,k0中，无理数是（）

A.-IB.oc.ID.金

2、如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（）

3、若等式2a2.a+（）=3/成立，则括号中填写单项式可以是（）

A.aB.a2c..a*

4、阅读下列材料，其①〜④步中数学依据错误的是（）

如图：已知直线bHc,aLb,求证：a±c.

证明：①丁aLb（已知）

4=90°（垂直的定义）

②又•••bHc（已知）

③Z1=Z2（同位角相等，两直线平行）

N2=N1=9O。（等量代换）

④二a±c（垂直的定义）.

A.①B.②C.③D.④

5、若点产（a+L2-2a）关干x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（）

A.B.

“〃用〃人,/〃〃〃为1w〃〃/r

C.“01D.-101

_2

6、已知：如图，直线为=辰+1与双曲线乃在第一象限交于点尸00,与x轴、》轴分

别交于A,B两点，则下列结论错误的是（）

A.t=2B.小。8是等腰直角三角形

C.尢=1D.当入＞1时，乃＞力

7、如图，矩形。加C的边OA,。。分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长

线上.若省2，°）,Q（4,0）,以。为圆心、8长为半径的弧经过点B,交y轴正半轴于点

E,连接DE,BE、则m的度数是（）

A.15°B,22.5℃.30°D.45。

8、如图，在“BC中，AB=AC,乙4=40。，点D,尸分别是图中所作直线和射线与AB,

的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（）

A.AD=CD^>.ZABP=Z.CBPQ.Z5PC=115°D,2PBe=ZA

9、如图，在菱形凡53中，乙D=60。，AB=2,以B为圆心、8c长为半径画元,点

P为菱形内一点，连接PA,PB,PC.当48比为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面

积为（）

10、定义新运算“派”：对于实数切，附,q,有［m,p^q,n\=mn+pq其中等

式右边是通常的加法和乘法运算，如：［2,3钵［4,5］=2x5+3x4=22.若关于x的方程

N+Lx胀--2匕勺=0有两个实数根，则尢的取值范围是（）

k<-,八k<-k<-,八k>-

A.4且尢wOB.4C.4且上wOD.4

二、解答题（共8题）

以，+2以+1（［+2］

1、先化简，再求值：1+百人其中a=2g.

2、已知：a是不等式5（a-2）+8<6（a-l）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程

+2ax+a+l=0.

3、如图，在5x5的正方形网格图形中小正方形的边长都为1,线段ED与题的端点都

在网格小正方形的顶点（称为格点）上.请在网格图形中画图：

（1）以线段如为一边画正方形加⑺，再以线段）为斜边画等腰直角三角形DEF,

其中顶点尸在正方形外；

（2）在（1）中所画图形基础上，以点8为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形

的面积为正方形43CQ和4DEE面积之和，其它顶点也在格点上.

4、高尔基说：“书，是人类进步的阶梯.”阅读可以启智增慧，拓展视野，……为了

解学生寒假阅读情况.开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24天）的阅读总

时间作了随机抽样分析.设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为Z（小时），阅读总时间

分为四个类别：5(12<Z<24)>C(24刈<36),必936),将分类结果制成如

下两幅统计图(尚不完整).

根据以上信息，回答下列问题：

(1)本次抽样的样本容量为;

(2)补全条形统计图；

(3)扇形统计图中a的值为,圆心角尸的度数为;

(4)若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对这

些学生用一句话提一条阅读方面的建议.

5、小爱同学学习二次函数后，对函数>=-(卜卜1)进行了探究，在经历列表、描点、连线步

骤后，得到如

下的函数图像.请根据函数图象，回答下列问题：

(1)观察探究：

①写出该函数的一条性质：;

2

②方程-MF=7的解为：；

③若方程一旧-1『="有四个实数根，则。的取值范围是.

(2)延伸思考：

22

将函数y=一(卜卜n的图象经过怎样的平移可得到函数必=-(卜-2卜1)+3的图象？写出平移

过程，并直接写出当2〈乃工3时，自变量x的取值范围.

6、小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈.已知买2支百

合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元.

(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？

(2)小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支.设买这束鲜花所需费用为

w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写

出最少费用.

