2019-2020学年四川省雅安高一4月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省雅安高一4月月考数学试题一、单选题1．在下列结论中，正确的为（）A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B．向量与向量的长度相等C．向量就是有向线段D．零向量是没有方向的【答案】B【解析】逐一分析选项，得到答案.【详解】A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；B.向量与向量是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确.故选B.【点睛】本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.2．若点共线,则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.【详解】由题意，可知，又，点共线，则，即，所以，故选A.【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小.3．已知向量,则下列能使成立的一组向量是()A． B．C． D．【答案】C【解析】根据平面向量基本定理，只要不共线即可．【详解】A中是零向量，与任何向量共线，B中，，D中，，只有C中不共线，根据平面向量基本定理，存在使得．故选：C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，掌握平面向量基本定理是解题基础．4．已知满足，则下列结论错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由大边对大角，可知，所以A正确；由正弦定理可知，，所以B正确；由，且在单调递减，可知，所以C正确；当时，，但，所以D错误．故选D．点睛：本题考查三角函数与解三角形的应用．本题中涉及到大边对大角的应用，正弦定理的应用，三角函数单调性的应用等，需要学生对三角模块的综合掌握，同时结合特殊值法去找反例，提高解题效率．5．等差数列中，与是方程的两根，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得+＝4＝+，代入所求即可得解．【详解】∵与是方程的两根，∴+＝4＝+，则．故选C．【点睛】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．6．在△ABC中，已知,则B等于()A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【答案】A【解析】由正弦定理知，所以得或，根据三角形边角关系可得。【详解】由正弦定理得，，所以或，又因为在三角形中，，所以有，故，答案选A。【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，较简单基础。7．在等差数列中，，，则其公差为（）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】等差数列中，根据下标和性质解得：、，即可得出公差．【详解】解：在等差数列中，，，又，，公差为.故选：D.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．已知△ABC中，，则B=()A． B． C． D．【答案】C【解析】将已知条件利用正弦定理角化边,变形后再利用余弦定理可解得.【详解】因为,利用正弦定理角化边得,所以,所以,所以,所以,根据余弦定理可得,因为,所以.故选.【点睛】本题考查了正弦定理角化边和余弦定理,属于中档题.9．已知数列中，前项和，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由二次函数的性质和可确定取最小值时的取值，代入可求得结果.【详解】由二次函数性质和可知：当或时，取得最小值，.故选：.【点睛】本题考查利用的二次函数性求解最值的问题，属于基础题.10．设在中,角所对的边分别为,若,则的形状为（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】B【解析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.11．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：由已知条件，利用累加法以及等差数列求和即可求出.解析：数列满足，，，，，，……，累加得：，又，，.故选：B.点睛：已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现时，用累乘法求解．12．在ΔABC中，a,b,c分别为A,B,C的对边，如果a,b,c成等差数列，B=30°，ΔABC的面积为32，那么b=A．1+32 B．1+3 C．【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得b2==14ac=32⇒ac=6，因为a  ，  【考点】余弦定理；三角形的面积公式．二、填空题13．已知，则在方向上的投影为_________．【答案】【解析】根据投影的定义求解即可.【详解】由数量积定义可知在方向上的投影为，则故答案为【点睛】本题主要考查了投影和数量积公式，掌握在方向上的投影为是解题的关键，属于基础题.14．等差数列{an}中，a1+【答案】99【解析】分析：由等差数列的性质可求得a4，=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．详解：：∵在等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，，∴数列{an}的前9项之和S故答案为99.点睛：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题．15．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角的对边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为__________．【答案】【解析】由可得：，由可得：∴故答案为：16．锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【详解】因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以.三、解答题17．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，在中，已知，是边上的一点，，，.（1）求的面积；（2）求边的长.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，根据余弦定理求得，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在中由正弦定理可得的长．详解：（1）在中，由余弦定理得，∵为三角形的内角，，，．（2）在中，，由正弦定理得：∴．点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用．19．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD="40"m,则电视塔的高度为多少？【答案】40m．【解析】试题分析：本题是解三角形的实际应用题，根据题意分析出图中的数据，即∠ADB=30°，∠ACB=45°，所以，可以得出在Rt△ABD中，BD=AB，在Rt△ABC中，∴BC=AB．在△BCD中，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，代入数据，运算即可得出结果．试题解析：根据题意得，在Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD=AB，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB．在△BCD中，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD，∴3AB2=AB2+CD2-2AB·CDcos120°整理得AB2-20AB-800=0，解得，AB=40或AB=-20（舍）．即电视塔的高度为40m【考点】解三角形．20．已知数列满足．证明数列为等差数列；求数列的通项公式．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）已知递推关系取倒数，利用等差数列的定义，即可证明.（2）由（1）可知数列为等差数列，确定数列的通项公式，即可求出数列的通项公式．【详解】证明：，且有，，又，，即，且，是首项为1，公差为的等差数列．解：由知，即，所以．【点睛】本题考查数列递推关系、等差数列的判断方法，考查了运用取倒数法求数列的通项公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.21．在中，角的对边分别为，已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据向量平行的坐标表示和正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可化简求得，进而得到结果；（2）利用余弦定理构造方程求得，从而求得周长.【详解】（1），，由正弦定理得：，，，，，，.（2）由余弦定理得：，解得：，的周长为.【点睛】本题考查正弦定理边化角的应用、余弦定理解三角形的问题，涉及到向量平行的坐标表示、两角和差正弦公式的应用，属于常考题型.22．已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求；（2）设数列的前n项和为，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）设公差为，由，可得解得，，从而可得结果；（2）由（1），，则有，则，