2022年北京市石景山区高考数学一模试卷及答案解析

2022年北京市石景山区高考数学一模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.（4分）设集合A={R-2VxV4},B={2,3,4,5},则4nB=（）

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{2,3}D.{2}

2.（4分）已知i为虚数单位，若（2+i）z=i,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（4分）设函数/（%）=炉一妥,则f（%）是（）

A.奇函数，且在（0,+8）单调递增

B.奇函数，且在（0,+8）单调递减

C.偶函数，且在（0,+8）单调递增

D.偶函数，且在（0,+8）单调递减

4.（4分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的

概率为（）

1112

A.-B.-C.-D.一

6323

5.（4分）记的为等差数列{”“}的前〃项和，若S2=3,S4=18,则S6=（）

A.36B.45C.63D.75

6.（4分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），其中自习时间的范围

是[17.5,30],并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为[17.5,20）,[20,

22.5）,[22.5,25）,[25,27.5）,[27.5,30J.根据频率分布直方图，这200名学生中每

7.(4分)若0<c<l,贝lj()

A.c'<c"B.logca>logci

第1页共18页

C.ac<bcD.logflC>log/>c

8.（4分）在△ABC中，若2bcosB=〃cosC+ccosA,则3=（）

7T7T7T27r

A・-B.-C.—D.—

6433

9.（4分）设｛〃〃｝是首项为-1的等比数列，公比为必则“q〈0”是“对任意的正整数小

a2n-]+a2n>Off的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.（4分）如图，正方体ABCO-AIBICIOI的棱长为1,线段BOi上有两个动点E,F,

且EF另，给出下列三个结论：

①AC_LBE；

②△AEF的面积与的面积相等；

③三棱锥A-BEF的体积为定值.

其中，所有正确结论的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）已知向量。=（2,5）,b=（A,4）,若a〃b,贝ij入=.

12.（5分）双曲线C：?一!|=1的焦点坐标为,渐近线方程为.

x<l

13.（5分）设函数f（x）=1,则使/（x）W2成立的x的取值范围是_______.

\xi,x>1

14.（5分）若点尸（cosG,sin0）关于x轴的对称点为Q（cos（0+刍，sin（0+$）,则。的

一个取值为.

15.（5分）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径

为"的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形

第2页共18页

线.如图，已知r=l,起始位置时大圆与小圆的交点为A(A点为x轴正半轴上的点),

滚动过程中A点形成的轨迹记为星形线C.有如下结论：

①曲线C上任意两点间距离的最大值为8；

②曲线D：|x|+|y|=4的周长大于曲线C的周长；

③曲线C与圆/+『=4有且仅有4个公共点.

其中正确的序号为.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(13分)已知函数g(x)=sizi(x—看)，h(x)=cosx,从条件①/'(x)=g(x),/z(x)、

条件②fG)=gG)+h(x)这两个条件中选择一个作为己知，求：

(I)/(X)的最小正周期；

(II)/(%)在区间［0,，上的最小值.

17.(14分)如图，四棱锥P-48C。中，底面ABC。为直角梯形，ZDAB^ZADC=^,

侧面外力为直角三角形，ZPAD=J,CDJ_平面皿

(I)求证：CZ)〃平面PAB；

(II)求证：%_L平面A8CD；

(III)若A8=3,PD=4,CD=AD=2,判断在线段PO上是否存在一点使得直线

71

AM与平面PBC所成角的大小为二.

4

第3页共18页

p.

18.(13分)某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的学

生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答

错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正

确与否，比赛结束.A类问题回答正确得10分，否则得。分；3类问题回答正确得30

分，否则得0分.已知小明同学能正确回答4类中的每一个问题的概率均为0.8,能正确

回答B类中的每一个问题的概率均为0.5,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(II)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

19.(15分)已知椭圆C：今+/=l(a>b>0),O为坐标原点，右焦点坐标为尸(VL0),

一V6

椭圆C的禺心率为

(I)求椭圆C的方程；

(II)椭圆C在y轴上的两个顶点为A,B,点P满足G•而=0,直线P尸交椭圆于M,

N两点，且|MN|=g,求此时/OPF的大小.

