数学建模投资的风险和效益

ii个人收集整理勿做业用途ii多目标优化摘：对市上的多风险投资和种无风资产（存银）进行合投资策略的的设需要考虑连目标,总收益尽可能和总体险尽可能小,而,这两标并不相辅相成的在一定义上是对立。模型一用多目标决方法建模型，以投效益没标，对投资题建立个一个化模型不同投资方具有不同的险和效该型根优化模的原理,提出两个准并从众多的投方案中选出干个使在投资一定的条件下，经效益尽可能，风险可能小.模型二出了组合投方案设的一个线性划模型主要思想是过线性加权综两个设计目：假设投资规模相大的基上，将交易函数近线性化，过决策变量解风险数的非线性.【键

经济效线性规划模型有效投资案线性加权题述投资的益和风险(1998年全国大学生数建模竞赛A题市场上n种资产（如股、债券、…)S(i=1，…n

供投资选择，某公有数额为M一笔相大的金可用一个时期的资。公财务分析人对这n资产进了评估，估出在这时期内购买的平均益率为r并预测出购买i的风险失率为.考虑到资越分,总的风险越，公司定，当用这资金i购买若种资产时，体风险所投资的

i

中最大一个风险来量。购买要付交易，费率,并且购买额超过给定值u时，交易按购ii买u计算不买当无须付）另外，假同期银存款利率是r，且既无交易i0费又无险（

r0

=5）

已知4的相数据如:ri

(％）

i

(％）

i

％)

i

（

12

2.51.5

S3S4

2325

5.52。

4.56.5

5240试给该司设计一种资组合案，即用给的资金M,有择地购若干资产或存行生息，使收益尽能大，而总风险尽能小。(2)试一般情下对以上问进行讨，并利用一数据进计算。

i

ri

i

i

i

个人收集整理勿做业用途

9。

42

2。1

181

18.5

54

3.2

407SSSSSS

35678910

49.423.98。1440.731.233.636

60421.2396853.540

6.01。57.63。45.63.12.72.9

428549270397178220475248

。

31

5。1

1951315

9359。15

5.5465。23

5。72.7。4。57.6

320267328131模型的假设符说2.1模型假设：（1)短时期内所出的平收益率损失率和易的费不变.(2在短时内所购买的种资产如股,证券等）不进行买交易即在买入后就不再出。（3）种投资是否益是相独立的。(4在投资过程中,无盈利否必须付交费。2.2符号明参数范围

说明i=1,2…n欲购买的第i种资产的类M相当大公司现有投资总xii=12

公司购Si人金额ri…公司购买Si的平均收益率qi…公司购买Si的平均损失率pi…公司购买Si超ui时所付的交易Eii=1，…n公司购买产Si所得的收k～1Af

权因子不等式端的系数矩目标向

iiiii个人收集整理iiiii题析由于资预期收益的确定性导致它的风特性,在这投资Si平均收益为xr风险损失为q。要投资的净收尽可大，而险损尽可能，第一个决方法就是行投资合，分散风,期待获较高的收益模型的的就在求解最优投组合，然最优投资决定于人的因素，投资者风险，收的偏好程度怎样解决二者的互关系是模型要解的一个要问题.本题所的投资问题利用原的数据，通计算分得到一种尽让人满意的投方案，并推到一般况,利第二问行验证，下是实际考虑的两点情况（1）在险一定情况下，取最大的益（2）在益一定情况下所冒的风最小当然，同的投资者利益和险的侧重点同，将一定的范围视为正常，所只需要给出种尽量的模型，即险尽量，收益尽量，这是般投资者心里。对于模一,问题一的情下公司可五种项目投，其中银行的风险，收益r0=5%为值，在资期间是不变动的其它的投资目虽都一定的风险，但收益可能大银行的率，我们拟立一个型这个模型对般的投者都适，并根据他风险承能力的不同出多个用于各种类人的投方案（一投资者分为冒险型保守型。即冒险的对风险损失承受能越强。对于模二：由于资预期收的不确定性导致它的险特性将资产的风险预期益率用一定表达式示出来，在里，投Si的平均收为X（i)＊r(i,风险损失为ri)＊）要使投资者净收益可能大，而险损失可能小型建与解投资者净收益为购各种资及银行的收减去此程中的交易用。在对资Si进行投资时，于投资金额的同，所的交易费用有所不步投资不付费，投额大于ui交易费否则交费为uipi，

