华师大版八上数学1矩形菱形与正方形的性质导学案

矩形、菱形与正方形的性质学习目标、重点、难点【学习目标】1、探索并掌握矩形、菱形与正方形的概念与性质.2、会利用它们进行简单的计算与推理.【重点难点】矩形、菱形与正方形的概念与性质在实际问题中的应用.知识概览图矩形的定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形矩形矩形的性质角：矩形的四个角都是直角矩形矩形的性质对角线：矩形的对角线互相平分且相等特殊平行四边行菱形的定义四条边都相等的四边形是菱形特殊平行四边行菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形边：菱形的四条边都相等菱形菱形的性质对角线：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一菱形的性质组对角菱形的面积等于对角线乘积的一半正方形的定义有一个角是直角的菱形是正方形正方形的定义正方形有一组邻边相等的矩形是正方形正方形正方形的性质：正方形的对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角新课导引【生活链接】右图所示的是市场上流行的一种新式的衣帽架，它是用木条构成的几个连续的菱形，每一个顶点处都有一个挂钩，不仅美观而且实用．【问题探究】你能说出它有哪些优点吗?教材精华知识点1矩形的概念矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形.如图16—36所示，在□ABCD，若∠A＝90°，根据平行四边形及平行线的特征，可知∠B＝∠C＝∠D＝∠A＝90°．拓展理解矩形定义要注意它的两个应用：(1)在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．(2)在□ABCD中，若∠A＝90°，则□ABCD为矩形．知识点2矩形的特征具有平行四边形的所有特征．矩形的四个内角都是直角．矩形的对角线相等且互相平分．矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是经过对边中点的直线．拓展如图16—37所示，矩形ABCD的对角线交于点O，则有：(1)AB=CD，AD=BC(2)∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°．(3)AC＝BD．(4)OA＝OC＝OB＝OD．(5)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．其对称轴有2条；分别是经过两组对边中点的直线；对称中心是矩形的两条对角线的交点．知识点3矩形性质的延伸矩形对角线的交点到各顶点的距离相等．如图16—38所示，由矩形性质有OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，且AC＝BD，所以有OA＝OB＝OC＝OD．因此有∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由矩形性质有∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC．这说明，在Rt△ABC中，若OB是斜边AC的中线，则OB＝AC拓展上述矩形的第1个性质的结论不可直接利用，第2个性质的结论可作为定理直接应用．知识点4菱形的概念菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．如图16－39所示，在□ABCD中，若AB＝AD，根据平行四边形的特征——平行四边形的对边相等，可知AB＝BC＝CD＝DA，四边形ABCD是菱形．拓展理解菱形的定义要注意它的两个应用：(1)在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA．(2)在□ABCD中，若AB＝BC，则□ABCD为菱形．知识点5菱形的特征具有平行四边形的一切特征．菱形的四条边都相等．菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，菱形也是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线各自所在的直线．拓展如图16—40所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则有：(1)AD∥BC，AB∥DC．(2)AB＝BC＝CD＝DA．(3)AC与BD互相垂直平分，即AC⊥BD，0A＝OC，OB＝OD.(4)AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC知识点6菱形的面积公式菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．拓展由菱形的面积等于对角线乘积的一半，可以推广到对角线互相垂直的四边形．如图16—41所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD，则S四边形ABCD＝AC·BD．