20.(15分)已知函数f(x)=卫警二上

(I)求曲线y=/(x)在点(0,-1)处的切线方程；

(II)当a>0时，求/(X)的单调区间；

(III)求证：当aW-1时，/(x)2-e.

21.(15分)记实数“，b中的较大者为机at{a,b],例如相or{l,2}=2,max{\,1}=1,

对于无穷数列{〃〃},记=叩。2人.「a2k}(kEN"),若对于任意的例N”,均有(p%+i

”,则称数列{劭}为“趋势递减数列”.

(I)己知数列{尻}的通项公式分别为即=-2〃+l,bn=(—》n,判断数列{即},

第4页共18页

｛为｝是否为“趋势递减数列”，并说明理由；

(II)已知首项为1公比为g的等比数列｛cn｝是''趋势递减数列”，求g的取值范围；

(III)若数列｛办｝满足力,42为正实数，且为+2=1为+1-珈，求证：m“｝为"趋势递减

数列”的充要条件为｛“"｝的项中没有0.

第5页共18页

2022年北京市石景山区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.(4分)设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则AA8=()

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{2,3}D.{2}

【解答】解：•集合A={x|-2<xV4},B={2,3,4,5),

；.AnB={2,3}.

故选：C.

2.(4分)已知i为虚数单位，若(2+i)z=i,则复数z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：V(2+z)z=i,

._i_i(2-t)_l+2i_1,2.

"z~2+i~(2+i)(2-i)~-5--5+5Z,

则复数z在复平面内对应的点位于第一象限，

故选：A.

3.(4分)设函数”为=/一去，则f(x)是()

A.奇函数，且在(0,+8)单调递增

B.奇函数，且在(0,+8)单调递减

C.偶函数，且在(0,+8)单调递增

D.偶函数，且在(0,+8)单调递减

【解答】解：函数的定义域为{xkHO},

/(-JC)=-%3+当=-(x3-点)=-f(x),则f(x)是奇函数，

当x>0时，y=/和产-或是增函数，则f(x)在(0,+8)上也是增函数，

故选：A.

4.(4分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的

概率为()

1112

A•一B.-C.-D.一

6323

【解答】解：将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行的情况共有心=6

第6页共18页

种，其中2本数学书相邻的情况有膨•掰=4利i,则2本数学书相邻的概率为:=：

63

故选：D.

5.(4分)记为等差数列｛即｝的前〃项和，若52=3,54=18,则S6=()

A.36B.45C.63D.75

【解答】解：S〃为等差数列｛〃〃｝的前〃项和，52=3,54=18,

(2%+211d=3

H—2-d=18

解得ai=O,d=3,

.•.56=6X0+竽x3=45.

故选：B.

6.(4分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，其中自习时间的范围

是[17.5,30],并制成了频率分布直方图，如右图所示，样本数据分组为[17.5,20),[20,

22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据频率分布直方图,这200名学生中每

周的自习时间不少于22.5小时的人数是()

二n

OJO卜-r—I

0.08k-----I

°1752022.52527.530自习时间/小时

A.56B.60C.120D.140

【解答】解:这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)

X2.5=0.7,

因此这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200X0.7=140.

故选：D.

7.(4分)若0<c<l,贝IJ()

A.(^<caB.logc〃>logcb

C.ac<bcD.logac>k>gbc

【解答】解：因为OVcVl,a>b,

所以y=F在R上单调递减，所以/>〃，A错误；

第7页共18页

y=logc在（0,+°°）上单调递减，logcaVlogQVO,8错误；

因为在（0,+°°）上单调递增且

所以废〉"，C错误;

所以logfl（?>log/?C,。正确.

故选：D.

8.（4分）在△ABC中，若2反。sB=acosC+ccosA,则3=（）

7T71TC271

A.-B.-C・-D.—

6433

【解答】解：在△A8C中，若2/?cosB=acosC+ccos4,

利用正弦定理：2sinBcos8=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB；

由于OVA、

所以cosB=

解得B=J.

故选：c.