i

x0;iiiiii即题中给的交易费计算数是一个分段数，在际的计算中容易处理，但们注意到，表中，的数非常小

i

元，对其中大的来说，元而已知M是一笔相大的资同时交易费率pi值也很，即使在xi<ui时以来计算交易与用直接算交费

个人收集整理勿做业用相差无，所以，后我们具计算式，为化暂不虑ui的约束,都已来答题ui计算交费4.1

模型一:问分析与解设购买S的金额为x，付的交费(x）为(。iiii(x)ii

iu0(i~niiiixxiiii

（因为投额M相当，所以可以假设对个S的投资xuii这时(1）可化为

i

，c(x)x(i1~)iiii对Si投资的净益R()r(xrp)iiiiiiiii对S投资的险iQ()xiiii

（（）（4)对S投资所资金投资金x与所的手机ciii

（

xi

之和即f()())iiiiiii

（5）当购买S的金额为xii

（～n）

投资组

x=(

x0

，

x1

,……，

xn

)的净收益总额()(x)iii整体风:()Q()ii1资金约Fx)f(x)Miii

（6）(7）（）多目标学规划模型净收益额R（x)进尽可能，而整体风Q（x）又尽能小，该问题的学模型可规为多目规划模型，

个人

max(Q()s(x)x

（9）模型（）属于多目规划模，为了对其解，可多目标规划化为单标规划假定投的平均风险水平则投资M风险k=qM要求整体风（x)限制在险以，即Q（x=k，模式（）可转化为

max()stQ()F()x

（10)4。模型一的解（1）多目标规划型（9的非劣由多目规划理论可，模型非劣解的要条件（Kuhn—条件）为存在,，>0使1

)(x))()问题在如何求（）式给出Q(x的导数(2求模型10的最优由于模（10）的约束件

Q(X）

，

即maxQ（xii所以此束条件可转为：Q()k(i~n)ii这是模（10）转化为下的线性规：nmax(rp)iiiinst(1)xiii(i~n)ii给定k,可便的求模型(11。

具体计时，为了方起见，令M=1，于

是

i

）

x可视作投S的比例ii下面针情形，原问题定的数据，型(）可变为：

nnn

个人收集整理勿做业用途xxx04x1.011.02xx013x1x2x34xi

(i~4)4.3

模型二问题分析与解我们的标是对各种产投资后不仅收尽可能大，同时体风险要尽可能小所以我们的标函数为收益和风两个函，由于在一时间内各种资产平均收益率风险损率已由表中出因此我们以建立学模型目标1:maxfi

X）iiii目标2minf（qX）iii1s.t.：iii这是一多目标非线数学规模型且f不是xi的连函数，化求困难i下面我将它转化为个线性划模型线性规模型1标函的确定多目标划有多种方化为单标问题解决我们使线性加权总目标数：f反映了风投资中资者的主观素,小表示资越冒险,是表示只顾收不顾风险这样的人有可能得最大益=1时示只顾风险顾收益,这样的会将所有的金存入行2易费数的线化近似本题中Y是X的连续函数,现将Y近为X的线函数：YXiiiiii3险函的转化