7、在矩形加8中，AB=2,AD=4,尸是对角线AC上不与点A,C重合的一点，

过F作FE1.弱于E,将“即沿EF翻折得到4G即，点G在射线题上，连接CG.

(1)如图1,若点A的对称点G落在加上，NFGC=90。，延长GF交43于H,连

接您.

图1

①求证：；

②求tanNGHC.

(2)如图2,若点A的对称点G落在皿延长线上，ZGCF=90°,判断4CF与“期

是否全等，并说明理由.

图2

8、已知：直线y=-x+l与X轴、y轴分别交于A、5两点，点c为直线A?上一动点,

连接OC,乙40c为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE,连接BE,设BE=t.

(1)如图1,当点。在线段上时，判断BE与的位置关系，并说明理由;

(2)真接写出点£的坐标(用含。的式子表示)；

(3)若tan乙40c=尢，经过点A的抛物线>=以?+H+c(a>°)顶点为p,且有

1_亚

6a+3b+2c=0,△产。/的面积为2k.当‘时，求抛物线的解析式.

备用图

三、填空题（共6题）

1、已知：“=（』+（一①，8=（布+@4-处则g=.

2、有不同的两把锁和三把钥匙，其中两把钥匙能分别打开这两把锁，第三把钥匙不能打开

这两把锁.任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是.

3、如图，45是。。的直径，数是。。的弦，8UC于，连接过点。作DFIIOC

交48于F,过点8的切线交的延长线于E.若3=4,DF=2,则

BE=.

4、如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB,8c可分别绕点A,B转动,

测量知BC=8cm,AB=16cm.当AB,转动到Z.BAE=60°,ZA3C=50。时，点C至AE

的距离为cm.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°«0.94,^«1.73）

图1图2

+^-^=3

5、若关于x的方程x-22-x的解是正数，则活的取值范围为.

k

6、如图，过反比例函数'=7上＞°'，＞°’图象上的四点耳，3月，匕分别作x轴的垂

线，垂足分别为44,4,4,再过耳，门，片,々分别作^轴，片4,舄4,

月4的垂线，构造了四个相邻的矩形.若这四个矩形的面积从左到右依次为$3,

s4，04=44=44=44,则号与sS的数量关系为.

============参考答案===========

一、选择题

1、D

【分析】

根据无理数的定义，即可求解.

【详解】

解：在实数-1,o,k0中，无理数是也,

故选D.

【点睛】

本题主要考查无理数的定义，掌握“无限不循环小数是无理数”，是解题的关键.

2、A

【分析】

根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【详解】

解：俯视图是矩形中间有一个圆，圆与两个长相切，

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要通过仔细观察和想象.

3、C

【分析】

根据同底数塞的乘法法则以及合并同类项法则，即可求解.

【详解】

解：3a3_2a2a-3a3-2a3=，，

等式2/a+（a3）=3a3成立,

故选C.

【点睛】

本题主要考查整式的加减运算，掌握同底数幕的乘法法则以及合并同类项法则，是解题的关

键.

4、C

【分析】

根据垂直的定义和平行线的性质进行判断即可

【详解】

解：证明：①丁aLb（已知）

/.Nl=90°（垂直的定义）

②又•/bHc（已知）

③Z1=Z2（两直线平行，同位角相等）

/.N2=N1=9O。（等量代换）

④"JLc（垂直的定义）.所以错在③

故选：C

【点睛】

本题考查了垂直的定义和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

5、C

【分析】

先根据题意求出点P关于x轴的对称点P坐标，根据点P在第四象限列方程组，求解即

可.

【详解】

・・P（a+1f2-2a）

.••点F关于x轴的对称点P坐标为产'（。+1，2a-2）

•••P在第四象限

fa+l>0

...j2a-2<0

解得：-l<a<l

故选：C

【点睛】

本题考查点关于坐标轴对称点求法，以及根据象限点去判断参数的取值范围，能根据题意找

见相关的关系是解题关键.

6、D

【分析】

_2

把尸（10代入外="即可判断A选项，把尸（L2）代入/=丘+1,即可判断c,求出/,

B点的坐标，即可判断B选项，根据函数图像，即可判断D.

