北师大八下数学黄金分割导学案

黄金分割学习目标、重点、难点【学习目标】黄金分割的定义；黄金分割的求法及画法.【重点难点】黄金分割的定义；黄金分割的求法及画法.知识概览图黄金分割新课导引五角星是我们常见的图形，如右图所示，它让你感受到了一种美．现实生活中还有很多这样的图案，你能举出一些例子吗?【点拨】在现实生活中，正五边形也会让你感受到一种美，还有许多雕塑、绘画等艺术作品都会给人一种美的享受.教材精华知识点1黄金分割的定义如图4-6所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，由计算可知，AC∶AB＝∶1≈∶1．黄金分割的应用：黄金分割不仅应用于艺术创作，还广泛应用于服装设计、汽车制造、建筑设计、几何图形创作等各类工艺造型中．知识点2黄金分割的画法画法1：如图4-7所示，设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF＝EB；以线段AF为边作正方形AFGH．点H就是AB的黄金分割点．画法2：如图4-8所示，已知线段AD，经过点B作BD⊥AB，使BD＝AB，连接AD，在DA上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，则点C是线段AB的黄金分割点；课堂检测基础知识应用题1、已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB和AB为邻边的矩形面积为S2，则S1与S2之间的大小关系是()A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S22、已知点C将线段AB黄金分割，且AC＜BC，则BC等于()A．ABB．ABC．ABD．AB综合应用题3、以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图4-10所示．(1)求AM，DM的长；(2)试说明AM2=AD·DM；(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗?探索创新题4、如图4-13所示，作线段AB的黄金分割点C．方法如下：(1)过点B作BD⊥AB，使BD＝AB；(2)连接AD，在AD上截取DE＝BD；(3)在AB上截取AC＝AE，则点C是线段AB的黄金分割点．即AC2＝AB·BC．你能证明这样得到的C点是黄金分割点吗?体验中考1、宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤(如图4-14所示)．第一步：作一个任意正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND为半径画弧，交BC的延长线于点E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形(可取AB＝2)．学后反思 附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、答案：B.【解题策略】黄金分割点把线段分成两部分，较长线段是较短线段和整个线段的比例中项．2、答案：A.【解题策略】理解由黄金分割点得到的三条线段的关系．3、分析抓住题中的作图过程：便抓住了问题中的数量关系，根据作图过程，层层推进．解：(1)因为正方形ABCD的边长为2，P是AB的中点，所以AD＝AB＝2；AP＝1，∠BAD＝90°，所以PD＝．因为PF＝PD，所以AF＝-1．在正方形AMEF中，AM＝AF＝-l，所以MD＝AD-AM＝3-.(2)由(1)得AD·DM＝2×(3-)＝6-2，AM2=(-1)2＝6-2．所以AM2＝AD·DM.(3)图4-10中的M点是线段AD的黄金分割点．【解题策略】根据数形结合思想，逐步推理．4、解：设AB＝a，AC＝x，则AD＝AE+ED＝x+．在Rt△ABD中，由勾股定理，得，整理，得x2＝a(a-x)，即AC2＝AB·BC，所以点C是线段AB的黄金分割点．【解题策略】解此题的关键是利用、黄金分割的定义来证明．体验中考1、证明：在正方形ABCD中，取AB＝2．∵N为BC的中