数形结合解最值

，，，，，，，00数形结合最值四川省广元市宝轮中学，，，，，，，00

唐明友“数”转化为“形”直观结合于“数”简便，两者之间相辅相成，相互转化和“形”的这种辩证关系就是数形结合思想。本文例析运用数形结合思想解决最值问题。一结合数轴例1.若a<b<c，试求函数y=

+

+

的最小值。分析与解本题若用“零点区间讨论法”解，且、不是具体的数，计算起来非常麻烦。根据绝对值的几何意义，在数轴上

、

、

分别表示线段AX、BX、CX的长在要求

+

+

的最小值从几何意上理解是在数轴上找一点X，使点XAB三点距离之和最小。由图知，X与点B重合时，即x=b时该距离之和最小，∴y的最小值为c－a。说明：如果ab、是具体的常数，还可通过分类讨论，画出分段函数的图像，再根据图像找出最小值。二结合直角三角形例2.求代数式

2+2

的最小值分析与解仅从代数角度思考显然难以奏效，观察到两个根号下都是平方和的形式，自然联想到勾股定理，进而可考虑构造RACP和tBDP。如图Cl于C,BD⊥于D,AC=2,BD=3,CD=12,P在直线l上，且由意为负数或0均不是最小的，可设a>0),则PA+PB=

+)2

，因此，本题化为“在直线l求一点P，PA+PB的值最小此，取点A关于直l对称点A，过点A作AEBD交其延长线于点E，连接、AB则原式=PA+PB=PA+PBAB=

A

2

=

123)

2

=13因此，原式的最小值是13说明亦能构造平面直角坐标系代数式的最小值当要在轴上求一a,0使它到（2,0）和（12，这两点的距离的和最短，请同学们去思考。三结合二次函数

A例3.如图，在△ABC中，AB+AC=12，ADBC于D且AD=3，

B

C⊙O是△ABC外接圆，当AB长为多少时，⊙O面积最大？

并求⊙O的最大面积。分析和解由于△ABC形状不确定，⊙O的积也会随之变化，

O应设法先找出与半径的关系，再利用次函数求最值。作直径AE，接BE，则ABE=90,由ABC得ADC=90,

E即∠ABE=∠ADC=90，而∠E=∠，∴△ADC∽△ABE

=AB1页共

22设AB=x，⊙O的半径为y则有

312=,整理得：x2yy=-

16

1x+2x=-(x-6)+6(3x≤9)6因此当的为6时⊙的积最大，其最大面积为36。说明运二次函数求最值时，有时自变量不一定取顶点的横坐标时函数获得最值，要注意考虑自变量的取值范围。四.结合一次函例4.为完成一次实地测量任务夏令营的同学们成立了一支测绘队需要人参加测量，20人参加计算，16参加绘图。测绘队中很多人是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图。另有一些人三项都参加了。请问这支测绘队至少有多少人？分析和解罢本题有很多人都搞糊涂了吧，如果采用图示表其意（称为韦恩图）将会一目了然。设三项工作都参加的人数为x，总人为y,列一次函数为：y=(10-x)+(8-x)+（）+4+6+8+x,整理得∵0x6,∴30≤42-2x≤42,亦30y42

测x6

4

计绘因此，测绘队人数最少为30人，此x=6说明：图示分析法可使应用题中的已知量和未知量的关系更加直观清晰，解决问题方便快捷，同学们应能熟练运用。五.结合不等式例、、三个工厂如图所示，它们都生产同一种产品。已A厂年产量是B年产量的

23

3B年产量是厂年产量的。现在要选一地址建一个公用仓库把三个工的产品都5运放在该仓库中，并且总费用最省，问仓库应选在何处？并说明你的理由。分析和解运费应与公路里程和产量有关，设AB=c,AC=b,BC=a，由题意又厂量为2m,B厂量为3m,C厂产量为5m。本题答案是：仓库地址应选在处。理如下：假定仓库另选一地设仓库在O处时总费用可表示为:2mx+3my+5mz①

A仓库在C处，总费用可表示为：2mb+3ma②∵x+z≥b,y+z≥a,∴2mx+2mz≥2mb,3my+3mz3ma,此两式相加得：2mx+3my+5mz≥2mb+3ma③

B

b

C由①②③知，当且仅当点与C重合时号成立，因此，公用仓库选在处，总费用最省说明：对于x+z≥b,y+z≥，这里不但虑了三角形中两边之和大于第三边，而且还考虑了两点之间线段最短。六.结合一元二方程根的判别式例6.如图，在矩ADPE中，PD=3PE=7,BC过点的动直线，AD、长线交于BC求△ABC面的最小值。分析和解因直线BC是运动的，它与直线AD所夹角也是变化的。设∠则∠在Rt△BDP，

3t

，又在eq\o\ac(△,Rt)CEP，CE=7tan

2页共

tan211tan211∴S

=

12

13ABAC=(2

+7)(7tan+3),整理49tan

2

+2(21-S

)tan+9=0,因实数，∴=4(21-S)-449×9≥，即S（S-42）0∵S>0,∴S≥因此，△积的最小值为。说明：运用一元二次方程根的判别式的不等关系求最值，是一种常用方法，同学们应予以掌握。七.结合立体图的展开图例方体ABCD-ABCD中，AB=3,BC=4,CC=5,只小虫由A处出发沿长方体表面111行到C，这时小虫爬行的最短路线的长度是多少？分析与解因为小虫是沿长方体表面爬行的，所以必须将爬行的面展开到一个平面内，方可找到最短路线。共可分三种情况：（1经过面、DCCD到C，如图（1Rt△ABC中有：AC=

2

2

=

；D

C

D

1

C

1

1

C

1

C

C

A

5

5

A

3D

4D

C

D

C4

5

B

B3

A

3

4

A3

A4(2)

D

A(3)

A(1)（2经过面A、ADCB到C，如图（2Rt△中有：11AC=

2

2

=；（3经过面BBBBCC到C，如图（3Rteq\o\ac(△,)C中有：1111AC=

2

2

=

比较三种结果，显然小虫爬行的最短路径的长度为

。例如图，有一锥形粮堆，其主视图是边长为6的正三角形，线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从沿锥表面去偷袭老鼠，求小猫经过的最短路线长。分析与解圆的侧面展开图是一个扇形设其圆心角的度数为由题意知圆底面半径为12

×6=3，

n180

=2

×3∴n=180，这个扇形是半圆3页共

过A作⊥AB半圆于E，取