【详解】

_2

解：•••直线力=芯+1与双曲线必=1在第一象限交于点尸00,

Z_2_2

...I，即：尸"，2）,故A正确，不符合题意，

把尸(】，2)代入必=气+1得：2=k+\,解得：A=1,故c正确，不符合题意，

在M=x+1中，令x=。，则必=1,令y|=0,则*=-1,

/.A(-1,0),B(0,1),BP：OA=OB,

”。8是等腰直角三角形，故B正确，不符合题意，

由函数图像可知：当入＞1时，凡＜必，故D错误，符合题意.

故选D.

【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数的图像和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题

的关键.

7、C

【分析】

连接OB,由题意易得ZBOD=60°,然后根据圆周角定理可进行求解.

【详解】

解：连接OB,如图所示：

...42,0),£)(4,0)

二OA=2,OB=OE=OD=4

OA^OB

：.2,

・.・四边形。45c是矩形，

.,・ZO45=90°,

ZOBA=30°f

，ZBOD=900-AOBA=6009

ZBED=^ZBOD=30G

・•・2;

故选c.

【点睛】

本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30。的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定

理、矩形的性质及含30。的直角三角形的性质是解题的关键.

8、D

【分析】

根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断/、6,再根据等腰三角形的性质和三角形

的内角定理判断。、D.

【详解】

解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D,BP平分/ABC,

：.AD=CD,4BP—CBP；选项力、8正确；

,/乙4=40。，

/./ACD=/A=40°,

'：4=40°,AB=AC,

:ABC=/ACB=70°,

&BP="!BP=35*4,选项，错误;

ABCP=ZACB-AACD=70°-40°=30°,

AZBPC=180°-ZCBP-ZBCP=115°,选项C正确;

故选：D

【点睛】

本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握

相关的知识是解题的关键

9、A

【分析】

以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立平面

直角坐标系，判断出N尸BC<90。，再根据ZBCP=90°和ZBPC=90°两种情况判断出

点P的位置，启动改革免费进行求解即可.

【详解】

解：以点B为原点，BC边所在直线为x轴，以过点B且与BC垂直的直线为y轴建立

平面直角坐标系，如图，

6尸。为等腰直角三角形，且点尸在菱形ABCD的内部,

很显然，N产EC<90°

①若NBCP=90°,则。5=BC=2

这。作方_L4〃，交4〃于点E,

•••四边形ABCD是菱形

:.AB=BC=CD=DA=2,乙D=乙ABC=60°

...CE=CDsinN。=2x^=^<2

•••点P在菱形ABCD的外部，

•••与题设相矛盾，故此种情况不存在;

②/BPC=90°

过P忤PFIBC交BC于点F,

•••△8A7是等腰直角三角形，

工

PF=BF=2BC=1

P(1,1),F(1,0)

过点力作4G_LBC于点G,

在灯△/8G中，ZABG=60°

AZBAG=30°

—AB=1r-r-

：.BG=2,AG==

AOY),G(l,0)

•••点F与点G重合

点力、P、F三点共线

AP=AF-PF=y/3-l

.=5Xlx(g-1)=―

=5乂2乂1=1

q_607rx22_

扇用诩c

Q—s_24y{3-1_2TT#+l

.2酊彩f扇用期C_2AASP_2的C=-----------1=-----

••5N5N

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形

的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键.

10、C

【分析】

按新定义规定的运算法则，将其化为关于X的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方

面入手，即可解决.

【详解】

解：V[2+1,X供[54A,k]=0,

・川/+1）+（5—2分）工=0

整理得，H2+（5-2幻x+尢=0.

方程有两个实数根，

判别式山。且b0.

由q0得，（5-2汇9-4/20,

k<-

解得，4.

修

二k的取值范围是一4且k40.

故选：C

【点睛】

本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是

解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题

的关键.此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视.

二、解答题

a+16+@

1>a,6

【分析】

先计算括号内的加法，然后化除法为乘法进行化简，继而把a=2g代入求值即可.

【详解】

解：原式=a(°T)

a(a-1)Ia+1)

a+1

_2/+l_6+g

当a=2抬时，原式一彘T

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则.

2、x、=2+石，x?=2^^5

【分析】

先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可

【详解】

解：:5(a-2)+8<6(a-1)4-7.