9.（4分）设仅〃｝是首项为-1的等比数列，公比为夕，则“qVO”是“对任意的正整数，7,

。2〃-1+。2〃>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：因为。2〃-1+〃2“=-产”+（-1）Xq2〃l=_（q+1）寸2,

当夕<0时，无法确定乡+1的正负，故无法确定。2〃-1+42〃的正负，

当。2〃-1+42,?>0时，可得-（夕+1）”2>0,

所以4+1V0,即0<-1,此时一定有qVO,

故?<0是对任意的正整数小。2〃一1+〃2〃>0的必要不充分条件.

故选:B.

10.（4分）如图，正方体A3CQ-A131C1Q1的棱长为1,线段5iQi上有两个动点E,F,

且EF=],给出下列三个结论：

①AC上BE；

②△AEF的面积与△8EF的面积相等;

③三棱锥A-BEF的体积为定值.

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其中，所有正确结论的个数是（）

【解答】解：对于①，根据题意，结合图形知，AC，面。。BEu平面。。劭8,

：.ACA.BE,命题①正确；

对于②，：点B到直线EF的距离与点A到直线EF的距离不相等，

.•.△AEF与的面积不相等，命题②错误；

对于③，三棱锥A-BEF的体积为V三棱馋A-BEF=\'SixBEF*h=ixix^xlx^=春

三棱锥A-BE尸的体积为定值，命题③正确；

对于综上，正确的命题有2个.

故选：C.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

TTTT8

11.（5分）已知向量&=（2,5）,b=（A,4）,痴〃b,贝U入=告_.

【解答】解：因为:=（2,5）,b=（入，4）,a//b,

所以8-5人=0,解得入

O

故答案为：

12.（5分）双曲线C：4-若=1的焦点坐标为（±4,0），渐近线方程为_工=土遮

【解答】解：双曲线C；可得。=2,6=2遍，c=4,

所以双曲线的焦点坐标为（±4,0）,

渐近线方程为：y=±V3x.

故答案为：（±4,0）；y=±V3x.

（2fX<1

13.（5分）设函数f（x）=i,则使U）W2成立的x的取值范围是（・8,

",%>1

第9页共18页

41_.

2*T,X<1

【解答】解：函数/(x)=1,

%之，x>1

当天<1时，/(x)W2即为2'7W2,解得XW2,即为“VI；

1

当时，f(x)W2即为%2工2,解得xW4,即为1WXW4.

则有x的取值范围是(-8,1)U[l,4]=(-8,4].

故答案为：(-8,4].

14.(5分)若点P(cos0,sin0)关于x轴的对称点为Q(cos(。+⑥，sin(0+J)),则9的

一个取值为

【解答】解：..•点P(cos。，sinO)关于x轴的对称点为Q(cos(0+》sin(8+物，

TTTT

cos0=cos(0+3)，sin0=-sin(。+@).

由sin9+sin(0+^)=0,整理得：sin0+|sin9+^ycos0=0,

„„3sin0V3ln

即-----+—cos0=O,V3sin(0+^)=0,

226

故0=时,上式成立，

故答案为：-看.

15.(5分)数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为，•的小圆在一个半径

为4r的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形

线.如图，已知r=l,起始位置时大圆与小圆的交点为A(A点为x轴正半轴上的点),

滚动过程中A点形成的轨迹记为星形线C.有如下结论：

①曲线C上任意两点间距离的最大值为8；

②曲线D：|x|+|,y|=4的周长大于曲线C的周长；

③曲线C与圆/+夕=4有且仅有4个公共点.

其中正确的序号为①③.

第10页共18页

y

【解答】解：根据题意，曲线C的形状如图：其中A(0,4),8(-4,0),C(0,-4),

D(4,0),

由此分析3个结论：

对于①，曲线C上，AC或8。之间的距离最大，且忸0=出力|=8,即任曲线C上任意两

点间距离的最大值为8,正确；

对于②曲线。：W+M=4,图形为图中的正方形，必有。的周长小于曲线C的周长；

对于③，曲线C与圆/+尸=4有且仅有4个公共点，即ABC。四点，正确；

正确的是①③，

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(13分)已知函数g(x)=si*(x—1)，h(x)=cosx,从条件①/1(x)—g(%),//(x)>

条件②/1(x)=g(x)+h(x)这两个条件中选择一个作为已知，求：

(I)/(X)的最小正周期；

(II)/(%)在区间［0,身上的最小值.