设AC，BD交于点O，∵AC⊥BD，∴S△ABD＝AO·BD，S△BCD＝OC·BD．∴S四边彤ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AO·BD＋OC·BD＝AC·BD．知识点7正方形的概念有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形．有一个角是直角的菱形叫做正方形．有一组邻边相等的矩形叫做正方形．拓展如图16—42所示，当四边形ABCD是菱形时，若∠A＝90°(或∠B，∠C，∠D中任一个角都可以)，则四边形ABCD是正方形．当四边形ABCD是矩形时，若AB＝BC(或BC＝CD，CD＝DA，DA＝AB中任一组)，则四边形ABCD是正方形．知识点8正方形的特征正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．(1)从边看一四边相等，邻边垂直，对边平行．(2)从角看——四个角都是直角．对角线相等；(3)从对角线看——对角线互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．(4)正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心，正方形也是轴对称图形，有四条对称轴，分别是经过对边中点的直线和两条对角线各自所在的直线．周长一定的四边形中，正方形面积最大．拓展如图16—43所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则有：(1)AB＝BC＝CD＝DA，AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥DA，DA⊥AB，AD∥BC，AB∥DC．(2)∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°．(3)对角线AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，∠BAC＝∠ABD＝∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝∠BDC＝∠BDA＝∠DAC＝45°，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°．(4)正方形ABCD既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的四条对称轴分别是AC，BD所在的直线和过两组对边中点的直线，正方形的对称中心是其对角线的交点O.|规律方法小结|四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系如图16－44所示．课堂检测基础知识应用题1、如图16—45所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长为()A．2B．4C．2D．42、如图16—46所示，在矩形ABCD中，△AOD与△COD的周长的和是116，差是4，两条对角线长的和是80，求矩形的各边长和面积．3、如图16—47所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于()A．70°B．65°C．50°D．25°4、菱形的周长为20，两邻角之比为1∶2，求较短对角线的长．5、如图16—49所示，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为()A．20B．18C．16D．156、如图16—50所示，菱形ABCD中，AC＋BD＝49，AC∶BD＝4∶3，求菱形ABCD的面积．7、如图16—51所示，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是．8、如图16—52所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝8cm，则这个菱形的面积是cm2．9、如图16—53所示．(1)矩形ABCD的两条对角线相交于点O，如果该矩形的周长是34cm，且△AOB的周长比△ABC的周长少7cm，则AB＝cm，BC＝cm；(2)如果矩形的两条对角线夹角的比为2∶1，一条对角线与短边的和是15，则对角线长为cm，短边长为cm．10、如图16—54所示，这是工人师傅要制作的一种铁艺图案，按要求四边形ABCD应为菱形，AC＝6cm，BD比AC长2cm，请你帮他算一下最少要用多长铁丝才能制出该图案．(不计接缝)11、如图16—55所示，四边形ABCD为正方形，延长BC到E，使EC＝AC，AE交CD于F，求∠AFC的度数．综合应用题12、如图16—56所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于E，CF⊥AD交AD的延长线于F．请你猜想CE与CF的大小有什么关系，并说明你的猜想．13、如图16—57所示，在□ABCD中，AD＝2AB，EA＝AB＝BF，试说明CE⊥DF．