5a—10+8<6«—6+7；

/.一以<3；

43；

a是不等式5(a-2)+8<6(a-l)+7的最小整数解，

«=・2；

•••关于X的方程才24-1=0;

/.X24x-M=5；

Ag『=5；

x-2=士出；

•X]=2+指,弓=2-^

【点睛】

本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键.

3、(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质和网格的特点画出图形即可；

(2)先计算出新正方形的面积，从而得出边长，根据勾股定理和网格的特点画出图形即可;

【详解】

解：(1)如图所示

(2)•••新正方形的面积为正方形和丝即面积之和，其它顶点也在格点上.

新正方形的面积=9+4=13；

?.新正方形的边长=V13

，新正方形如图所示正方形式必即为所求

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是了解如何根

据题意构造直角三角形并利用勾股定理.

4、(1)60；(2)见解析；(3)20,144。；(4)1000名，建议见解析,

合理即可

【分析】

(1)从两个统计图可得，“3类型”的人数18人，占调查人数的30%,可求出本次

抽样的样本容量；

(2)先求出“C类型”人数，然后补全条形统计图；

(3)用1减8、C、〃的百分比即可得出”的值，用360°乘以。类型人数所占

比例即可得；

(4)用2000乘以总时间少于24小时的百分比，建议合理即可.

【详解】

解：(1)•.•18+30%=60,

,本次抽样的样本容量为60；

(2)类型C的学生人数为：60-12-18-6=24，

如图，即为补全的条形统计图;

四种类别的人数条形统计图

(3),:a%=1-30%-40%-10%=20%,a=20

圆心角产=360°X40%=144°

(3)2000x(20%+30%)=1000(名)，

,估计该校有1000名学生寒假阅读的总时间少于24小时.

同学们要利用寒假多阅读，提高本身的知识水平，扩大视野.

【点睛】

本题考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解决本题的关键是熟练掌握相关知

识.

2

V="(-1)

5、(1)①关于y轴对称；②公=-2屿=0送=2；③-1<«<0;(2)将函数-W

2

的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数必=-(卜-2卜1)+3

的图象，当2</43时，自变量x的取值范围为0<x<2或2Vx<4.

【分析】

(1)①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变

量X的值，则可看作直线y=-l与函数y=T卜卜1)的图象交点问题，进而问题可求解；③

由题意可看作直线y=a与函数、=一/卜1)的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；

(2)由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题.

【详解】

解：(1)①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，(答案不唯一)；

故答案为关于y轴对称;

2

②由题意及图象可看作直线y=-1与函数了=-（卜卜n的图象交点问题，如图所示:

2

:.方程一3一1）=7的解为演=-2,的=0,弓=2；

故答案为公=-2,弓=0^=2；

2

③由题意可看作直线y=a与函数>=一（卜卜1）的图象有四个交点的问题，如图所示:

2

，由图象可得若方程一（因一1）="有四个实数根，则”的取值范围是

故答案为

2

（2）由题意得：将函数-y="（H-ri的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个

2

单位长度可得到函数必=-（卜-2卜11+3的图象，则平移后的函数图象如图所示：

•••由图象可得：当2。逐3时，自变量x的取值范围为0<x<2或2Vx<4.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

6、（1）买一支康乃馨需4元，一支百合需5元；（2）w=-x+55,（xM9）,当购

买康乃馨9支，百合2支时，所需费用最少，最少费用为46元.

【分析】

x+2y=14

（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需7元，然后根据题意可得bx-2y=2,进而求

解即可;

（2）由（1）及题意可直接列出w与x之间的函数关系式，进而可得H-x>2,然后根

据一次函数的性质可进行求解.

【详解】

解：（1）设买一支康乃馨需x元，一支百合需/元，由题意得:

x+2y=14

3x-2y=2

x=4

解得：V=5,

答：买一支康乃馨需4元，一支百合需5元.

（2）由（1）及题意得：百合有（11-x）支，则有，

w=4x+5（ll-x）=-x+55

,/百合不少于2支，

U-x>2,解得:x<9,

V-1<0,

二犷随x的增大而减小，

当x=9时，犷取最小值，最小值为w=-9+55=46,

•••当购买康乃馨9支，百合2支时，所需费用最少，最少费用为46元.