【解答】解：选择条件①：/(x)=g(x)*/?(X),

JIy/31

(1)f(x)=sin(x—召)cosx=(-siri¥—^cosx)cosx

门.12e1cll+cos2x75.c1c1

=-^-sinxcosx—2cosx=-yxxsm2x—x-------=彳sin2x—4cos2x一

第11页共18页

=%n(2x-f)-1(

所以/(X)的最小正周期7=竽

=7T.

,7T__,TTTT57r

(II)因为x€[0,-]，可得标一阳一堂,—],

所以sin(2x—5)G[-i,1],可得-sin(2x—5)-jG[—i,-],

6226424

当2xU，即x=5时，/(x)有最大值

选择条件②:f(x)=g(x)+h(x),

7T1

(I)/(x)=sin(x—6)+cosx=(—sinx—^cosx)+cosx

=&\nx+|cosx=sin(x+御，

ZZD

所以/(x)的最小正周期T=^=2n.

7T7T27T

(II)因为x€[0,可得

所以sin(x+5)G[-,1],

6L2

当x+W，即x=E时，f(x)有最大值1.

17.(14分)如图，四棱锥P-4BC力中，底面ABC。为直角梯形，ND4B=/AOC=乎

侧面PAD为直角三角形，ZPAD=与CDJ_平面PAD.

(I)求证：C£)〃平面PAB；

(II)求证：B4_L平面ABC。；

(III)若A8=3,PD=4,C£)=AO=2,判断在线段上是否存在一点M,使得直线

71

AM与平面PBC所成角的大小为一.

4

P

AB

第12页共18页

【解答】证明：(I)因为四棱锥P-A8CD中，/.DAB=/.ADC=J,

所以AB〃C£>,

因为ABu平面PAB,COC平面PAB,

所以CO〃平面PAB.

证明：(〃)因为COJ_平面以。，以u平面PAD,所以CD_L以，

又因为NP4D=£所以AOLB4,

因为CO,AQu平面ABCD,CDHAD=D,

所以办，平面ABCZX

解：(III)存在，当M为线段尸。中点时，理由如下：

由(〃)可知，因为以J_平面ABC。，ABu平面ABC。，

所以A8_Lfi4,

又ACABVAD,

如图以点4为坐标原点，分别以AB,AD,AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A

则4(0,0,0),8(3,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2回

设平面PBC的法向量为蔡=(x,y,z),

由竹后=。得卜'+2丫=。，

。•PB=0V3x-2V3z=0.

令z=W,所以九=(2,1/V3).

设施=a而(owawi),

第13页共18页

则M(0,2-2/1,2V3A),

所以心=(0,2-2A,2V3A),

直线AM与平面PBC所成角为。,

所以sinO=\cos(AM,n)|=11M旦=|--二+、=|=孝，

\AM\-\n\2V2jl6A2-81+4

解得4+，符合题意，

71

所以当M为线段PD中点时，直线AM与平面PBC所成角的大小为二.

18.(13分)某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的学

生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答

错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正

确与否，比赛结束.A类问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题回答正确得30

分，否则得0分.已知小明同学能正确回答A类中的每一个问题的概率均为0.8,能正确

回答B类中的每一个问题的概率均为0.5,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

(I)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(II)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【解答】解：(I)得分情况有三种可能性，第一个问题错误，x=o分，

P(X=0)=1-0.8=0.2,

第一个问题正确，第二个错误，X=10分，

P(X=10)=0.8义(1-0.5)=0.4,

两个问题都正确，X=40分，

P(X=40)=0.8X0.5=04,

的分布列为：

X01040

P0.20.40.4

(II)由(1)知，若小明先回答4问题，贝I」E(X)=0X0.2+10X0.4+40X0.4=20,

若小明先回答8问题，记丫为小明的累计得分，则丫的可能取值为o,30,40,

P(7=0)=1-0.5=05

P(y=30)=0.5x(1-0.8)=0.1,

第14页共18页

P(y=40)=0.5X0.8=04,

：.E(y)=0X0.5+30X0.1+40X0.4=19,

..T9V20,...小明应选择先回答A类问题.

