数列前n项和构成不等式证明方法与技巧

nnnnnnnn数列前和构成等式证方法与巧由数列前n项和构成的不等式是一种非常重要的题型，常在高考题中出现，由于不等式证明本身就是一个难点加数列的各种变形应用少学生对该题型束手无策不知从何处去分析寻求解题思路该题型一般有三种解题思路第一，若数列a是可求和数列，应先求S，证明不等式；第二，若数列an

n是不可求和数列，一般先将数列的通项放缩成可求和数列，再求和证明不等式；第三数列是不可求和数列通项的放缩又有一定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式然有的可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明面以例说明。例1项均为正数的等差数列a=3n项和为S比数列b中，1n，且bS，是公比为64的等比数列。22（1）求a、bnn（2）证明

1113SSS412n解设a的公差为d，b的分比为q（d>0,q>0）nn则abnn

n1n

an11an1

a

n1

a

n

d

又bS=q(6+d)=6422可求得：∴a=8nn（2）由（1）知S=n(n+2)n

11111(S2nn2n

)显然

1Sn

是可求和数列，先求和，再证明不等式∴

111SSS12n

11111111)()()(232435nn2

)1

nnxnnnnxnn11113=)2n1n24∴原不等式nN成立例2等比数列a的前n项和为S已知对任意nN点n,S在函n数且均数图象上。（1）求r值；（2b=2bn

n14an

N列b的前n项和为TTn

n

12解由已知有=b，当n≥2时，S=b+rn∴a=Snn又aa12a∴2a1

br

b

∴r=-1（2）由故（1）有：an

n

bn

n2n1由于b是可求和数列，先求和后证明不等式nT=b+b+b+…+bn123n34n1Tn2232213n1n23221n2

①②11n1①-②得：Tn22222122T

n

3n322n∵T为递增数列n3T1Tn121TnnN成立2例3、证明不等式：

12

13

1n

2(n1

nN）证明（一）∵数列

1n

是不可求和数列，应先放缩再证明不等式。2

xnnnnxnnnn∵

1n

2nn

2n1n

2(n1n)∴1

12

13

1n

2(2(2)(43)(n1n)（）∴

12

13

1n

2(n1nN成立（二）数学归纳法证明（1）当n=1时，2，n=1等式成立。（2）假设当nN不等式成立即：

12

13

1k

2(k1当n=k+1时1

12

13

1k

1k1

2(k1

1k1=21

1k1

2k

1k

2

2=4

1k

24=1即n=k+1时不等式成立。由（1知，原不等式n均成立例4已知数列前n项和为S(n,S在数y=3图象上，nnbab前n项和为B，证明：Bnnnn解：由已知：S=3n当n=1时，a1当n≥2时，a-S=2×3nn

∴anN）n3

22nnn1kkknnn22nnn1kkknnnb

23

法（一是不可求和数列，先放缩，再证明不等式。nbn

23

n

=

2

4n3

n1

2

3

n=(2n+1)×3∴B=b+b+b+…+bn123n+令T+3n由错位相减法可求得∴B<n注：也可用均值不等式：

12

对b进行放缩。n法（二）用数学归纳法证明：<n①当n=1时，B=b=222<1×3=311即n=1时，不等式成立②假设当n=k+1时，不等式成立，即Bk当n=k+1时B=B+b+（k2)23k

<

+

2)

3

k×3

k

即n=k+1时等式成立由①②知：B<nN均成立n由以上例题可知，对于由数列的前n项和S构成的