i令X

，那么必有qXXii

（i=1,2,3n）于目标函数化f，从而化解必可（X达Xii

使达到这样得到性规划型

niii个人收集整理勿niiiMinf-r）Xiiii

n1+p）X=1，is．tX，iiin+2X，i4。模型二的解:一）采用MATLAB优化工箱中的性规划函数解，它化下线性规划模型minC

TAX使用格为X=lpC,A，b，vlb,vub，X，其中分别是上下，X0为初值，N表示束条件前N个约束为等式约二）计算骤1．入数据选取权因子；2．成矩阵，A,b3．据需要vlb,vub,X0,N（题中vlb取零向量，V去，和X0有特殊的求，设为空)4.使用数求解型结分与价5.1结果析模型一风投种n=4时，立型求，意定资险限，风不过的情下确最组，表1如下:风k

。0.003

00。007。0。01

。。03。04收

0.1266

2066

25180.2673

风投种n=15时，立型解任给投风上k，风不过k的况确最组列2如下:风险k

0。

0.07

0.08

0。01

0.20.3

0。4

0.506收益y

0.20.30.32290.3299451322

0。

0。

0。

0.3868

0.40043353

35863732

个人收集整理勿做业用途n=4是的风收益图下：1益收y

0.250.150.05

00.0050.010.0150.020.025k

0.030.0350.040.0450.05由表1)和（可，益y随风上k的增而加在00007附近长度快之增速变慢.在时得一较的资组收，X=00.280.4667。12730。1016n=15时风收图下险益20.40.3益收y

0.20.1

00.10.2

0.30.4

0.50.60.7风险由表）图同可，益y随着险限k的增加增，0附增速度快之增速变慢在k=0.08时可得出个优投组收y=0.3229,

个人收集整理勿做业用途00.8333。0000又以两可，益于险是散。着资风上k的增，收逐增，投者以据己偏，择足求k和y进有效产合资考到要尽大尽小同时析险益线当益风增急上，是于随风增，益渐大人对险厌程减缓投者渐向风型当升线渐平，是于风大一程时风-收益的产均投，益化大.模型二对于问一：使用线性加权法分求解当k=0.1…1.0时最优决及风险和收如下表表一（收益风险）k=0。。7k=0.8k=10S10.9901。36900.23760.0000S2。0000。6150S30.0000。00000.10800.0000S4。00000.0000。2284存银行净收益风险

0。0000。00000。0059。0000对于问二：使用上方法分求解当…1.0时的优决策风险收益如下表:表二（益、风）k=01k=02k=03k=0.4~05S1。