19.(15分)已知椭圆C：最+，=l(a>b>0),O为坐标原点，右焦点坐标为尸(或，0),

__V6

那肓圆C的离心率为三.

(I)求椭圆C的方程；

(H)椭圆C在)'轴上的两个顶点为A,B,点尸满足1•丽=0,直线尸尸交椭圆于M,

N两点，且|MN|=VL求此时NOP尸的大小.

【解答】解：(I)因为右焦点为“或，0),所以c=应,

因为离心率e=^=等,

所以Q=V3/b2=a2—c2=3—2=1,

2

所以椭圆C的方程为x可+y2=1.

(II)当直线P尸垂直于x轴时，|MN|=孥4V5(舍)；

当直线PF不垂直于x轴时，设直线PF的方程为y=k(x-,

(y=k(x-V2)

由乙2，整理得(1+3/c2)%2-6V2/C2X+6fc2-3=0,

[e=i

设MG1,y\),N(%2,>2),由题意△>()恒成立,

~6k2—3

所以4-%2=:，%1%2

1+3必'

利用弦长公式知|MN|=+々2|与—久2I=+k2d(X\+%2)2—4%1必=

kJ(修J*寓V3,

解得k—±\,

所以直线PF的方程为y=±(x-V2),

因为A,B为椭圆C在y轴上的两个顶点，不妨设A(0,1),B(0,-1),

因为万3-BP=0,设P5,〃),

所以(m,/1-1)-(m,n+\)=0,

即加2+”2=1,

第15页共18页

即点P在以原点为圆心，半径为1的圆上，

因为原点到直线PF的距离d=卷L=阀=1,

J1+必Jl+(±1)2

所以直线P尸与圆“2+〃2=1相切，

所以NOPF=90°.

20.(15分)已知函数=上警二工

(I)求曲线y=/(x)在点(0,-1)处的切线方程；

(II)当4>0时，求/(X)的单调区间；

(III)求证：当“W-1时，/(无)2-e.

【解答】解：(I)因为/(x)=(-a/+xi)，eJ(严+-1)0)，=-一(2a尸)x+2=

(ex)e

(ax—l)(x—2)

不，

所以/(0)=2,/(0)=-1,

所以曲线y=/(x)在点(0,-1)处的切线方程为y=2x-1.

(II)由(1)知：/(x)=3-吁-2),

因为〃>0,令/(%)=0,所以x=：或x=2.

当OVaV^时，->2,则

za

当(-8,2)时，/(x)>0,f(x)单调递增；

当(2,时，f(x)<0,/(%)单调递减；

1

当(一，+8)时，f(x)>0,/(x)单调递增；

a

当a另时，/G)》0恒成立，/(%)在R上恒为增函数；

当a*时，0<i<2,则

当(-8,工)时，/(x)>0,f(x)单调递增；

a

1

当(一，2)时，f(x)<0,/(%)单调递减；

a

当(2,+8)时，/(%)>0,f(x)单调递增；

综上，当时，单调递增区间是(-8,2)和(：,+8),单调递减区间是(2,

第16页共18页

1

-);

a

当〃=寺时，单调递增区间是K,无单调递减区间；

111

当。时，单调递增区间是(-8,一)和(2,+8),单调递减区间是(一，2).

zaa

(III)当QW-1时，令/(x)=0得或x=2,则

1

当xE(-8,一)时，/(x)<0,f(x)单调递减；

a

当房(-,2)时，/(x)>0,/(x)单调递增；

a

当在(2,+8)时，f(x)<0,/(x)单调递减；

所以当时，f(X)取得极小值/(一)=—e~a,

a,ci

因为aW-1,所以一e«G[-e>1)>

所以由极小值定义及/(x)的单调性可知：

当x<2时，f(x)2-e；

接下来，研究f(x)在x22的变化情况，