14、如图16—61所示，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，且AE＝8，F是BD上一个动点．(1)试说明AF＝FC；(2)设折线EFC的长为m，求m的最小值，并说明此时点F的位置．15、如图16—62所示，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠EBC交CD于F．试说明BE＝AE＋CF．探索与创新题16、工人师傅做铝合金窗框按下面三个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图16—63(1)所示)，使AB＝CD，EF＝GH；(2)摆放成如图16—63(2)所示的四边形，此时窗框的形状是形，根据的数学道理是；(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图16—63(3)所示)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图16—63(4)所示)，说明窗框合格，此时窗框是形，根据的数学道理是.17、如图16—64所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点M，N分别从A，C同时出发，点M以3cm／s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点N以2cm／s的速度向点D移动，则M，N两点出发几秒后四边形MBCN的面积是39cm2?18、一位女士想买一条正方形纱巾，有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾非常想买，但当她拿起来看时感觉纱巾不太像正方形，商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让女士看另一组对角是否对齐(如图16—65(1)所示)，女士还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让女士检验，女士终于买下这块纱巾．这块纱巾是正方形的吗?当时采用什么方法可以检验出来?19、有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度可忽略不计，请设计三种不同的修路方案．体验中考1、如图16—69所示，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是.2、已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB＝6，∠BDC＝30°，则菱形的面积为．3、若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为()A．20B．16C．12D．104、如图16—70所示，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是cm．5、如图16—71所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度．6、如图16—72所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连结EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC.其中正确结论的序号是.7、如图16—73所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．8、如图16—74所示，将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪出一个直角三角形，展开得到一个等腰三角形，则展开后三角形的周长是()A．2＋B．2＋2C．12D．189、如图16—75所示，有一张菱形纸片ABCD，AC＝8，BD＝6．(1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在图16—76(1)中用实线画出你所拼成的平行四边形；若沿着BD剪开，请在图16—76(2)中用实线画出拼成的平行四边形；并直接写出这两个平行四边形的周长．(2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图16—76(3)中用实线画出拼成的平行四边形．(注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查矩形的性质．因为矩形对角线相等且互相平分，所以AO＝BO，而∠AOB＝60°，所以△AOB为等边三角形，从而AO＝AB＝2，所以AC＝2AO＝2×2＝4．故选B．2、分析由对角线互相平分且相等，得出AO＝BO＝CO＝DO．解：因为矩形的对边相等，对角线相等且互相平分，所以AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD＝2AO，AO＝CO＝DO．因为AC＋BD＝80，所以AC＝BD＝40，AO＝CO＝OD＝20．因为(AD＋AO＋DO)＋(CD＋DO＋CO)＝116，所以AD＋CD＝36．