【点睛】

本题主要考查一次函数的应用及一元一次不等式与二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函

数的应用及一元一次不等式与二元一次方程组的应用是解题的关键.

2

7、（1）①见解析；②5；（2）不全等，理由见解析

【分析】

（1）①先根据同角的余角相等得出ZDCG=Z4阳，再根据两角对应相等，两三角形

相似即可得出结论；

2

EFCD-2

4-

②设）=x,先证得△AEF-△ADC,得出AS=AD=-2,再结合折叠的性质得

出=%=2x,

AGAHHG

AG=Ax,AH=2EF=2x,再由△CDG-△GAH,得出比例式DC=DG=CG,求出

HG

跖的长，从而得出语的值，即可得出答案；

AEAF

(2)先根据两角对应相等，两三角形相似得出△AEF4ACG,得出比例式AC=AG,

5

得出EF=4,

AE=3,AF=,从而判定4CF与“郎是否全等.

【详解】

(1)①在矩形ABCD中，乙BAD=乙D=90°

,*.ZDCG+ZDGC=90°

又VZFGC=90°

:.乙AGH+ZDGC=90°

AZDCG=ZAGH

/.△CDG-△GAH

②设=x

"?AAEF沿EF折叠得到△GEF

：.AE=EG

'：EFA.AD

.*.ZAEF=90°=ZD

：.EFIICD//AB

AEF-△ADC

EFAE

：.CD=AD

EFCD21

：.~AE='AD=4=2

：.AE=EG=2x

：.AG=4x

AE=EG,EF//AB

EFEG

，AH=AG=2

：.AH=2EF=2x

VACDGGAH

AGAHHG

：.~DC=~DG=CG

4x2xHG

：.~2=4-4x=~CG

3

,x二4

4x3HG

：.~2=2=CG

•・•ZFCG=90°

CG2

：.tanZGHC=HG=3

(2)不全等理由如下：

在矩形ABCD中，AC=JAB2+AD2=历不=2君

由②可知：AE=2EF

：.AF=J在+W=层EF

由折叠可知，AG=2AE^EF,AF=GF

,：ZAEF=ZGCF,ZFAE=ZGAC

；.△AEF-△ACG

AEAF

：.AC='AG

丝更

：.2y/5=4

5

：.EF=^

55^

，AE=2,AF=4

FC=4C-AF=2V5-4=4

，AE手FC,EF¥FC

/.不全等

【点睛】

本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，得出4£=2

EF是解题的关键.

_巫”_乌g1+®

8、（1）BEX.AB,理由见解析；（2）（2'2）或（2‘2）；（3）

y=xi-4x+3

【分析】

（1）先求出点A、6的坐标，则可判断△4仍是等腰直角三角形，然后结合正方形的

旋转可证明△AOCBOE（弘S）,可得ZOBE=ZOAC=45°,进而可得结论；

（2）①当点。在第一象限时，作辅助线如图1（见解析），根据正方形的性质可证△

MOCNEO,可得CM=ON,OM=，由（1）的结论可得AC=BE=t,然后解

fj）ON=AM=CM=—tEN=OM=\--t爪,………,

等腰直角△//,可求出2,2进而可得答案；②当

点C在第四象限时，如图所示作C'H于点〃，作E'F±x轴于点F,根据正方

形的性质可证△HOC'FE'O,可得HC'=OF,0H=E'F,然后同（1）中证明△

AH=C'H=显t

4%'g△6座‘得到4。'=应1'=1,然后解等腰直角△，可求出一一丁，

OF=C,H=—t\+—t,--

2,E'F=0H=0A+AH=2进而可得答案；

（3）由抛物线过点A结合已知条件可求出抛物线的对称轴是直线x=2,然后由（2）

可求出当2时A=1,进一步即可求出点P的纵坐标，从而可得顶点尸的坐标，于是

问题可求解.

