人教A版选修高中数学应用问题教学案例

高中数学应用问题教学案例普宁华侨中学黄少玲[课题]放大镜点燃火柴实验及研究——抛物线的光学性质的实际应用[背景资料]高中数学新教材数学1-1，P70阅读材料：人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯也是利用这个原理设计的，应用抛物线的这个性质，也可以使一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线的面的反射集中于它的焦点，人们应用这个原理设计了一种加热水和食物的太阳灶，在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反射镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高。与之相应，为便于同学们操作，我们用放大镜来进行研究，放大镜的镜面正是一个抛物面，太阳光线通过放大镜凸面，经过折射集中于焦点处，可在焦点处放置火柴，太阳光较强时可点燃火柴。[教学目标]通过放大镜点燃火柴实验与研究，进一步理解抛物线的光学性质，学会用待定系数法求抛物线的方程，进一步领会抛物线方程中p的几何意义。培养积极探索的精神，能用数学方法得出放大镜镜口面与燃点距离S公式（用镜深h，口径d，加以表达）即公式养成研究性学习的习惯，学会对数学问题进行深入探讨，以主动获取知识，应用知识和解决问题，进一步研究h,d变化与点燃时间的关系，提出改进太阳能利用中的某些建议。[教学方式]从数学的角度对日常生活中出现的问题进行研究，引导学生如何对日常所观察到的现象提出数学问题，运用数学方法、数学思想，主动解决问题，并对提出的问题进行延伸，注重学生主动探索、自主学习、亲身体验、合作交流。[实验器材准备]大小不一放大镜10只玻璃板10块火柴一盒游标卡尺10只（用于测量）[教学过程]一、课的引入介绍背景资料：阅读高中数学新教材数学第二册（上）P124阅读材料，圆锥曲线的光学性质及其应用之有关抛物线部分，观察图1，图2，图3。教师引入：我们今天研究到的放大镜的镜面正是一个抛物面，太阳光线通过放大镜凸面，经过折射后通过焦点处，可在焦点处放置火柴，太阳光线较强时可点燃火柴。经过教师引导，学生产生了强烈的实验愿望，有了较强的学习兴趣。教师实验：可在学生中请助手帮忙，在教师与学生助手的实验过程中，学生们一边观察现象，一边努力思索如何就发生的现象提出一些数学问题。[实验]将火柴放置于玻璃板上，放大镜与玻璃板间保持一定距离，在太阳光照射下，玻璃板上出现一个白点，使白点尽量小，并集中于火柴上，几分钟后火柴燃烧，也可要求助手拿火柴，现象更为明显。二、问题的提出实验后教师引导：数学是一门关于数量关系和空间形成的科学，那么请同学们思考一下在此实验中有什么量可以用数学方法加以研究和分析呢？通过教师点拨，引发学生间的讨论，可分若干小组讨论，并派代表发言。有学生甲会提出：燃点位置的确定是我们可以研究的问题，而且根据实际情况，燃点必处于与镜口面（平面）垂直的中心轴线上，关键在于燃点与镜口面的距离S。yxBAFO教师在肯定学生甲的发言后予以表扬，继而提出这个量S与实验中那些因素有直接的联系呢？要求该因素是可以被测量的，引发学生的第二次发言。通过认真而热烈的讨论，同学们会提出不同的观点，有学生乙提出：关键是镜深h与口径d，即SyxBAFO教师肯定了学生乙的观点，针对于具体实验，请学生助手用游标卡尺测得

h=1cm,d=7.4cm提请学生们计算理论上的S值。三、具体问题的解决学生们通过5~7分钟的思考与练习，可提出不同的解决方案，将意见集中与抛物线方程的求解，学生丙提出可建立适当的直角坐标系，求出抛物线方程再行解决，直角坐标系如图建立：抛物线方程的求出

教师引导学生用待定系数法求解，令抛物线方程为因为抛物线过点则：，∴S的求出

教师引导学生回顾抛物线p的含义：焦点到准线的距离

得出理论值与实际值的比较与分析

教师再请两位同学重做实验，并测得S的实际值，与理论值加以比较，略有误差，请各小组派代表分析误差产生的原因。四、问题的延伸分小组实验与研究

分若干小组，按如下步骤合作

⑴测量h，d

⑵计算理论S值

⑶实验并测得实际分组

⑷比较与分析误差产生原因，形成小组报告分析、评价各小组报告，后教师指出：数学家对现实问题的研究总是从具体问题提升为一般性的结论，有学生丁指出：我们应该研究如何用d，h表示S，即写出函数关系。思考3~5分钟后，全班同学推荐一名代表来分析：关系。

实际上：令抛物线因为抛物线经过点

∴∴∴评价结论，得到阶段性成果，表扬同学们的合作与研究精神。讨论并进一步探究实验有关问题，教师引导学生应努力培养科学探索的意志与毅力，同学们继续努力，可提出如下思考问题：

思考1：满足什么关系时，燃点F位于镜口面外

[回答]，即，即

思考2：为何值时，点燃时间最快。

思考题2的说明：实际上，思考题2的解决直接有助于太阳的最佳利用问题，它涉及到

自然学科多方面的问题，可刺激学生产生强烈的求知欲望，培养科学

的探究精神。有两个科学结论是可以得到：

其一、d一定时，随着h的增大，光线反射部分变强，折射后进入部分变弱，点燃火柴

时间则变慢。其二、h一定时，随着d的增大，收集到的光线更多，折射后进入部分变强，点燃时间

则更快。五、小结：表扬同学们在本研究中所取得的成功，我们应认识到所学数学知识在解决实际问题中的作用，养成用数学的意识，学会数学的思想方法，以开阔我们的视野