①因为(AD＋AO＋DO)－(CD＋DO＋CO)＝4，所以AD－CD＝4．②由①②得AD＝20，CD＝16，所以矩形的各边长分别为20，16，20，16．矩形ABCD的面积＝AD·CD＝20×16＝320．【解题策略】本题利用矩形的特征之一；对角线相等旦互相平分，及三角形周长公式便可求得各边长．3、分析本题主要考查矩形的性质．由矩形ABCD可知AD∥BC，所以∠DEF＝∠BFE＝65°，又因为∠DEF＝∠FED′，所以∠FED′＝65°，所以∠AED′＝180°－65°×2＝180°－130°＝50°．故选C．【解题策略】折叠问题可与轴对称性质结合在一起研究解题方式．4、分析本题考查菱形的特征．如图16—48所示，先求出菱形的边长和较小内角的度数，再通过说明△ABD是等边三角形求出BD的长．解：如图16—48所示，因为菱形的四条边相等，所以AB＝BC＝CD＝AD．因为AB＋BC＋CD＋AD＝20，所以AB＝AD＝5．因为菱形的对边平行，所以AD∥BC，所以∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，因为∠A∶∠ABC＝1∶2，所以∠A＝60°．在△ABD中，AB＝AD，所以∠ABD＝∠ADB(等边对等角)．因为∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，所以∠ABD＝∠ADB＝∠A＝60°，所以BD＝AB＝5(等角对等边)．【解题策略】此题是典型的几何化归思想的应用，即将四边形问题化归为三角形问题求解．5、分析本题主要考查菱形的性质．根据菱形对角线平分一组对角且∠BAD＝120°可得∠BAC＝∠BAD＝60°，从而△ABC为等边三角形，由AC＝4可知AB＝4，菱形各边均相等，可求其周长为4AB＝4×4＝16．故选C.6、分析由已知AC＋BD＝49和AC∶BD＝4∶3，结合方程组的思想可求出AC，BD，再根据S菱形ABCD＝AC·BD可解此题．解：由AC＋BD＝49，AC∶BD＝4∶3，得AC＝28，BD＝21．因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．因为S△ACD＝AC·OD，S△ACB＝AC·OB，所以S菱形ABCD＝S△ACD＋S△ACB＝AC·OD＋AC·OB＝AC·BD＝×28×21＝294．即菱形ABCD的面积为294．【解题策略】本题考查菱形的对角线的特征和三角形的面积公式，先求出AC，BD的长，再由菱形的对角线互相垂直得出菱形的面积为对角线乘积的一半．7、分析由于正方形是中心对称图形，故可知△BOF与△DOE全等，从而阴影部分的面积与△BOC的面积相等，而S△BOC＝S正方形ABCD＝．故填．|规律·方法|此类问题一般运用转化的思想来解决．8、分析本题主要考查菱形的面积公式．依题意得S菱形ABCD＝×AC×BD＝×4×8＝16(cm2)．故填16．【解题策略】菱形也是一个平行四边形，也可用平行四边形面积公式求解．9、分析本题考查矩形对角线的特征．(1)因为△AOB的周长是AO＋OB＋AB，由题意可得AO＋OB＋AB＋7＝AB＋BC＋2OC，AO＝OB＝OC＝OD，所以BC＝7cm，而AB＋BC＝×34＝17，所以AB＝10cm．(2)因为∠AOB∶∠AOD＝2∶1，而∠AOD＋∠AOB＝180°，所以∠AOD＝60°，OD＝OA，所以△AOD为等边三角形，AD＝AO＝OD，AD＝AC，而AD＋AC＝15，所以AD＝5cm，AC＝10cm．答案：(1)107(2)105【解题策略】解此题的关键是对矩形的对角线的性质理解透彻．10、分析要求最少要用铁丝的长，只要求出菱形的周长和两对角线的长即可．解：设AC，BD相交于O点，由BD比AC长2cm，AC＝6cm，可得BD＝8cm．由菱形的对角线互相垂直平分，得∠AOD＝90°，AO＝AC＝×6＝3(cm)，DO＝BD＝×8＝4(cm)，根据勾股定理，可得AO2＋DO2＝AD2，即32＋42＝AD2，所以AD＝5cm．又菱形的四条边都相等，所以AD＝DC＝CB＝AB＝5cm，所以最少要用铁丝的长为AB＋BC＋CD＋DA＋AC＋BD＝5＋5＋5＋5＋6＋8＝34(cm)．11、分析本题结合图形可将∠AFC看做△CEF的一个外角，从而将所求角转化为三角形的外角来求．解：∵四边形ABCD为正方形，∴CA平分∠BCD，∴∠1＝45°，∵∠DCE＝90°，∴∠ACE＝135°，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE＝22．5°，∴∠AFC＝90°＋22．5°＝112．5°．【解题策略】正方形的一条对角线平分一对直角．12、分析CE，CF分别为点C到∠EAF两边的距离，若AC平分∠EAF，则有CF＝CE，根据菱形对角线的性质AC平分∠BAD，则CE＝CF．解：猜想CE＝CF．连结AC，在菱形ABCD中，AC平分∠BAD．∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF．【解题策略】解此题的关键是全面掌握菱形的性质．