0。

0。。00000。。00000000000000000000S2。

0。

。00000。0。

0000000010600680S30.94340.20510.1269。

。

0。000010720612S40.00000。

0。

0。

0。0.00000000000015311363S5。0.00000。00000000

0。000000000S6。0.00000。

0。

00000000000000000S70.00000。

0.1120。

0000018100946S8。。

0。。22770。

。。00000000000019231099S90.00000。

0。。14280。

00000

个人收集整理勿做业用途S10S11

00001867。。307724870。0。。000000000000

0。0000

12060。0。0.0000143209180.0000S12

0。

0。0000

0。0。。00000000

00000000S13

0。0.2163

0。1655

0。

0。00000000

1398S14

0。0。

0。0。0.000000000000

00000000S15

0.0000

0。0000

存银行

0。0。

0。0000

0。0。

00000000

00000000净收益

。

0。。0500风险

34330。0.09955660

21300。。00000367将净收和风险有关因子的数作图观察,得如下图：图一收和于因数0.30.250.20.15益收y

0.10.050-0.050.10.20.30.40.50.6k权因

0.70.80.91

个人收集整理勿做业用途图：净收风险于权因子函数y

0.350.30.250.20.150.10.050-0.050.10.20.30.4

0.50.6k权因

0.70.80.91(1从表一表二中的结可知，到问题一的个典型优组合，问二的7个典型优组合，于不同险的承受能，择该风水平下的最投资组，对于问一，假如风承受水为0.2,那取k=0.2时的案是最优决。(2)从图、图二的结果可知净收益和风险都是k权因子的单调降函数,即说明谨慎度越强风险越小，是收益越小，具有确的实意义。(3从下的图三、四可知得出更详细计算结，我们用内300等分点，求得优投资合集合及他形成的效投资曲线,这曲线的任一都表示该险水平的最可能收和该收益要的最小险，实际上们发现有效投资线是离散的问题一有个最优方案问题二中13个最优案，其中问题风险0。0059（即因子。9的决策0.2376，。3960，0.1080，）和问题二风险0权因子k=03）的决策00016580,0，0，0。1463，0,0.1867,0。，00）具有别重要意义，因为们对应在险增长较慢形下的大收益，可为是一意义上的最解。三有投(n=4)

四有投(n=15)益收

0.30.250.20.150.1

益收

0.50.40.30.20.10.05

00.010.02

0.03

0

00.2

0.4

0.60.8险

险（适用性析：当0〈u(i)/Mi时，线性规划模可能不最优解，也是说结果正确性与M关，但M〈（i)/x(i）的结果一定可靠，如对问

个人收集整理勿做业用途二，当k=0.3,这个界值对问题，k=0。时，这临界值500。5。模型评价5。）模型优点（1）文通过将风函数转为不等式约建立了线规划模型，接采用序进行算,得出优化策方案并且给出有效投曲线根据投资的主观好,选择投方向.（2模型一用线性规划型，多目规划转为单标规划选取了风险限值来定收益，根收益风图,资者可根据己的喜来选投资方。（3）型二采用线加权模求解时，计过程稳性好，速度，对不的权因子进比较，得出优决策案，并且给了有效资曲线，根投资者主观偏好选择投资方。（模型缺点当投资额小于固定时，立的线性规模型得的结果可能是最优，根据公的资金M决策模型优良。于不同的金,得到的结果具有代性，我们建的模型中采的只是M的个特列，具单一性参文范正森谢鸿等，学建模技术北京，国水水电出社，2003王敏生王，现代数学建模方北京，学出版社2006冯杰黄力伟等数学模原理案例,北京科学出版,2007李志林欧贵数学建模及典型例分析京，化学工业出社2006附：；程序1。型一的Matlab序％子程一，问题一求解clearf=-［0.05,0270。，0.185,0.185］’；%目向量A=［，0,0，0;0，0,0。0150，，0,0.055,0;0，，0。026];％不等式端的系数矩aeq=[1，。011.021.045,1.065%等式左端系数矩［％等式端（，i=1;fork=0001：0.0020.05b=[k，k，k,k]';［，］（fxy（—fvali=i+1；

个人收集整理勿做业用途k=0001:0。002。plot(k,y；xlabel（风险’收益');’风险收益图1）％子程二:问题二的求解clearf=-［0。0.153，0。434,0.224,0。005，0。，。3510.281，0。，0。，。067,0.033，0。323，0.049,0.074]’;％目标向量A=zeros(15,15；a=[0.42,0.5439068,033430。，031，0，0。，。23；；（15,1)；A=[a,B];％不等左端系数矩aeq=1,1.021，1。032。06，。。，1.034,1。056，，。。051，1，1.027,1。045,1。［1（；i=1;fork=0001：0.05:0.65k,k,k，，，，k,kk，k,kk，k,k，［，fval，exitflag，options,output］=linprog（f,A，b,aeq,beq,lb);xy（—fvalk=0001:0。：0plot(k,y；风险'（’y收益title('风险收图’)2。模型二Matlab程％子程一：问题一计算clear；fork=01：：1f=［—0.27*(1-k)—＊（1-k）-0.185＊1-k）—0.185＊—k）。05(1-kk]’;％根据题目建立的标向量A=00-1;00.01501％不等式端的数据矩b=[000］'；%不等式右向量1。02。10];％等式端的系向量［％等式端

个人收集整理勿做业用途（，1);，（