【详解】

解：（1）BELAB,理由如下：

对于直线y=-x+1,当x=0时，y=1,当y=0时，x=1,

：.B（0,1）,力（1,0）,

：.OA=OB=1,

AZOBA=ZOAB=45°,

•••四边形OCDE是正方形，

/.OC=OE,ZCOE=90°,

VZAOB=90°,

ZAOC=ZBOE,

/.△AOCBOE（必S）,

AZOBE=ZOAC=45°,

.*.ZEBC=ZEBO+ZOBA=450+45°=90°,

即BELAB；

（2）①当点。在第一象限时，作CMLOA于点M,作ENLx轴于点N,如图1,

则ZCMO=ZENO=90°,

VZEON+ZNEO=ZEON+ZCOM=90°,

AZNEO=ZCOM,

又•：OC=OE,

?.△MOCNEO,

：.CM=ON,OM=EN,

在△4"中，ZCMA=90°ZMAC=45°AC=BE

ON=AM=CM=—

2

EN=OM=\—

•.•点E在第二象限,

-争」哆）

点E的坐标是（

②当点C在第四象限时，如图所示作C'H_L/于点〃，作E'F±x轴于点F

VZE^OF+ZFE'O:乙E^OF+ZC'OH=90°,

AZFE'O=ZC'OH,

又YOC'=OE，,

/.△HOC'FE'O,

:.HC'=OF,OH=E'F,

然后同（1）中证明△AOC'BOE'

：.AC，=BE，=t,

在等腰直角△AC'H,ZC'HA=90°,ZHAC=45°,AC=BE'=t,

AH=C'H=t-sm450=—t

可求出2

OF=CtH=—t

2

1+

・・•E'F=OH=OA+AH=

g】+招

・•・点E的坐标是(2'2)；

(3)•・・抛物线过点4(1,0),

/.3+6+。=0,

*.*6。+36+2匕=0,

...消去c可得b=-4a,

•••抛物线的对称轴是直线x=2,

t=RAc一丝

如图1,当2时，由(2)可得2,

AM=CM=-

：.2,

OM=l--=-=CM

22

tanZAOC=1,即在二1,

1

/.△POA的面积为2,

即尸冈川万，解得园=1,

a>0,

二顶点P的纵坐标是-1,

，点产(2,-1),

设y=a(x-2)'-l,

把点/(1,0)代入，可求得a=1,

二抛物线的解析式是丁="-2),-1=/-垢+3.

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、三角函数、正方形的性质、全等三角形的

判定和性质、一次函数的性质以及等腰直角三角形的判定和性质等知识，具有一定的难度，

熟练掌握相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的关键.

三、填空题

1、2

【分析】

利用负整数指数幕和零指数幕求出a的值，利用平方差公式，求出b的值，进而即可求解.

【详解】

a({)+(-闾=2+1=3,-(/+£)(信喀=(同_(沟2―

解：•••

&t+b=J3+1=2,

故答案是：2.

【点睛】

本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幕和零指数幕以及平方差公式，是解题的

关键.

1

2、3

【分析】

画树状图（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为/、a和6、b,第三把钥匙表示为c）

展示所有6种等可能的结果数，找出任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结

果数，然后根据概率公式求解.

【详解】

解：画树状图为：（两把钥匙能分别打开这两把锁表示为/、a和8、b,第三把钥匙

表示为c）

AB

共有6种等可能的结果数，其中任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的结果数

为2,

所以任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率=6=3.

故答案为3.

【点睛】

本题考查树状图法求概率.概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件4可能出现的

结果数除以所有可能出现的结果数.

15

3、T

【分析】

证明求得AC,利用勾股定理求得CB的长，再利用直求得BE.

【详解】

解：如图所示，连接BC

•••A?是。。的直径，ODUC于D

ZACB=ZADO=90°

又乙CAB二笈AB

/\ADO~LACB

AD_AO

：.~AC~^AB~2

：.AC=3

又；DFIIOC

，^ADF~^ACO

DFAD_1

'CO~^AC~2

CO=2DF=2x-=5

：.2

：.AB=2CO=10

又AC2+CB2=AB2

；.82+C52=102

CB=6或CB=-6（舍去）

又用为切线

ZABE=ZADO=90°

又,»•2CAB=£CAB

△ABE14ACB

AC_CB

即记一茄

BE=-

【点睛】

本题考查圆的相关性质、相似三角形的判定和性质.直径所对的圆周角是直角，圆的切线垂

直于过切点的半径.相似三角形的对应线段成比例.

4、6.3

【分析】

作辅助线如图，则