13、分析本题考查的知识点较多，具体如下：(1)等边对等角；(2)平行四边形的对边平行且相等；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(5)菱形的概念；(6)菱形的对角线互相垂直；(7)两直线平行，内错角相等；(8)两直线平行，同旁内角互补；(9)等腰三角形中三线合一等．在解题过程中注意回忆和垂直相关的概念．本题的解题方法较多，方法1：要想说明CE⊥DF，只需说明∠1＋∠2＝90°．方法2：要想说明CE⊥DF，只需说明四边形MNCD是菱形，然后利用菱形的对角线互相垂直即可得到结论．方法3：由AD=2AB，AB＝CD联想到构造出以AD为一边，DF为一对角线的菱形．方法4：由等腰三角形中三线合一：等腰三角形顶角平分线与底边上的高互相重合来说明也可以．要灵活运用所学的知识．解法1：因为AD＝2AB，AB＝BF，所以AD＝AF，所以∠3＝∠F(等边对等角)．因为平行四边形的对边平行，所以AB∥CD，AD∥BC，所以∠1＝∠F(两直线平行，内错角相等)，∠1＋∠3＋∠2＋∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，所以∠1＝∠3，同理∠2＝∠4，所以∠1＋∠2＝90°，所以CE⊥DF．解法2：如图16—58所示，连结MN，DE，CA．因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AB＝CD．因为EA＝AB，所以EA＝CD．又因为EA∥CD，所以四边形EACD是平行四边形，所以DM＝AM因为AD＝2AB，所以DM＝AB＝CD．同理CN＝CD，所以CN＝DM又因为CN∥DM，所以四边形MNCD是菱形，所以CE⊥DF．解法3：如图16—59所示，延长DC到P，使CP＝CD，连结PF，PA．因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AB∥CD．因为AB＝BF，AD＝2AB，所以AD＝AF＝PD，所以四边形AFPD是菱形，所以AP⊥DF．因为EA＝AB，PC＝CD，所以PC＝AE．因为AE∥PC，所以四边形AECP是平行四边形，所以CE∥AP，所以CE⊥DF.解法4：如图16—60所示，连结DE，CA．因为AD＝2AB，AB＝BF，所以AD＝AF，所以∠2＝∠F(等边对等角)．因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AB∥CD，所以∠1＝∠F(两直线平行，内错角相等)，所以∠1＝∠2．因为EA＝AB，所以EA＝CD．因为EA∥CD，所以四边形EACD是平行四边形，所以DM＝AM，因为AD＝2AB，AB＝CD，所以DM＝CD，所以CE⊥DF(等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合)．14、分析(1)利用正方形的对称性易得AF＝FC．(2)因为F是动点，若m取最小值，需EF＋AF最小，这样想到两点之间线段最短．解：(1)∵△AFB与△CFB关于BD成轴对称，∴AF＝FC．(2)∵EF＋FC＝m，∴m＝EF＋FA．当A，F，E在一条直线上时，m最小．∵AE＝8，∴m最小值＝8，此时F为AE与BD的交点，【解题策略】正方形对角线上任意一点与另外一条对角线的两个端点的连线是相等的，这个结论应用很广泛．15、分析要说明BE＝CF＋AE，可作辅助线CN＝AE，易得BE＝BN，∠ABE＝∠CBN，现在只需说明BN＝NF，而∠BFN＝∠ABF＝∠ABE＋∠EBF，∠ABE＝∠CBN，∠EBF＝∠FBC，从而∠BFN＝∠FBN，故BN＝NF＝CN＋CF＝AE＋CF＝BE．证明：延长DC至N，使CN＝AE，连结BN，易知由△ABE旋转可得△CBN．∴∠ABE＝∠CBN，BE＝BN．∵四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB，∴∠NFB＝∠ABF．∵∠ABF＝∠ABE＋∠EBF，∠NBF＝∠NBC＋∠CBF，∠EBF＝∠FBC，∴∠NBF＝∠ABF＝∠NFB．∴BN＝NF＝CN＋CF，．∴BE＝AE＋CF．【解题策略】要说明一条线段等于两条线段之和，可以将两条线段转化成一条，或将一条线段分成两份分别证相等．16、分析本题是一道理论联系实际题．在做题过程中注意观察图形的变化及所给的已知条件.答案：(2)平行四边两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)矩有一个角是直角的平行四边形是矩形【解题策略】不能忽略几何图形的定义对几何图形的识别(或判定)的作用．17、分析四边形MBCN为梯形，面积是39cm2，梯形的高为BC＝AD＝6cm，只需用时间和速度之积表示出CN和BM的长即可．解：设ts后四边形MBCN的面积是39cm2，AM＝3tcm，∴BM＝16－3t，CN＝2t，∴S梯形CNMB＝(CN＋BM)·CB＝39，即(2t＋16－3t)×6＝39，解得t＝3．∴3s后四边形MBCN的面积是39cm2．【解题策略】本题利用了数形结合思想，通过代数中的列方程得到图形中的有关结论.18、分析本题属于实际生活中的问题，解决时应用正方形的识别方法加以判断．解：根据老板的方法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾的两条对角线所在直线是对称轴(如图16—65(2)所示)，这