北师大七下数学余角与补角导学案

余角与补角学习目标、重点、难点【学习目标】余角、补角、对顶角的概念和性质.掌握“同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，对顶角相等”等性质.【重点难点】1、余角、补角、对顶角的概念；2、理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．知识概览图两个角的关系新课导引两条直线相交，你发现有多少个角?各个角之间有什么关系?【问题探究】上面的问题画图可知：两直线相交，有4个角；相邻的两个角和是平角，相对两个角相等，那么，这样的两个角都是什么角呢?【点拨】两个角的和是平角，那么这两个角互为补角；有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角是对顶角．教材精华知识点1余角、补角的概念和性质如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．如图2—l所示，升国旗时，我们注视国旗的视线与水平方向的夹角(∠1)，视线与竖直方向的夹角(∠2)，这两个角就互为余角．如图2—2所示，把梯子斜立于墙上，这时的∠1和∠2是一对互补的角，在以后的学习中同学们还将知道，这时的∠l和∠3是一对互余的角．拓展(1)如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角．同理，如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角．(2)互余、互补都是指两个角之间的关系．如∠1+∠2+∠3＝90°，不能说∠1，∠2，∠3互余．(3)把余角、补角的定义倒过来说，也是正确的语句(不再是定义了)，这就是：如果两个角互为余角，那么这两个角的和是直角；如果两个角互为补角，那么这两个角的和是平角．即：如果∠l与∠2互为余角，那么∠1+∠2＝90°；如果∠1与∠2互为补角，那么之∠1+∠2＝180°．(4)不要以为两个互为补角的角中一定有一个是锐角，而另一个是钝角，因为任意两个直角也都是互为补角的角．同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，这是余角和补角的重要性质．这些性质的用处很大，在对顶角的研究中将应用到，在以后的学习中也会常常应用到它们．知识点2对顶角的概念与性质如图2—4所示，两条直线相交形成了∠1，∠2，∠3和∠4四个角，∠l与∠3有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．∠2和∠4也是对顶角．【拓展】对顶角必须具备的两个要素：①有公共顶点；②两边互为反向延长线．对顶角相等是对顶角的重要性质．这条性质比补角的性质的应用还要广泛．如图2—5所示的是应用对顶角的性质的一个例子，图中所画的是一个利用对顶角相等设计的量具，正在测量一个不太容易直接测量的角度．该角属于一个立体图形的角，不像缺损的扇形那样可以放在纸上，然后在纸上画出扇形的半径．一般测量立体图形的角度多数都采取这样的办法．探究交流1、“两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角叫做对顶角”这种说法对吗?点拨这种说法是对的．对于对顶角的定义，完全不必背诵，只要能在图形中正确辨认两个角是不是对顶角就可以了．辨认对顶角的要领是：首先要有两条直线相交构成四个角的前提条件，然后找出其中有公共顶点、没有公共边(或不相邻)的两个角就是对顶角．2、对顶角为什么一定相等呢?点拨这可以用补角的性质来说明．如图2—6所示，直线AB与CD相交于点O，根据补角的定义知，∠BOC与∠AOD都是∠AOC(或∠BOD)的补角，而同角的补角是相等的，所以∠BOC＝∠AOD是必然的．规律方法小结1．余角、补角、对顶角都是指两个角之间的一种特殊关系．2．余角、补角是指两个角之间的数量关系，与位置无关．3．对顶角是指两个角之间的位置关系，对顶角相等．4．互补的两个角可能一个是锐角，一个是钝角，也可能都是直角．课堂检测基本概念题1、如图2—7所示，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，请写出图中互为余角的角、互为补角的角和对顶角．基础知识应用题2、如图2—9所示，OC是∠AOB的平分线，∠AOB＝61°30′．求与之AOC互补的角的大小．3、如图2—10所示，直线EF交直线AB于点G，交直线CD于点H，∠l＝∠2，∠3＝115°．求∠4与∠5的度数．探索创新题4、吉林省农安县有座辽代古塔(如图2—1l所示)，为了实地测量这座古塔外墙底部墙角(图中∠ABC)的大小，请你运用所学的知识分别设计两种测量方案，并说明道理．体验中考1、已知∠A与∠B互余，若∠A=70°，则∠B的度数为.2、已知∠1＝30°，则∠1的余角的度数是()A．160°B．150°C．70°D．60°学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、【分析】从余角、补角和对顶角的概念出发，对顶角是相等的，这使图中互为余角、补角的角增多了．解：互为余角的角：∠AOC与∠AOE，∠BOD与∠AOE；互为补角的角：∠AOC与∠AOD，∠BOD与∠AOD，∠COE与∠DOE，∠BOC与∠AOC，∠BOD与∠BOC，∠AOE与∠BOE；对顶角：∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC．【解题策略】任何两个直角都互为补角，在本题中，告诉了EO⊥CD，也就是告诉了图中有两个直角．2、【分析】本题需利用角平分线、补角的概念进行计算．解：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝61°30′÷2＝60°90′÷2＝30°45′，180°一30°45′＝149°15′．即与∠AOC互补的角的大小为149°15′．3、【分析】∠4，∠5距∠3“较远”，而与∠l关系密切．可先求出∠2，再利用∠2＝∠1求之．解：因为∠2与∠3互为补角，所以∠2＝180°一∠3＝180°一115°＝65°．由∠l＝∠2，知∠1=65°．又因为∠4与∠l是对顶角，由对顶角的性质，得∠4＝∠1=65°，又由补角的概念，得∠5＝180°一∠4＝180°一65°＝115°．【解题策略】(1)解几何计算题时，对重要的依据应该说明，同学们刚刚开始学习几何，解题步骤还是写得详细些为好．(2)在本题中，∠1＝∠2的使用起到了重要的桥梁作用．4、【分析】此题就是求∠ABC的大小，但直接量取不方便，可以量出∠ABC的对顶角或补角．解：方案一：延长CB到D，量出∠ABD的度数，可根据补角的定义求出∠ABC的度数(如图2—12所示)．方案二：延长AB到E，CB到D，直接量出∠DBE的度数，由对顶角的性质可知∠DBE的度数即为∠ABC的度数(如图2—12所示)．【解题策略】此题运用了转化的思想方法